保险学第五版王绪瑾课件3章保险数理基础

第三章保险的数理基础一、保险费率的构成与厘定原则二、财产保险费率的厘定三、人寿保险费率的厘定四、保险责任准备金的提存

一、保险费率的构成与厘定原则

保险费纯保费附加保费赔付保险金营业费用营业利润营业税被保险人或受益人保险人一、保险费率的构成与厘定原则

毛费率纯费率附加费率营业费用率营业利润率营业税率＝

＝

附加保费保险金额附加保费保险金额保险费率的厘定原则充分性公平性合理性稳定灵活促进防损二、保险费率的厘订方法

(一)分类法(二)观察法(三)增减法

第二节财产保险费率的厘定

一、确定纯费率二、确定附加费率三、确定毛费率

一、确定纯费率纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。1.计算保额损失率2.计算均方差3.计算稳定系数4.计算纯费率确定纯费率

1.计算保额损失率保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰

但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（20××）01020304050607080910保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.2

设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（19××）90919293949596979899保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.2

若以x表示平均保额损失率，xi(i=1,2…,n)表示不同时期的保额损失率，n表示期限，则：

n

xii=1

x＝──＝

n

6.1‰+5.7‰+5.4‰+6.4‰+5.8‰+6.3‰+6.0‰+6.2‰+5.9‰+6.2‰─────────────────────

10=6.0‰

2.计算均方差（）

其计算公式为：

（xi-x）2＝────

n

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（19××）90919293949596979899保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.2年度保额损失率xi离差(xi－x)离差的平方（xi－x）220016.1＋0.10.0120025.7－0.30.0920035.4－0.60.3620046.4＋0.40.1620055.8－0.20.0420066.3＋0.30.0920076.00020086.2＋0.20.0420095.9－0.10.0120106.2＋0.20.046.0──0.84

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。均方差计算表

（单位：‰）则：

0.84

=───（‰）

10=0.29‰

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（19××）90919293949596979899保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.23.计算稳定系数

V＝───

X

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（19××）90919293949596979899保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.23.计算稳定系数

根据上述资料计算，计算结果为：

Vσ=0.29‰/6‰=4.833%

该结果为4.833%，远小于10％，说明保险经营稳定性很高。

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（19××）90919293949596979899保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.2

4.确定纯费率计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

[1]严格来说，对于总体均方差计算的分母为总体单位数（N）；而对样本均方差计算的分母为样本单位数减1，即n-1。但是，一则多数情况下样本单位数均在30个以上；二则为了简便，故采用在计算样本均方差时其分母直接采用样本单位数（n），并以样本均方差替代总体均方差。

纯费率是纯保费占保险金额的比率。它是用于补偿被保险人因保险事故造成保险标的损失的金额。其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋(－)均方差

1.计算保额损失率。保额损失率是赔偿金额占保险金额的比率。其计算公式为：保额损失率＝赔偿金额/保险金额×1000‰但在许多情况下，若知各年的保额损失率，则可计算平均保额损失率。例如：假设某保险公司过去10年保额损失率(‰)统计资料如下：表3.1年度（19××）90919293949596979899保额损失率(xi)6.15.75.46.45.86.36.06.25.96.2

4.确定纯费率

对稳定系数低的，则稳定性高，附加的上例中，由于稳定系数小于10％，说明稳定性很高，是低风险的险种。所以：

纯费率＝6‰+0.29‰=6.29‰

二、确定附加费率

附加费率是附加保费与保险金额的比率。附加费率由费用率、营业税率和利润率构成。其计算公式为：

附加费率＝附加保费/保险金额×1000‰

通常，附加费率可根据纯保费与附加保费的比例来确定，即：

附加费率＝纯费率×附加保费与纯保费的比例其中，附加保费与纯保费的比例＝附加保费/纯保费×100％确定附加费率

若根据上例，附加保费与纯保费的比例为20％，则附加费率＝

6.29‰×20%=1.258‰确定附加费率

附加费率由营业费率、营业税率、营业利润率构成。其中：营业费率＝营业费/保费收入营业税率＝营业税/保费收入营业利润率＝营业利润/保费收入三、确定毛费率

毛费率＝纯费率＋附加费率

三、确定毛费率

若根据上例，毛费率＝

6.29‰+1.258‰=7.548‰第三节人寿保险费率的厘定

一、人寿保险费的构成及性质二、保险费计算的基本原则三、寿险保费的分类四、人寿保险费的计算依据五、人寿保险纯保费的计算六、人寿保险营业保费的计算一、人寿保险费的构成

人寿保险费由两部分构成：纯保险费(NetPremium)和附加保费(Loading)。又称营业保费。前者用于保险金的给付；后者用于保险公司业务经营费用的开支，二者的总和就是营业保险费(OfficePremium)，亦称毛保费(GrossPremium)。其计算公式为：毛保费=纯保费+附加保费一、人寿保险费的构成

纯保费以预定死亡率和预定利率为基础所计算，是保险金给付的来源，纯保险费总额与保险金给付总额达到平衡；

附加保费用于保险经营过程中的一切费用开支。由于寿险期限较长，它的费用比较复杂，有些费用只在保单第一年存在，有些费用分摊于保险的整个期间；有些费用可表示为固定常数，而有些费用表示为保费或保额的一定比例。营业保费是保险经营过程中实际收取的保险费。二、保险费计算的基本原则

确定人身保险费的基本原则，就是保险双方当事人权利与义务对等的原则，即保险人在保险有效期内承担的各项给付义务与保险人在保险有效期内收取保险费的权利相对等。寿险保费计算的基本原则是：收支平衡原则。

二、保险费计算的基本原则寿险保费收支平衡原则中：

从保险人看：

“收”指保险人收取的保费总额，

“支”指保险人的保险金给付和支出的各项经营费用。

收与支应平衡。

从投保人看：

其支出保费总额应与收到的保额或安全保障或获得的服务平衡。二、保险费计算的基本原则收支平衡原则可描述:

保险费的精算现值＝保险金额的精算现值+各项业务费用的精算现值二、保险费计算的基本原则

进一步，保险费精算现值为纯保费精算现值与附加保费精算现值之和，从而可得：纯保费精算现值+附加保费精算现值＝保险金的精算现值+各项业务费用精算现值据此情形，可分别计算纯保费和附加保费。亦即:

纯保费精算现值＝保险金精算现值；附加保费精算现值＝各项业务费用精算现值三、人寿保险费的分类

1.自然纯保费与均衡纯保费这是按费计算方法进行的分类2.趸缴纯保费与年缴纯保费

这是按缴费方法进行的分类3.纯保险费和附加保费

这是按保险费所含成份进行的分类趸缴纯保费与年缴纯保费

趸缴纯保费是在投保之日一次性缴清的趸交毛保费中扣除附加保费后的剩余部分。年缴纯保费是自投保之日分若干次缴清的年交毛保费中扣除附加保费后的剩余部分。

自然纯保费与均衡纯保费

年龄均衡纯保费自然纯保费保费0E3.纯保险费和附加保费

这是按保险费所含成份进行的分类四、人寿保险费的计算依据

预定死亡率预定利息率预定费用率

寿险纯保费的计算依据

(一)生命表

(二)利息(一)生命表

1.生命表的概念和种类2.生命表的选用3.生命表的结构4.生命表中各项生命函数的关系1.生命表的概念和种类

(1)生命表的概念

(2)生命表的分类生命表的概念

生命表又称死亡表，或寿命表，是根据一定时期的特定国家(或地区)或特定人口群体(如寿险公司的全体被保险人)的有关生命统计资料，经整理、计算编制而成的统计表。生命表的分类

国民生命表和经验生命表完全生命表和简易生命表选择表、终极表和综合表寿险生命表与年金生命表3.生命表的结构

x：年龄。生命表的年龄自0岁起每岁为一组。自出生时算起，一直到最高龄，即极限年龄，极限年龄一般用w表示。lx：x岁的人在年初的生存人数。在生命表中，在0岁年初的人数一般假定为100000人，即l0=100000人。dx：x岁的人在年内死亡的人数，即x岁至x+1岁的年龄间死亡人数。如d5表示5岁至6岁的年龄间死亡人数。px：x岁的人在一年间的生存率，即x岁的人生存至x+1岁的概率。qx：x岁的人在一年间的死亡率,即x岁的人在一年内死亡(即死于x+1岁间)的概率。平均余命。即x岁的全体人口平均计算可期望生存的“余年”，即仍可继续生存的岁数。对年龄0岁的平均余命为平均寿命。4.生命表中各项生命函数的关系

(1)x岁的人年初生存人数(lx)与年内的死亡人数(dx)的差额为次年初(x+1)岁的生存人数:lx-dx

=lx+1

上式可以变换为：

dx=lx-lx+1

即x岁的人年内死亡人数等于x岁的人年初生存人数与次年初尚存活的人数的差额。

(2)连续数年死亡人数之和等于第一年初生存人数和最后一年初生存人数的差额。计算公式如下：dx+dx+1+dx+2+…+dx+n-1=lx-lx+n

4.生命表中各项生命函数的关系

(3)生存率是指次年初生存人数(lx+1)与年初生存人数(lx)之比。计算公式：px=lx+1/lx

这是x岁的人存活到x+1岁的生存率，如果计算x岁的人存活到x+n岁的生存率，计算公式：npx=lx+n/lx

(4)死亡率是指年内死亡的人数(dx)与年初生存人数(lx)之比。qx=dx/lx=(lx-lx+1)/lx

这是x岁的人一年间的死亡率，如果计算x岁的人在n年间的死亡率，则计算公式如下：

nqx=(lx-lx+n)/lx(二)利息

利息是货币的时间价值，即一定量的本金通过投资行为产生的收益。计算利息有三个基本要素:本金、利率和期间。利息率的计算方法有单利(Simpleinterest)和复利(Compoundinterest)两种计息方法。

1.单利和复利

2.终值和现值

3.确定年金单利

单利就是仅用本金计算利息的方法。若以P表示本金，i表示利率，n表示计算期数，I表示利息额，S表示本利和(即本金和利息之和)，则它们之间有如下关系:I=P×n×iS=P+I=P+P×n×i=P(l+n×i)单利

例1：本金1000元，年利率5%，时期3年,求利息。代入公式

I=1000×5%×3=150(元)

例2：本金100元，年利率6%，时期5年。求本利和。代入公式

S=100(1+6%×5)=130(元)

复利

复利的计算是对本金及其所生的利息一并计息，也就是利上有利。若以P表示本金，i表示利率，n表示计算期数，I表示利息额，S表示本金与利息之和，则以复利计算的本利和及利息为:

S=P(1+i)n

I=P(1+i)n－P＝P×[(1+i)n－1]

复利

例如，年初将本金1000元存入银行，年利率5%，存期3年，则用复利计算本利和为：S=1000×(1+5%)3=1157.63(元)

若P=1，则得一般公式：S=(1+i)n

根据公式可以求出复利的利息额：

I=(1+i)n-1

根据公式可以求出本金，P=S/(1+i)n

若S=1，则：P=1/(1+i)n

终值

终值是本利和。

S=P(1+i)n

复利终值表

(1+i)n

年利率i年数n5%6%7%8%11.0500001.0600001.0700001.080000

21.1025001.1236001.4490001.166400

31.1576251.1910161.2250431.259712

41.2155061.2624771.3107961.360489

51.2762811.3382261.4025521.469328

61.3400951.4185191.5007301.586874

71.4071001.5036301.6057811.713824

81.4774541.5938481.7181861.850930

91.5513271.6894791.8384591.999005

101.6288931.7908481.9671512.158925

111.7103381.8982992.1048522.331639

现值

现值就是按某种利率及生息时间计算的，在未来某一时刻要积累终值一元而现在所需要的货币量。即现在需要多少本金，将来加上利息才能积累一元的终值。故现值即本金。从：P=1/(1+i)n

，如果用v代表现值1/(1+i)，则得公式：

vn

=1/(1+i)n

复利现值表

1/(1+i)n

年利率i年数n

5%6%7%8%10.9523810.9433960.9345790.92592620.9070300.8899960.8734390.85733930.8638380.8396190.8162980.79383240.8227030.7920940.7628950.73503050.7835270.7472580.7129860.68058360.7462160.7049600.6663420.63017070.7106820.6650570.6227500.58349080.6768400.6274120.5820090.54026990.6446100.5918980.5439340.500249100.6139140.5583940.5083490.463193110.5846800.5267870.4750930.428883确定年金

年金是在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地收或付的款项。年金按支付条件分为确定年金和生命年金。确定年金是支付有确定起讫时期的年金，又称生存年金；生命年金是年金的支付依死亡或生存事件是否发生的年金，即与收款人生命有关的年金。年金还可按每期年金支付的时间划分，可分为期首付年金和期末付年金；按年金的期数划分，可分为定期年金和终身年金；按每期年金支付额有无变化划分，可分为定额年金和变额年金；五、人寿保险纯保费的计算

(一)趸缴纯保险费的计算

(二)年缴纯保险费的计算

(一)趸缴纯保险费的计算

趸缴纯保险费是在长期寿险合同签订时投保人将保险期间应缴付保险人的纯保险费一次全部缴清。

1.定期生存保险趸缴纯保险费的计算

2.定期死亡保险的趸缴纯保险的计算

3.定期两全保险的趸缴纯保费的计算

定期生存保险趸缴纯保费的计算

定期生存保险趸缴纯保费的计算举例

若35岁的972396人，投保5年期生存保险，保险金额100000元。求投保人每人应趸缴纯保险费。

(1)查《生命表》，领取保险金的人数l4090352人。（2)按年利率i=5%，查现值表v5为0.783527，代入公式

定期死亡保险趸缴纯保费的计算

定期死亡保险趸缴纯保费的计算举例

若35岁的972396人，投保5年期死亡保险，保险金额100000元,预定利率为5％。求投保人每人应趸缴纯保险费。

死亡保险趸缴纯保费的计算表(i=5%）

x(1)dxvx-35+1(2)×(3)/l35(4)×1000003510280.9523810.0010068100.683611130.9070300.0010382103.823712120.8638380.0010767107.673813240.8227030.0011202112.023914490.7835270.0011676116.76合计－－0.0054095540.95(2)(3)(4)(5)两全保险趸缴纯保费的计算

（二）年缴纯保费的计算

年缴纯保费＝趸缴纯保费/保费缴付1元期首付年金的现值六、营业保费的计算

1.比例法2.常数法3.比例常数法4.三元素法第四节保险责任准备金的提存

一、保险责任准备金的含义与类型二、非寿险责任准备金的提存三、寿险责任准备金的提存

一、保险责任准备金的含义与类型（一）保险责任准备金的含义保险的责任准备金是保险公司按法律规定为在保险合同有效期内履行赔付保险金义务而将保险费予以提存的各种金额。

保险责任准备金的类型

寿险责任未到期责任准备金准备金保险保障保险责任基金准备金未到期责任准备金

非寿险未决赔款

任准备金准备金保险保障基金

二、非寿险责任准备金

（一）未到期责任准备金（二）未决赔款准备金

（三）保险保障基金

（一）未到期责任准备金

1.未到期责任准备金的含义2.未到期责任准备金的提存

1.未到期责任准备金的含义

未到期责任准备金是会计年度决算时对未满期保单的保险费所提存的准备金。

（二）未到期责任准备金的提存方法

1.年平均估算法2.季平均估算法3.月平均估算法4.日平均估算法

1.年平均估算法。又称50％估算法，1/2法。

未到期责任准备金=当年自留保险费总额×50％上式中，

自留保险费＝全年保费收入＋分入保费－分出保费

2.季平均估算法。又称8分法。

若以An表示某季度的自留保险费；Pn表示某季度的未到期责任准备金；n表示某季度，n=1,2,3,4；(2n-1)/8表示未到期责任准备金时间系数；P表示全年未到期责任准备金，则：

Pn＝An×(2n-1)/8则P＝P1＋P2＋P3＋P4

3.月平均估算法。又称24分法

若以An表示某月的自留保险费；Pn表示某月度的未到期责任准备金；n表示某月度，n=1,2,3,4，……12；(2n-1)/24表示未到期责任准备金时间系数；P表示全年未到期责任准备金，则：

Pn＝A