时间序列与预测

时间序列与预测第一页，共四十三页，2022年，8月28日时间序列是一个变量在连续时点或持续时期上的预测值的集合。可以通过分析时间序列数据，对未来的时间序列提供预测值。从历史数据中发现规律性的轨迹，将其作为预测未来的依据。第二页，共四十三页，2022年，8月28日时间序列的构成1.趋势成分：在较长时间内时间序列呈现的逐渐增加或逐渐减少的变化称为趋势。它是长期因素影响的结果。2.循环成分：时间序列每隔一段较长时间，重复出现的上下波动。（商业周期及消费品周期更新导致的需求量变动）3.季节成分：时间序列因季节（年、季、月、周）变动而出现的那一部分变异。（银行活期储蓄额，发放工资前减少，发放工资后增多，按月呈周期性）4.不规则成分：时间序列中除上述各成分外的剩余部分，它反映序列中的随机变动，其影响不能预测。第三页，共四十三页，2022年，8月28日平滑法预测该法的目的是通过消除时间序列的不规则成分造成的随机波动；该法适用于比较平稳的时间序列，即没有明显的趋势、循环或季节影响。第四页，共四十三页，2022年，8月28日1.移动平均法公式：移动平均数＝最近n个数据之和/nn为步长观察以上数据，发现该时序随着时间的推移而发生较平稳的变化。周123456789101112汽油销量172119231816201822201522第五页，共四十三页，2022年，8月28日第六页，共四十三页，2022年，8月28日我们适用移动平均法来预测汽油销量：首先选择移动平均发里面所包含的数据个数，即步长n。我们使用三周的移动平均值来预测第四周的汽油销量。三周移动和576360575454606057三周移动平均192120191818202019预测误差4-3-41040-53误差平方1691610160259与第4周的实际值相比第七页，共四十三页，2022年，8月28日用误差均方来衡量预测方法的精度：均方误差MSE=误差平方和/误差个数=92/9=10.22不同步长的移动平均值对时序的预测精度是不同的，因此步长的选择可以根据精度的高低来确定。第八页，共四十三页，2022年，8月28日2.加权移动平均法采用赋权法：为每一个数据选定不同的权值，然后计算最近的n个数值的加权平均值作为预测值。总得来说，我们对离得较近的数据赋予较大的权重。周123456789101112汽油销量172119231816201822201522第九页，共四十三页，2022年，8月28日第十页，共四十三页，2022年，8月28日周456789101112销售量231816201822201522预测销售量19.3321.3319.8317.8318.3318.3320.3320.3317.83预测误差3.67-3.33-3.832.17-0.333.67-0.33-5.334.17误差平方13.4711.0914.674.710.1113.470.1128.4117.39第十一页，共四十三页，2022年，8月28日应用加权移动平均得到的均方误差MSE=103.43/9=11.49与三周平均法相比，用加权移动得到的均方误差MSE较大。当时间序列波动较大时，选择近似相等的权数也许更为合适。第十二页，共四十三页，2022年，8月28日第十三页，共四十三页，2022年，8月28日3.指数平滑法指数平滑模型：其中，F(t+1)为第t+1期的预测值；Yt为第t期的实际值。α为平滑常数，在[0,1]间取值。原式可以转换为：说明第t+1期的预测值等于前一期的预测值加上一个调整值。第十四页，共四十三页，2022年，8月28日若时间序列含有较大的随机变异，则取较小的α为佳。若时间序列含有较小的随机变异，则取较大的α为佳。第十五页，共四十三页，2022年，8月28日当α接近1时，距离预测期远的数据的权数衰减速度越快；当α接近0时，距离预测期远的数据的权数的衰减速度较慢。其中有，第十六页，共四十三页，2022年，8月28日用指数平滑法对上例进行预测：取α=0.2计算得到的MSE=98.8/11=8.98第十七页，共四十三页，2022年，8月28日现可取α为0.3看预测结果：计算得到该平滑预测的MSE=102.83/11=9.35周23456789101112销售量2119231816201822201522预测量1718.218.4419.8119.2718.2918.8018.5619.5919.7118.30预测误差-4-0.8-4.561.813.27-1.710.80-3.44-0.414.71-3.70误差平方160.6420.793.2710.662.940.6411.830.1722.2313.69第十八页，共四十三页，2022年，8月28日介绍另一种衡量预测精度的方法：平均绝对误差MAD＝各个误差的绝对值之和/误差个数MAD1=2.67;MAD2=2.98;MAD3=2.59;MAD4=2.65与MSE相比，MAD受较大的预测误差影响较小。周23456789101112移动434104053加权3.673.333.832.170.333.670.335.334.17指数0.241.24.961.032.831.740.613.510.814.353.52指数0.340.84.561.813.271.710.803.440.414.713.70第十九页，共四十三页，2022年，8月28日趋势推测法对象：呈现长期线性趋势的时间序列1.线性趋势方程：Tt为第t期的时间序列趋势值；b0为趋势线的截距；b1为趋势线斜率；t为时间公式：n为时期个数第二十页，共四十三页，2022年，8月28日某工厂过去10年的自行车销售量时间序列如表：年t12345678910销量21.622.925.521.923.927.531.529.728.631.4第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日从图中看出，虽然销售量也呈现上下波动，但同样也显示出较明显的线性增长趋势。由回归方法可以计算得到线性趋势方程：tYtYt^2121.621.61222.945.84325.576.59421.987.616523.9119.525627.516536731.5220.549829.7237.664928.6257.4811031.4314100Total55264.51545.5385第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日2.应用趋势法预测(用此法预测前应作显著性检验)：假设时间序列所表现出的趋势对未来是合适的，则可以利用线性趋势方程来预测时间序列的趋势成分。例如在上例中取t=11，可得第11年的趋势预测值，为20.4+1.1×11=32.5第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日对于非线性的趋势，应采用非线性回归的方法来解决。第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日利用趋势和季节成分进行预测对象：同时含有趋势和季节成分的时间序列1.乘法模型：Y=T×S×I（任何一个时间序列都含有I成分）T趋势，S季节，I随机Y原时序对这种情况，现计算季节指数，用来消除S的影响，若消除了S以后有明显的趋势成分，再用回归分析来估计T第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日某电视机生产上在过去4年的电视机销售数量：年季度销量31625.637.547.8416.325.93848.4年季度销量114.824.13646.5215.825.236.847.4第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日2.计算季节指数我们首先通过计算移动平均法，将趋势成分T与季节成分S以及随机成分I分离，然后再确定每个季度的季节影响。我们先使用4项移动平均法去除S和I的影响。如第一个移动平均值为(4.8+4.1+6+6.5)/4=5.35第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日年度季度销量4项移动平均移中平均季节-不规则值114.824.15.35365.65.4751.0958946.55.8755.73751.132898215.86.0755.9750.97071125.26.36.18750.84040436.86.356.3251.07509947.46.456.41.156253166.6256.53750.91778225.66.7256.6750.83895137.56.86.76251.10905747.86.8756.83751.140768416.376.93750.90810825.97.157.0750.8339223848.4第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日第三十页，共四十三页，2022年，8月28日移动平均的目的是：将季节成分和不规则成分从时序中分离。移动平均值的中间值用来调整时序的对应时期。图中绘出了中间值的趋势图，看出分离了季节和不规则成分的时序有一定的增长趋势。第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日在表中第6列，列出了含有S和I的成分，要计算季节指数，还需要将该复合成分中的I去除。季度S和I复合成分季节指数S10.9707110.9177820.9081080.93220.8404040.8389510.8339220.83831.095891.0750991.1090571.09341.1328981.156251.1407681.143第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日在有些时候，需要对季节指数进行调节。乘法模型需要平均季节指数等于1，即四个季节指数之和为4。调整的公式为：第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日3.消除季节影响的时间序列年度季度销量S指数消除季节影响后的销售量Y/S114.80.9325.14910724.10.8384.894008361.0935.48772746.51.1435.685271215.80.9326.22183825.20.8386.20703436.81.0936.21942447.41.1436.4724633160.9326.43638425.60.8386.68449837.51.0936.85965947.81.1436.822326416.30.9326.75820325.90.8387.042596381.0937.31696948.41.1437.34712第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日4.利用消除了季节影响的时间序列确定趋势由上图发现，该趋势呈线性，我们利用线性趋势方程来确定趋势成分计算得到：预测第5年的季度销售量的趋势预测值：令t=17,18,19,20分别代入趋势方程得到：7617、7765、7913和8016台第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日5.进行季节调整（添加原来的时序的季节指数）：单位千台年度季度趋势预测值季节指数含季度成分的预测值517.6170.9327.100627.7650.8386.505237.9131.0938.651748.0161.1439.1647第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日本例讨论的是季度的数据，若以月度为步长，则移动平均的步长n为12，计算的是每月季度指数，其它预测的步骤同上。第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日利用回归分析进行预测用回