2023届北京市西城区高三年级上册学期数学期末试题【含答案】

2023届北京市西城区高三上学期数学期末试题一、单选题1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合A用列举法进行表示，从而可以确定.【详解】集合，，，故选：B.2．设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法运算法则,将求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标.【详解】解:由题知,,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A3．己知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数【答案】C【分析】求出函数定义域，求出的表达式即可判断奇偶性.当，，可知函数在上单调递增，即可得出答案.【详解】由已知可得，的定义域为，关于原点对称.又，所以为偶函数.当，，因为在上是增函数，所以在上是增函数.故选：C.4．已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.【详解】解:由题知双曲线,即,故焦点坐标为,渐近线方程为:,即,由双曲线的对称性,不妨取焦点到渐近线的距离,故焦点到其渐近线的距离为.故选:B5．设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】（1）利用幂函数单调性即可判断A，利用正切函数单调性即可判断B，举例，即可判断C，利用对勾函数和二次函数性质即可判断D.【详解】根据幂函数在上为单调增函数，故时，，故A错误，根据三角函数在上为单调增函数，故时，故，故B错误，，即，，但与的大小关系不明，如，，显然此时，故C错误，根据对勾函数的图像与性质当时，可知，而，根据二次函数图像与性质可知其值域，当时，，当时，，故当时，则，故，故D正确.故选：D.6．在中，若，则的面积是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.【详解】由余弦定理得，代入，得，联立化简得，解得或（舍去），故，，则,故.故选：D.7．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（

）A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时【答案】C【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即当小于等于200时,适宜开展户外活动,即,因为,所以当时,只需,解得:,当时,只需,解得:,综上:适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时.故选:C8．设，均为锐角，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.【详解】因为，均为锐角，所以，.当时，，由函数在上单调递增，所以，故“”是“”的充分条件.当时，由，，则，所以，因为函数在上单调递增，所以，即，故“”是“”的必要条件.综上所述，“”是“”的充分必要条件.故选：C.9．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，则，直线所在直线方程为，设，，则，，，当时，，当时，，故其取值范围为，故选：B.10．如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其内部的点构成的集合，是正方形及其内部的点构成的集合．设，给出下列三个结论：①，使；②，使；③，使与所成的角为．其中所有正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，假设出的坐标；对于①，利用空间向量的模长公式与坐标的取值范围即可判断；对于②③，利用赋值法与空间向量的数量积运算即可判断.【详解】因为四边形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为四边形是正方形，所以，则两两垂直，所以以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，对于①，因为，所以不妨设，其中，则，故，因为，所以，则，所以，，，即，所以，故①错误；对于②，结合①中结论，，假设，则，即，即，显然令，可以成立，所以假设成立，故②正确；对于③，结合②中结论，假设与所成的角为，则，即，令，则，，，所以上述等式成立，故假设成立，故③正确；综上：②③正确，①错误，所以正确结论的个数是.故选：C.【点睛】关键点睛：本题利用图形的规整性，选择以以为原点，建立合适的空间直角坐标系，设，写出相关向量，利用空间向量的模长公式来判断①，利用向量垂直，则其点乘为0，找到②正确的情况，利用空间向量来解决异面直线夹角问题，即找到③正确的情况.二、填空题11．的展开式中的常数项为________.（用数字作答）【答案】【分析】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为求解出的值，将的值代入展开式则常数项可求.【详解】展开式的通项为，令，，所以常数项为，故答案为：.12．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logisticmodel”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：①；②在上是增函数；③．其中所有正确结论的序号是_______________．【答案】①②③【分析】①代入函数值即可求解；②求导后确定函数的单调性即可；③进行等价证明看是否复合条件即可.【详解】①当，所以；②，因为均为正常数，且，所以，所以在上是增函数；③，等价于，即等价于，即等价于，等价于，而恒成立，且，所以恒成立，即．故选项③正确.故答案为：①②③.三、双空题14．已知是等差数列,,且成等比数列,则______________;的前项和______________．【答案】

-5

【分析】(1)设出等差数列的公差,根据成等比数列,列出式子,将均用代替,解出,即可求的值;(2)由上一空求得的,根据等差数列前项和公式代入即可求出答案.【详解】解:由题知是等差数列,不妨记公差为,因为成等比数列,,所以,即,解得:,故;由于,,所以.故答案为:-5;15．设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________．【答案】

【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果;(2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围.【详解】解:由题知当时,,故在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,故的单调递增区间是;由于在上的值域为,若的值域为,只需在上的值域包含即可,故需,即,此时在上的值域为,故需,即,综上:.故答案为:;四、解答题16．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)若，且，求x的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式即可化解得，则得到其最小正周期；（2）根据范围求出，则，则，解出即可.【详解】（1）所以的最小正周期为.（2）因为,所以.因为,所以.所以.解得,所以的取值范围是.17．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．(1)求证：∥平面；(2)若平面，求：（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）点D到平面的距离．【答案】(1)见解析；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）在射线上取点,使，证明四边形为平行四边形，则，则根据线面平行的判定即可得到；（2）以为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面的法向量为，则可计算出线面角的正弦值；（3）因为,根据（2）的结论则得到距离.【详解】（1）如图,在射线上取点,使,连接.由题设,得,所以四边形为平行四边形.所以且.又四边形为平行四边形,所以且.所以且..所以四边形为平行四边形,所以.因为平面平面所以平面.（2）（i）因为平面,平面，所以.又,所以,,两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系,则.所以.设平面的法向量为,则即令,则.于是.设直线与平面所成角为,则所以直线与平面所成角的正弦值为.（ii）因为,所以直线与平面所成角的正弦值为.所以点到平面的距离为18．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：12月1月2月3月4月5月轿车28.421.315.426.016.721.0MPV0.80.20.20.30.40.4SUV18.113.711.718.111.314.5(1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；(2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；(3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）先求出这6个月月度零售销量平均值，再利用古典概型的概率公式求解即可；（2）根据题意求得的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求得各取值的概率，从而得到的分布列，进而可得的数学期望；（3）利用方差的求法，结合题意所给数据求解即可.【详解】（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过的概率为.（2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012故的数学期望.（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，其平均值为，所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，所以，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，其平均值为，所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，所以，故.19．如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B，的中点为M．设O为原点，射线交椭圆E于点C．当与的面积相等时，求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意得到，解出即可.（2）的方程为，联立椭圆方程得，设,得到两根之和式，设,根据，从而，结合其在椭圆上得到，解出即可.【详解】（1）由题设,，解得.所以椭圆的方程为.（2）直线的方程为.由得.设,则.因为与的面积相等,所以点和点到直线的距离相等.所以为线段的中点,即四边形为平行四边形.设,则.所以.将上述两式代入，得.解得.【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式，通过面积相等则得到为线段的中点，则为线段的中点，利用向量加法得到，从而用表示出点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可.20．己知函数,其中．(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,判断的零点个数,并加以证明;(3)当时,证明:存在实数m,使恒成立．【答案】(1)(2)1个(3)证明见解析【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.【详解】（1）解:由题知,,,,故在点处的切线方程为,即;（2）由题,,,,,故在上单调递增,,故有1个零点;（3）由题,,,令,,即在上单调递增,,且,故,使得,即在上单调递增,即,单调递减,即,单调递增,故,若恒成立,只需,即即可,故存在实数m,使恒成立.【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;(3)对新的函数进行求导求单调性;(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.21．己知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质