小专题(八)教材p90习题第14题的变式与应用

小专题(八)教材P90习题第14题的变式与应用【例】(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状，并证明你的结论．1．如图，延长BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC的形状并证明你的结论．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB＝DC.求证：AD是△ABC外角∠EAC的平分线．3．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.4．如图，△ABC内接于⊙O，P为弧AB上异于A，B两点的一动点时，当△ABC满足什么条件时，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．5．(1)如图1，△ABC内接于⊙O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC的两边AB，AC有怎样的关系呢？(2)如图2，若AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时，AE与△ABC的两边AB，AC又有怎样的关系呢？6．如图，平面直角坐标系中，O′为y轴上一点，⊙O′交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA与FH的比值是否为定值？并说明理由．7．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．参考答案例证明：因为∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又因为∠APC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°.于是∠ACB＝60°.所以△ABC为等边三角形．1.△ABC是等腰三角形，理由：因为∠CPA＝∠ABC，四边形APBC是圆内接四边形，所以∠EPA＝∠ACB.因为∠EPA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形．2.证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又

∠DAE＋∠DAB＝180°，

∴∠DCB＝∠EAD.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠EAD.

∴AD平分∠EAC.3.(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°.

∴△ABC是等边三角形．(2)连接OB、OC.可得∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°.

∵OB＝OC，

∴∠OBD＝∠OCD＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°.

∵∠ODB＝90°，

∴OD＝eq\f(1,2)OB＝4.4.当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°，∠ACB＋∠APB＝180°，

∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，

∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.5.(1)AE＝eq\f(1,2)(AB＋AC)．理由：在AB上截取AF＝AC，连接BD、CD、FD.

∵∠FAD＝∠CAD，AD＝AD，

∴△FAD≌△CAD.于是FD＝CD.又∵BD＝CD，

∴FD＝BD.在Rt△BDE与Rt△FDE中，DE＝DE，

∴Rt△BDE≌Rt△FDE.于是BE＝FE.

∵AE＝AB－BE，①AE＝AF＋FE.②①＋②得2AE＝AB＋AC，

∴AE＝eq\f(1,2)(AB＋AC)．(2)当AD为外角∠CAG的平分线时，AE＝eq\f(1,2)(AC－AB)．理由：作DF⊥AC于点F.

∵AD为∠CAG的平分线，DE⊥AB，所以DE＝DF，又∵∠DCB＝∠GAD＝∠DAC＝∠DBC.

∴DB＝DC.

∴△EBD≌△FCD.

∴BE＝CF.易证△EAD≌△FAD，

∴AE＝AF.

∴AC－AB＝AF＋CF－(BE－AE)＝AF＋CF－BE＋AE＝2AE.即AE＝eq\f(1,2)(AC－AB)．6.过C作CM垂直FB于M，

∵直径CD⊥AB，

∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).于是AC＝BC，

∴∠EFC＝∠CBA＝∠CAB＝∠CFB.从而FC为∠EFB的平分线．

∵CH⊥FE，CM⊥FB，

∴CH＝CM.又∵FC＝FC，

∴Rt△CHF≌Rt△CMF.

∴FH＝FM，CH＝CM，于是△ACH≌△BCM.

∴AH＝BM.从而FB－FA＝(FM＋MB)－(AH－HF)＝(MB－AH)＋(FM＋FH)＝2FH.

∴FB－FA与FH的比值是2.7.(1)证明：∵AI平分∠BAC，

∵∠BAD＝∠DAC，

∴BD＝DC.

∵BI平分∠ABC，

∴∠ABI＝∠CBI.

∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，

∴∠BAD＝∠DBC.又

∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，

∴∠DBI＝∠DIB.

∴△BDI为等腰三角形．

∴BD＝ID，

∴BD＝DC＝DI.(2)

∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC＝60°.

∴∠DBC＝∠DAC＝60°.

∵BD＝DC，

∴△BDC为等边三角形．过点D作DH⊥BC，交BC于H，所以DH过圆心，∠HDC＝30°，∠HCO＝30°.连接OC.则OH＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．在Rt△OHC中，利用勾股定理可得CH＝eq\r(CO2－HO2)＝e