方积乾统计基础

方积乾统计基础第一页，共一百页，2022年，8月28日卫生统计学第一章绪论第二页，共一百页，2022年，8月28日什么是统计学(statistics)？“Asciencedealingwiththecollection,analysis,interpretation,andpresentationofmassesofnumericaldata”(Webster'sInternationalDictionary)。“Thescienceandartofdealingwithvariationindatathroughcollection,classification,andanalysisinsuchawayastoobtainreliableresults”(JohnM.Last,ADictionaryofEpidemiology)第三页，共一百页，2022年，8月28日什么是统计学(statistics)？内容:收集、分析、解释和表达数据统计学:处理数据中变异性的科学与艺术目的:求得可靠的结果统计学的现实地位：合作、审稿、基金申请（NIH）、药物开发与申报（FDA）、卫生决策第四页，共一百页，2022年，8月28日

统计学的若干概念1.总体与样本总体(population):大同小异的对象全体。目标总体(targetpopulation):试图下结论的某个总体.例如，英国成年男子为目标总体研究总体(studypopulation):资料来源的较小的总体.例如，1951年英国全部注册医生需要谨慎:就研究总体所下的结论未必适用于目标总体。第五页，共一百页，2022年，8月28日抽样(sampling)：从研究总体抽取部分个体样本(sample)：抽取的部分个体数据(data)：观察所得资料推断(inference)：分析样本数据，获得关于总体的知识数据信息信息知识统计推断的工具：有关概率的理论。

推断的结论从来不是完全肯定或完全否定的。

关键与核心：抽样方法、样本的代表性和推断的方法

第六页，共一百页，2022年，8月28日２．同质与变异同质性(homogeneity)共性，大同小异

变异(variation)个体间差异，多样性

没有同质性就构不成一个总体；

总体内没有变异性就无需统计学。

统计学的任务：

在变异的背景上

描述同一总体的同质性，

揭示不同总体的异质性(heterogeneity)。

第七页，共一百页，2022年，8月28日３.变量的类型变量(variable)：个体特性的数量描述(1)定性变量

(i)分类变量(categoricalvariable)或名义变量(nominativevariable)。分类变量的水平(level)代码(code)用1、2、3、4、5等来表示各个水平。二分类变量(binaryvariable),也称0-1变量或假变量(dummyvariable)(ii)有序变量(ordinalvariable)

种种可能的“取值”中自然地存在着次序。

第八页，共一百页，2022年，8月28日(2)定量变量

(i)离散型变量只能取整数值。例如，手术病人数;新生儿数

(ii)连续型变量可以取实数轴上的任何数值。由测量而得到的大多属于连续型变量例如，血压、身高、体重等“连续”:指该变量可以在实数轴上连续变动。变通：红细胞记数也视为连续型变量。（一个、两个、三个之间的差别并不重要）第九页，共一百页，2022年，8月28日变量类型的转化:只能由高级向低级转化,

不能作相反方向的转化

连续型→有序→分类→二值离散型变量常常通过适当的变换或连续性校正后借用连续型变量或有序变量的方法来分析。第十页，共一百页，2022年，8月28日4.因果与联系公共卫生领域常常要探究危险因素与疾病之间的因果关系(causation)。首先应当问存在不存在联系(association)然而，存在联系未必有因果关系在解释统计分析的结果以及下结论时,

务必对“因果”二字慎之又慎。第十一页，共一百页，2022年，8月28日第二章定量资料的统计描述

第十二页，共一百页，2022年，8月28日

把握资料的基本特征为统计分析打下基础统计表描述性统计量统计图统计描述

----从资料中获取信息最基本的方法第十三页，共一百页，2022年，8月28日第一节频数与频数分布

频数分布表（frequencydistributiontable），又称频数表

一、

离散型定量变量的频数分布例2-11998年某山区96名孕妇产前检查次数资料如下：0，3，2，0，1，5，6，3，2，4，1，0，6，5，1，3，3，…，4，7第十四页，共一百页，2022年，8月28日第十五页，共一百页，2022年，8月28日直条图（barchart）横坐标：产前检查次数；纵坐标：频率,检查k次的妇女所占的比例（%）等宽矩形长条：高度相当于检查次数的频率第十六页，共一百页，2022年，8月28日二、连续型定量变量的频数分布

例2-2抽样调查某地120名18岁～35岁健康男性居民血清铁含量（μmol/L），数据如下:第十七页，共一百页，2022年，8月28日第十八页，共一百页，2022年，8月28日直方图（频率直方图）横轴：血清铁含量纵轴：频率密度

=频率/组距面积=频率注：组距相等时，矩形直条的高度与相应组段的频率成正比。

第十九页，共一百页，2022年，8月28日图2-2120例健康成年男子血清铁含量分布

单峰、对称-----对称分布第二十页，共一百页，2022年，8月28日图2-3某地居民238人发汞含量（μmol/kg）分布单峰，不对称-----偏峰分布正偏峰分布：峰偏向左侧负偏峰分布：峰偏向右侧第二十一页，共一百页，2022年，8月28日第二节定量变量的特征数

定量地描述集中趋势与离中趋势是统计描述的重要内容一、

描述集中趋势的统计指标

对于连续型定量变量，描述集中趋势常用的统计量为算术均数、几何均数和中位数。第二十二页，共一百页，2022年，8月28日1.算术均数简称均数（mean，），适合描述对称分布资料的集中位置（也称为平均水平）。其计算公式为

n：样本含量

X1，X2，…，Xn：观察值或：观察值之和例2-3测得8只正常大鼠血清总酸性磷酸酶（TACP）含量（U/L）为4.20，6.43，2.08，3.45，2.26，4.04，5.42，3.38。试求其算术均数。按式（2-1），算术均数为

第二十三页，共一百页，2022年，8月28日2.几何均数（geometricmean，G）

适用于观察值变化范围跨越多个数量级的资料

频数图一般呈正偏峰分布

例2-57名慢性迁延性肝炎患者的HBsAg滴度资料为1:16，1:32，1:32，1:64，1:64，1:128，1:512。试计算其几何均数。第二十四页，共一百页，2022年，8月28日3.中位数（median，M）可用于各种分布的定量资料总体中有一半个体的数值低于这个数，一半个体的数值高于这个数。

基于样本资料将n例数据按升序排列，第i个数据记为

n为奇数时

n为偶数时

例2-7某药厂观察9只小鼠口服高山红景天醇提取物（RSAE）后在乏氧条件下的生存时间（分钟）如下：49.1，60.8，63.3，63.6，63.6，65.6，65.8，68.6，69.0。试求其中位数。第二十五页，共一百页，2022年，8月28日百分位数（percentile）总体中,数值小于它的个体恰有X%，大于它的个体恰有1-X%样本估计：按照升序排列的数列里,其左侧（即小于它）的个体数在整个样本中所占百分比为X%。第二十六页，共一百页，2022年，8月28日4.众数（mode）总体中出现机会最高的数值。样本估计：在样本中出现次数最多的数值。例2-11998年某山区96名孕妇产前检查次数资料:0，3，2，0，1，5，6，3，2，4，1，0，6，5，1，3，3，…，4，7

众数为4（次）第二十七页，共一百页，2022年，8月28日二、描述离散趋势的特征数同一总体中不同个体之间的离散趋势又称为变异（variation）。

例2-11试观察三组数据的离散状况。（均数都是30）

A组：26，28，30，32，34

B组：24，27，30，33，36

C组：26，29，30，31，34第二十八页，共一百页，2022年，8月28日1.极差（range，R）R=最大值－最小值计算简便，但仅利用了两个数据的信息一般，样本量n越大R也往往会越大,不够稳定

例2-12计算上述三组数据的极差A组R=34-26=8B组R=36-24=12C组R=34-26=8第二十九页，共一百页，2022年，8月28日2.四分位数间距（quartilerange，Q）

Q=P75-P25

P25与P75之间恰好包含50%的个体四分位数间距Q是总体中数值居中的50%个体散布的范围Q越大意味着数据间变异越大第三十页，共一百页，2022年，8月28日3.方差（variance）

又称均方差（meansquaredeviation）μ：总体均数

N：总体中个体的总数

分母：离均差平方和方差越大意味着数据间变异越大样本方差:

或

n-1称为自由度（degreesoffreedom）：总体方差:第三十一页，共一百页，2022年，8月28日4.标准差（standarddeviation，S）

标准差是方差的算术平方根。标准差的量纲与原变量一致。标准差越大意味着个体间变异越大。标准差适合用来表达对称分布的离散趋势。第三十二页，共一百页，2022年，8月28日例2-14分别计算例2-11中三组数据的标准差。按照公式（2-11）与标准差的定义

A组

B组

C组C组数据的离散趋势最小，B组的最大第三十三页，共一百页，2022年，8月28日5.变异系数（coefficientofvariation，CV）

例2-161985年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数为8.42kg，标准差为0.98kg；身高均数为72.4cm，标准差为3.0cm。体重的变异大还是身高的变异大？体重的变异系数身高的变异系数

用于量纲不同的变量间变异程度的比较或均数差别较大的变量间变异程度的比较第三十四页，共一百页，2022年，8月28日小结1.频数表、频率分布图：描述资料的分布特征（集中趋势与离散趋势）分布类型（对称或偏峰）2.描述性统计量：定量地刻画统计分布的特征。（1）集中趋势：算术均数、几何均数、中位数；（2）离散趋势：极差、四分位数间距、方差(标准差)和变异系数；3.百分位数是一种位置参数描述集中趋势：P50;描述离散趋势P75-P25第三十五页，共一百页，2022年，8月28日第三章定性资料的统计描述第三十六页，共一百页，2022年，8月28日常用的相对数指标除了用频率分布全面反映一个定性变量外,有时，也可用其它相对数指标从某个侧面来描述定性变量。相对数指标大致有三种类型：

频率(Frequency）有的书称比率（Proportion)

强度(intensity）有的书称速率（rate)

相对比(ratio)第三十七页，共一百页，2022年，8月28日(一)频率型指标频率型指标：最常见，近似地反映某一事件出现的机会大小,如患病概率、病`死概率等。

K是比例基数，取100%、1000‰、1万/1万和10万/10万特点：分子是分母的一部分；无量纲，在0~1范围内取值

第三十八页，共一百页，2022年，8月28日（二）强度型指标“强度”是流行病学、统计学术语

----单位时段内某现象发生的频率。如第三十九页，共一百页，2022年，8月28日例3-3在某医院的院内感染调查中，5031个病人共观察了127859人日（相当于127859人观察1日），其中有596人在医院发生感染。

观察人年数=10日×120人+9日×240人+8日×380人+…+3日×890人+2日×920人+1日×1200人=127859人日

平均每天有0.47%的病人将在医院发生感染。

第四十页，共一百页，2022年，8月28日一般地，其中比例基数K同上。

分母含有“时间”，并不是一般的速率，而是单位时间内的频率。

统计学和流行病学本质：频率强度或概率强度的近似值。第四十一页，共一百页，2022年，8月28日（三）相对比型指标任何两个相关联的变量A与B之比

相对于B的一个（或十个、百个、千个等）单位，A有多少个单位A和B可以是绝对数,也可是相对数A和B的量纲可以不同，也可相同，但A和B互不包含第四十二页，共一百页，2022年，8月28日（四）应用相对数应注意的事项1.防止概念混淆

不少指标命名混乱:“某某率”满天飞!

某些指标，实质上只是相对比，其名称却是某某率；更多指标以某某率的模式命名，笼统地称它们为“率”

----分不清究竟是频率还是强度第四十三页，共一百页，2022年，8月28日人口构成及其统计指标第四十四页，共一百页，2022年，8月28日发病率（incidencerate，IR）：“时期”通常用年或月。发病率的分母泛指一般的观察人年数,可由平均人口数×1年来近似。新发病例数：新发生某种疾病，以第一次就诊为准。用于探讨疾病的危险因素，评价疾病防治效果。

第四十五页，共一百页，2022年，8月28日2.计算相对数时分母应有足够数量

例甲医院治疗某类患者100人，40人有效；乙医院治疗同类患者5人，2人有效有效频率均为40%!？如果资料的总例数过少，计算得到的相对数偏差可能会很大，直接报告原始数据更为可取：甲医院有效率40%

乙医院有效2/5第四十六页，共一百页，2022年，8月28日3.正确地合并估计例甲医院治疗某类患者100人，40人有效；乙医院治疗同类患者90人，30人有效如果两医院总体有效率的确相等,合并估计：不可将两个频率相加除以2：第四十七页，共一百页，2022年，8月28日4.相对数间的比较要具备可比性

注意以下几个方面：观察对象同质？研究方法相同？观察时间一致？

第四十八页，共一百页，2022年，8月28日粗死亡率的定义式近似地写成以上说明同样适用于年龄组死亡率、粗出生率和粗发病率等，不再赘述。比较不同时期或不同地区的粗死亡率，如人口的年龄及性别分布不一致，应按性别、年龄标准化后作比较(见第14章)。第四十九页，共一百页，2022年，8月28日第四节动态数列及其分析指标表3-10某大学1992-2002年本科专业招生动态变化

第五十页，共一百页，2022年，8月28日

一、

绝对增长量二、发展速度与增长速度三、平均发展速度和平均增长速度平均发展速度=环比的几何均数=

平均增长速度=平均发展速度

1

第五十一页，共一百页，2022年，8月28日预测2004年

前提：平均发展速度保持不变a12满足

a12=1.04124200=6724人根据该大学1992-2002年的平均发展速度，如果今后保持这个速度,预计到2004年末学生人数可达6724人。预测2040年？第五十二页，共一百页，2022年，8月28日小结1.描述定性资料的相对数大致有三种类型：频率型、强度型和相对比型

2.实践中许多指标都称为XX率，要注意每个指标的定义和性质,不可简单地望文生义。3.动态数列指标如发展速度和增长速度可描述事物在不同时期的发展水平和趋势。要注意：预测的前提条件是“平均发展速度保持不变”。

第五十三页，共一百页，2022年，8月28日第四章常用概率分布第五十四页，共一百页，2022年，8月28日第一节二项分布一、二项分布的概念与特征第五十五页，共一百页，2022年，8月28日摸球模型

一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏，每次摸1球，然后放回再摸。先后摸100次，请问100次都摸到白球的概率有多大？(1)每次摸到白球的概率=0.6(2)第1次摸到白球的概率=0.6

第2次摸到白球的概率=0.6

……

第100次摸到白球的概率=0.6(3)100次都摸到白球的概率=(0.6)(0.6)…(0.6)=(0.6)100第一节二项分布第五十六页，共一百页，2022年，8月28日摸球模型先后100次，摸到3次黄球的概率有多大？(1)每次摸到黄球的概率=0.4(2)黄黄黄白白白白白白…白概率=(0.4)3(0.6)97

黄白黄黄白白白白白…白概率=(0.4)3(0.6)97

黄白黄白黄白白白白…白概率=(0.4)3(0.6)97

……(3)100次摸到3次黄球的概率

=(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+…

=(0.4)3(0.6)97

先后100次，摸到x次黄球的概率

=第五十七页，共一百页，2022年，8月28日先后n次，摸到x

次二分类：每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；独立:各次摸球是彼此独立的；重复：每次摸到黄球或白球的概率是和1-

先后n次，摸到x

次黄球的概率=第五十八页，共一百页，2022年，8月28日一般地，若随机变量取值x的概率为其中，则称此随机变量服从二项分布。称为二项分布的概率函数。

二分类、独立、重复试验，若每次出现某事物的概率为，则

n

次中有X

次出现该事物的概率服从二项分布。二项分布第五十九页，共一百页，2022年，8月28日例4-2临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？

第六十页，共一百页，2022年，8月28日图4-1π=0.5时,不同n值对应的二项分布图4-2π=0.3时,不同n值对应的二项分布

第六十一页，共一百页，2022年，8月28日二项分布的特征1．二项分布的图形特征：取决于与n

均数在=n处接近0.5时，图形是对称的；

离0.5愈远，对称性愈差随着n的增大，分布趋于对称

n→∞时，只要不太靠近0或1，二项分布近似于正态分布（n和n(1－)都大于5时）第六十二页，共一百页，2022年，8月28日２．二项分布的均数和标准差B(n,π)

出现阳性结果的次数X

总体均数总体方差总体标准差出现阳性结果的频率总体均数

总体标准差第六十三页，共一百页，2022年，8月28日（一）概率估计例4-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？分析：二分类

(感染、不感染)

独立

(假定互不影响)

重复(n=150人)，每人钩虫感染率均为

(π=13%)

感染钩虫的人数X服从二项分布B(150,0.13)

二、二项分布的应用第六十四页，共一百页，2022年，8月28日（二）单侧累积概率计算经常需要计算的是二项分布的累积概率第六十五页，共一百页，2022年，8月28日

例4-6某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，

其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？

至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？第六十六页，共一百页，2022年，8月28日

第二节Poisson分布的概念与特征

一、Poisson分布的概念Poisson分布:描述罕见事件发生次数的概率分布。例：出生缺陷、多胞胎、染色体异常、癌症患病数或死亡数的分布。Poisson分布可以看作是二项分布的特例:

独立、重复的次数n很大很大每次出现某事件的概率很小

(或未出现某事件的概率1－

很小)第六十七页，共一百页，2022年，8月28日可以证明当,（浪打）时,若随机变量X的的概率函数为则称此变量服从Poisson分布，记为，其中参数是总体均数。第六十八页，共一百页，2022年，8月28日例：

1毫升水样品中大肠杆菌数目X的分布.

将1毫升水等分为n

个微小体积，这里n

很大；每一个微小体积中大肠杆菌是否出现，互相独立；每一个微小体积中大肠杆菌出现的概率都是，且很小每毫升水中大肠杆菌数目的分布服从Poisson分布

第六十九页，共一百页，2022年，8月28日例：放射性物质一定时间内放射出质点数的分布

时间

“n很大、独立、概率都是

且很小”的二项分布-----Poisson分布

第七十页，共一百页，2022年，8月28日若每次观察互不独立、发生概率不等，则不能看作Poisson分布

！！

观察结果不独立：例如，传染性疾病首例出现后便成为传染源，会增加后续病例出现的概率；又如，污染的牛奶中细菌成集落存在、钉螺在繁殖期一窝一窝地散布等等这些现象均不能用Poisson分布处理。第七十一页，共一百页，2022年，8月28日例：某地20年间共出生肢短畸形儿10名，平均每年0.5名。请估计该地每年出生此类畸形人数为0,1,2,…的概率P(X)（见表4-2）：

用Poisson分布的概率函数式来计算第七十二页，共一百页，2022年，8月28日二、Poisson分布的特征图4-3取不同值时的Poisson分布图第七十三页，共一百页，2022年，8月28日Poisson分布有以下特性：（1）总体均数=总体方差=（2）观察结果有可加性若X1服从总体均数为1的Poisson分布

X2服从总体均数为2

的Poisson分布则

T=X1+X2

服从总体均数为1+2

的Poisson分布第七十四页，共一百页，2022年，8月28日例：

从同一水源独立地取水样5次，进行细菌培养。第一次水样中的菌落数X1

~(1)第二次水样中的菌落数X2

~(2)…………….第五次水样中的菌落数X5

~(5)把5份水样混合，合计菌落数也服从Poisson分布

X1+X2+…+X5

~(1+2+…+5)医学研究中常利用其可加性，将小的观察单位合并，来增大发生次数X，以便用后面讲到的正态近似法作统计推断。

第七十五页，共一百页，2022年，8月28日三、Poisson分布的应用例4-7如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8‰，那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大？发病概率

=8‰，人数n=120，是否患先天性心脏病互相独立----患先天性心脏病的人数服从二项分布。因为8‰较小，120较大，可以认为患先天性心脏病的人数近似地服从Poisson分布，λ=n=120×0.008=0.96

第七十六页，共一百页，2022年，8月28日例4-9实验显示某100cm2的培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数小于3个的概率；大于1个的概率。该培养皿菌落数小于3个的概率为菌落数大于1个的概率为第七十七页，共一百页，2022年，8月28日第三节正态分布一、正态分布的概念正态分布是自然界最常见的一种分布测量的误差、人体的尺寸、许多生化指标等等都近似服从正态分布。许多其它分布可用正态分布近似共同点：变量的数值，中间多，两边渐少，近似对称。

第七十八页，共一百页，2022年，8月28日第七十九页，共一百页，2022年，8月28日图4-4体模“骨密度”测量值的分布

----接近正态分布（频率密度=频率/组距）正态分布概率密度函数频率密度第八十页，共一百页，2022年，8月28日μ1μ2μ3第八十一页，共一百页，2022年，8月28日正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点:

(1)关于X=μ对称。

(2)钟形曲线,X=μ处最大值

X

处有拐点

(3)曲线下面积为1。

(4)μ决定曲线在横轴上的位置

(5)

决定曲线的形状

N(μ,2)

表示均数为μ

、标准差为的正态分布。

第八十二页，共一百页，2022年，8月28日68.27%95.44%99.74%μ-3σμ-2σμ-σμμ-σμ-2σμ-3σ图4-6正态分布曲线下的面积分布二、

正态曲线下面积的分布规律二、

正态曲线下面积的分布规律二、

正态曲线下面积的分布规律第八十三页，共一百页，2022年，8月28日若X服从正态分布,可作如下的标准化变换(称Z变换)

则Z服从正态分布，称为标准正态分布统计学家编制了标准正态分布曲线下面积表（附表1）。标准正态分布(standardnormaldistribution)第八十四页，共一百页，2022年，8月28日z0－1.961.960.0250.0250第八十五页，共一百页，2022年，8月28日例4-10某地1986年120名8岁男孩身高

均数=123.02cm，标准差=4.79cm

试估计

(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；

(2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总数的百分比;

(3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？

（1）计算130对应的Z值1.46-1.460.070.07图4-9例4-10示意图第八十六页，共一百页，2022年，8月28日（2）身高在120cm～128cm者的百分比：

先计算120和128所对应的Z值:120对应的Z值为

128对应的Z值为

正态曲线下区间（-0.63，1.04）上的面积等于（3）80%的身高集中在哪个范围？标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为-1.28，所以80%的身高集中在第八十七页，共一百页，2022年，8月28日三、正态变量的和与差的分布

不论X1和X2是否独立，X1+X2

仍服从正态分布当X1和X2独立时

第八十八页，共一百页，2022年，8月28日四、正态分布的应用（一）确定医学参考值范围(referenceranges)

特定的“正常”人群中大多数个体的取值范围“大多数个体”:习惯上指95%的个体正态分布法（若X服从正态分布）正态分布变量X在区间上取值的概率为0.95

第八十九页，共一百页，2022年，8月28日例4-11调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，

试估计该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围。

双侧95%参考值范围：

第九十页，共一百页，2022年，8月28日必须注意：1）医学参考值范围在临床上只能作为参考。2）若变量X的分布是正偏倚的，可经对数变换变成近似正态分布，先求lnX的参考值范围，再求反对数,即得原变量X的参考值范围。3）确定医学参考值范围必须抽取足够例数的样本。4）若测定值在性别间或年龄组间差别明显，应分“层”确定参考值范围。5）若X不服从正态分布，用百分位数法

第九十一页，共一百页，2022年，8月28日（二）质量控制图

控制图：质量控制的一个重要工具

基本原理：如果某一波动仅仅由个体差异或随机测量误差所致，那么观察结果服从正态分布。第九十二页，共一百页，2022年，8月28日例4-12骨密度测量的质量控制。

通常在每天开机后首先对固定在机器内的“体模”进行测量，将每天的“体模”测定值点在控制图上，一旦出现8种情形之一：

（1）有一个点距中心线的距离超过3个标准差（位于控制限以外）。

（2）在中心线的一侧连续有9个点。

（3）连续6个点稳定地增加或