2023年福建省三明高三第二次联考数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（n一七）的二项展开式中，一的系数是（）

A.70B.-70C.28D.-28

2.若。=log415.9,8=2W,c=0.4%则（）

A.c>a>hB.a>b>c

C.b>a>cD,a>c>b

-01

3.设。=log23,b=Iog46,c=5-,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知,5满足同=26,W=3,无B=-6,则万在B上的投影为（）

A.-2B.-1C.-3D.2

5.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.

A.432B.576C.696D.960

6.已知集合4={乂?[<0；8={—1,0,1},则等于（）

A.{x|-l<x<l}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

7.设S”是等差数列{4}的前〃项和，且S4=4+3,则/=（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知函数/（x）=|cosx|+sinx,则下列结论中正确的是

①函数/（x）的最小正周期为万；

②函数Ax）的图象是轴对称图形；

③函数/（x）的极大值为

④函数/（x）的最小值为—1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

x+y-l>0

9.已知实数x，）‘满足不等式组（2x—y+4N0,则|3x+4引的最小值为（）

4x+y-4<0

A.2B.3C.4D.5

10.若复数z=l+2L（i为虚数单位），则Z的共辑复数的模为（）

1+Z

A.@B.4C.2D.J5

2

22

11.已知椭圆E：二•+与=1（。>人>0）的左、右焦点分别为耳，£,过凡的直线2x+y—4=o与），轴交于点A，

a-b

线段A与与E交于点瓦若|AB|=|B耳I，则E的方程为（）

.x2y2.„x2y2_,„x2y2,„x2_

A.—H---=1B・—4-----=1C・—4-----=1D.-----卜y2=1

403620161065

12.对于定义在R上的函数y=/（x）,若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）

A./（X）在（9,0］上是减函数B.“X）在（0,+8）上是增函数

c.不是函数的最小值D.对于xeR,都有/（x+l）=/（l-x）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数z=（i-2）2（i为虚数单位），则z的共乐复数是,|z|=.

14.平面直角坐标系中Q为坐标原点，己知A（3,1）,B（-1,3）,若点C满足反=口丽+/砺，其中aJGR,且a+|J=l,则点

C的轨迹方程为一

15.在矩形45C。中，AB=2,AD=l,点E,尸分别为BC,CO边上动点，且满足跖=1,则通.标的最大

值为1

16.已知正数用力满足a+b=L则^+工的最小值等于,此时“.

ab

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知在AA5C中，角A、B、C的对边分别为b,c,。=4C，cosC-1.

TT

(1)若3=一，求4的值；

4

(2)若〃=5,求A4BC的面积.

18.(12分)如图，椭圆三+2l(a>b>0)的长轴长为4,点A、6、C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点,

BC过中心。,且忸q=2|AB|,5/=3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设P、。是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C),且满足ZP8C=NQ8A,试讨论直线族与

直线BQ斜率之间的关系，并求证直线P。的斜率为定值.

JT

19.（12分）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=2,AD=2石，NCBA=NCBD=3，点E为AD

中点.

(1)求证：平面ACD_L平面8CE；

(2)若点F为BD中息,求平面8CE与平面AC尸所成锐二面角的余弦值.

20.（12分）已知椭圆C：3+/=l（a＞人〉0）的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-3夜=0垂直,

垂足为B,且点A是线段BF的中点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若M,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线x=4交于点

Q,且福•而=9,求点P的坐标.

21.（12分）已知函数/（x）=（x+2）ln（x+l）-ar（aeR）

（I）若。=1,求曲线y=/（x）在点（0,7（0））处的切线方程；

（II）若/（尤）20在[0,+8）上恒成立，求实数。的取值范围；

4

（IH）若数列｛q｝的前”项和S“=〃2+3〃-l,b“=一,求证：数列也｝的前〃项和7；＜ln5+l）（〃+2）.

22.（10分）在平面直角坐标系》0》中，已知向量”=（以）5＜2,5m々），6=cosfz+?）,sin[a+5],其中0＜a＜、.

（1）求仅一的值；

⑵若2=。』），且（3+；）P£,求a的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

试题分析：由题意得，二项展开式的通项为（+1=0"8-，（_七），=（-1），《「一子，令8—gr=2nr=4,所以x2的

系数是（-。或=70,故选A.

考点：二项式定理的应用.

2.C

【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较。、h,c三个数与1和2的大小关系，进而可得出。、b.c三个数的大小关

系.

【详解】

对数函数y=log4X为(0,+8)上的增函数，贝!Jl=log44<log415.9<108/6=2,即l<a<2；

指数函数y=2'为R上的增函数，则b=210'>2=2;

ai

指数函数y=04'为R上的减函数，则c=0.4<0.4°=1.

综上所述，b>a>c.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数幕与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，

属于基础题.

3.A

【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较。力,再由中间值1可得三者的大小关系.

【详解】

<)

a=log,3G(1,2),b=log46=log,V6e(1,log23),c=5"'e(0,l),因此a>b>c,故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

4.A

【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

2在5上的投影为同8S。=苛=停=-2.

故选:A

【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题.

5.B

【解析】

先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二

者之一相邻.

【详解】

首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有8种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有国种不同方式;

若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式;

根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为由段(A：+C；&)=576种.

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.

6.C

【解析】

先化简集合A,再与集合8求交集.

【详解】

x-1

因为A=卜

x+2

所以Ac3={-1,()}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.

7.C

【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得生的值.

【详解】

由于等差数列也｝满足=%+3,所以q+g+%+%=%+3,4+。2+%=3,34=3,4=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

8.D

【解析】

因为/(尤+兀)=|cosa+7r)|+sinO+7t)=|cosx|-sinxw/(x),所以①不正确；

'Ji

因为/(x)=jcosx|+sinx,所以/(—+x)=|cos(~+x)I+s*n^+-^)=1sinx|+cosx,

f(.--X)=|cos(^-x)|+sin(^-x)=1SinXI+COSX,所以/(1+x)=/(^-x),

所以函数/(x)的图象是轴对称图形，②正确；

易知函数f(x)的最小正周期为2%,因为函数/(x)的图象关于直线x=|■对称，所以只需研究函数〃x)在手］上

的极大值与最小值即可.当工4x4网时，/(x)=-cosx+sinx=V2sin(x-^),且：4x一；《毛，令：=力得

22444442

X=彳，可知函数./'(》)在*=多处取得极大值为正，③正确；

44

因为:毛，所以-1W血sin(x—所以函数/(X)的最小值为一1，④正确.

4444

故选D.

9.B

【解析】

3

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4y的最小值即为|3x+4y|的最小值，作y=-彳H平移直线即可求解.

【详解】

x+y-l>0

作出实数x，)‘满足不等式组2x-y+420的可行域，如图(阴影部分)

4x+y-4<0

3

作出＞=-3无，平移直线，当直线经过点A（1,O）时，截距最小，

4

故Zmin=3'1+0=3,

即|3x+4y|的最小值为3.

故选：B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

10.D

【解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共朝复数，然后由模的定义计算模.

【详解】

：z=l+3=l+/"J）.\=2+i,.-.Z=2-z,.-.|z|=^.

1+z（l+/）（l-z）11

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，考查共施复数与模的定义，属于基础题.

11.D

【解析】

由题可得A（0,4）,巴（2,0）,所以只=2,又|AB|=|班所以2a=|即|+|%|=|A闾=26,得。=逐，故可

得椭圆的方程.

【详解】

由题可得A（0,4）,£（2,0）,所以c=2,

又|AB|=|班所以2“=忸耳|+|叫|=|你|=2石，得a=5；.b=l,

2

所以椭圆的方程为三+丁=1.

5

故选：D

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.

12.B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由f(X+1)=/(1-X)得/(X)关于X=1对称，

若关于X=1对称，则函数/(X)在(0,+8)上不可能是单调的，

故错误的可能是8或者是O,

若。错误，

则/(X)在(-8,0]上是减函数，在/(X)在(0,+8)上是增函数，则/(0)为函数的最小值，与C矛盾，此时C也错误,

不满足条件.

故错误的是8,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3+4，5

【解析】

直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数Z的共匏复数和Z的模.

【详解】

22

...Z=(Z--2)=/-4/+4=3-4Z,则复数二的共物复数为3+4i,且忖=加?+(—4]=5.

故答案为：3+4z；5.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题.

14.x+2y—5=0

【解析】

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果

【详解】

因为反=1砺+£砺，且a+B=l,所以A,B,C三点共线，

因此点C的轨迹为直线AB：y-l=上口(x-3)；.x+2y-5=0.

3+1

【点睛】

本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

15.4

【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E,尸的坐标，由"=1可得（。―1）2+e-2）2=1,利用数量积运算求得

AEAF^2b+a＞再利用线性规划的知识求出t^a+2b的最大值.

【详解】

建立平面直角坐标系，如图（1）所示：

设E（2,a）,网友1）,

•••^(2-/?)2+(l-a)2=1,

即.7)2+0-2)2=[,

又超赤=2》+。，

令t=a+2b,其中0«a〈l,0〈人42,

当直线t=a+如经过点E(O,2)时，f取得最大值r=4.

故答案为：4

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

16.3—

2

【解析】

根据题意，分析可得2+]_=?+*=2+@+1,由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条

ababab

件可得”的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，正数。、分满足

b1ha+bba.Jba«八

则一+—=-+----=-+-+l>2-x-+l=3,

ababab\ab

当且仅当。=b时，等号成立，

2

故2+工的最小值为3,此时a=’.

ab2

故答案为：3；—.

2

【点睛】

本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)7(2)14

【解析】

34

(1)在AABC中，cosC=2,可得sinC=—,结合正弦定理，即可求得答案；

55

(2)根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.

【详解】

3

(1)•••在A4BC中，cosC=j,

•「4

••sinC=-

59

•/A=4-(3+C),

/.sinA=sin(B+C)=sinSeosC+cosBsinC=x—+x—=

252510

ac

•.----=-----,

sinAsinC

-a=-------xsmA=7.

sinC

(2)*/c2+从-2abcosC,

••32—/+25-6a，

••・/-6。-7=0,

•e•解得a=7,

114

S.=—tz/?sinC=—x7x5x—=14.

以ARr吐225

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于

中档题.

22

18.(1)土+匕=1；(2)详见解析.

43

【解析】

试题分析：⑴利用题中条件先得出。的值，然后利用条件忸C|=2|A理，、1叱二3结合椭圆的对称性得到点3的坐

标，然后将点3的坐标代入椭圆方程求出。的值，从而确定椭圆的方程；(2)将条件NPBC=

NQ8A得到直线即与8。的斜率直线的关系(互为相反数)，然后设直线8P的方程为=1),将此直线

的方程与椭圆方程联立，求出点P的坐标，注意到直线加与8。的斜率之间的关系得到点。的坐标，最后再用斜率

公式证明直线PQ的斜率为定值.

13

(1)*.•|BC|=2|AB|,/.S^0AB=—SMBC--,

又AA08是等腰三角形，所以

22

把B点代入椭圆方程zx+方y=屋求得〃=3,

22

所以椭圆方程为七r+二v=1；

43

(2)由题易得直线BP、BQ斜率均存在,

又/PBC=NQBA,所以kBP=-kpQ,

3丫22

设直线—；=%（工一1）代入椭圆方程'+'=1,

化简得（3+4巧—g卜+4公一12%-3=0,

4户-12^-3

其一解为1,另一解为号=3+筵

-\28-6k3

可求力

3+4/2

4r+⑵-3-12北+6A3

用-左代入得血3+442-，）。-3+4r+1

•'•%=———=:为定值.

xp-xQ2

考点：L椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率

19.(1)答案见解析.(2)生旦

31

【解析】

(D通过证明平面ABE),证得BCLAO,证得BE_LAT),由此证得AD_L平面BCE,进而证得平面AC。_L

平面BCE.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面BCE和平面AC尸的法向量，计算出平面8CE与平面AC尸所成锐二面角的余

弦值.

【详解】

JF

(1)因为NCBA=NCBD=—,所以8c，平面ABO,

2

因为AOu平面所以BC_LAO.

因为AB=3O,点E为AZ)中点，所以BELAD.

因为=所以A。_L平面BCE.

因为ADu平面ACD,所以平面AC。_L平面BCE.

(2)以点3为坐标原点，直线8c8。分别为x轴，.V轴，过点8与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐

标系，则3（0,0,0）,A（O,-1,V3）,C（2,0,0）,D（0,2,0）,£0,,F（O,1,O）,

。崎

沅=（2,0,0）,BE,CF=（-2,1,0）,赤=（0,2,@,

2玉=0,

n-BC=0,

设平面BCE的一个法向量"=（XpX，Z］）,贝！J,—即《1V3

n•BE=0,匕y+弁=。,

取4=1,则玉=0,y=一百，所以3=（0,—省,。,

m-AF=0,2y2+岛］=0,

设平面4。尸的一个法向量m=（%2，%，22），贝卜即＜

和CF=。,—

2X2+%=°,

取z?=2,则工2=—9y2=—yfi9所以m=

设平面BCE与平面ACF所成锐二面角为0，

Ox+1x2

5而

31,

4-1

所以平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值为生史.

31

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

22

20.（I）—+^-=1.

42

【解析】

（I）写出AF坐标，利用直线AE与直线x+y-3&=0垂直，得至iJZ?=c.求出8点的坐标代入x+y-30=0,

可得到dc的一个关系式，由此求得b,c和。的值，进而求得椭圆方程.（II）设出P点的坐标，由此写出直线MP的

方程，从而求得。点的坐标，代入丽•而=9,化简可求得P点的坐标.

【详解】

（I）I•椭圆的左焦点E（-C,0）,上顶点A（0,。），直线AF与直线x+y-30=0垂直

b

二直线AF的斜率％=—=1,即Z?=c①

c

又点A是线段BF的中点

:,点B的坐标为B（c,2b）

又点B在直线r+y-30=（）上

:・c+2b-3叵=0②

二由①②得：b=c=6

a2=4

22

二椭圆C的方程为Ly+L=l.

42

（II）设P（而,%）,（%>0,%>0）

由⑴易得顶点M、N的坐标为M（-2,0）,N（2,0）

直线MP的方程是：y=年3（"+2）

y=%（x+2）（6y）

V

由.x0+2）得：。4,外

[x=4IE

22

又点尸在椭圆上，故工+里=1

42

•A,2-7工。2

・・y0-2__~

6y(：=一/2+8/+20二9

砂而=(x0+2,%).2,*=2(/+2)+

x0+2x0+2

X。=1或一2(舍)

.屈/

••%=于(%>0)

...点P的坐标为尸1,

【点睛】

本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程

中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应

该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.

21.(I)x-y=O；(II)(-oo,2]；(IH)证明见解析.

【解析】

试题分析：⑴将a=1,求出切线方程⑵求导后讨论当aK2时和a>2时的单调性证明，求出实数。的取值范围⑶

2Y

先求出％、。，的通项公式，利用当x>0时，(x+2)ln(l+x)>2x得ln(l+x)>^^,下面证明：

工、<ln(〃+l)(〃+2)

解析：(I)因为a=l,所以/(x)=(x+2)ln(x+l)-x,/(0)=(0+2)xlnl-0=0,切点为(0,0).

由/'(x)=ln(x+l)+m一1,所以r(O)=ln(O+l)+需一1=1,所以曲线y=〃x)在(0,0)处的切线方程为

y-O=l(x-O),即x-y=O

(II)由/〈司二后口+0+^^1-a,令g(x)=/(x)(xe[0,+oo)),

]]X

则8'(力=7石一洒1尸=[712°(当且仅当x=0取等号).故/'(X)在[0,一)上为增函数•

①当a«2时，/'(力2/'(0)20,故在[(),”)上为增函数，

所以/(x)2/(0)=0恒成立，故aW2符合题意；

②当a>2时，由于/'(0)=2-a<0,1)=1+[>0,根据零点存在定理，

必存在，«0,于一1),使得/'⑺=0,由于/'(X)在［0,+s)上为增函数,

故当xw(O,r)时，/'。)<0,故/(%)在》6(0")上为减函数，

所以当xe(O")时，〃x)</(0)=0,故”x)20在［0,+8)上不恒成立，所以a>2不符合题意.综上所述，实数。

的取值范围为(-oo,2］

4

n=\

二〃=j=3,

(HI)证明：由S〃=/?+3〃-Ina”=

2n+2,n>2"2

,n>2

、〃+1

由(H)知当x>0时，(x+2)ln(l+x)>2x,故当x>()时，ln(l+x)>—

2.2““

故I""讣碟=匕故第(1+