江西省上饶市董团中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

江西省上饶市董团中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是（）参考答案：C2.对x∈R，“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(A)，使得f(x0)>0成立（B)，使得f(x0）≤0成立(C)，f(x)>0成立

（D)，f(x)≤0成立参考答案：A略3.若复数z=﹣+i，则z2的共轭复数为（） A．﹣﹣i B． ﹣+i C． ﹣1 D． 1参考答案：B4.已知向量，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(

)

A．5,10,15,20,25

B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5

D．2,4,6,16,32参考答案：B略6.已知锐角α，β满足，则sinα的值为

（）

A．

B．

C．

D．0参考答案：答案：A7.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A.72＋6π B.72＋4πC.48＋6π D.48＋4π参考答案：A由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.故答案为：A.8.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（

）A.简单随机抽样法

B.抽签法C.随机数表法

D.分层抽样法参考答案：D略9.若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（

）A. B. C.2 D.3参考答案：B【分析】由渐近线方程可以知道的关系，再利用这个关系，可以求出的关系，也就可以求出离心率。【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以有，即，而，所以有，故本题选B。【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率、三者之间的关系。10.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A，在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数

(i为虚数单位)，则|z|=_____.参考答案：1012.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________.参考答案：13.已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为．参考答案：﹣12【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性和对称性，结合图象可得方程的根．【解答】解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数．分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示．这两个函数的图象关于点P（﹣2，2）中心对称，故它们的交点也关于点P（﹣2，2）中心对称，从而方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（﹣2，2）中心对称，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为3×（﹣4）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查根的存在性及根的个数判断，函数的周期性以及对称性的综合应用，综合性比较强．14.我们把在线段上到两端点距离之比为的点称为黄金分割点。类似地，在解析几何中，我们称离心率为的椭圆为黄金椭圆，已知椭圆=1(a＞b＞0)的焦距为，则下列四个命题：

①a、b、c成等比数列是椭圆为黄金椭圆的充要条件；

②若椭圆是黄金椭圆且F2为右焦点，B为上顶点，A1为左顶点，则③若椭圆是黄金椭圆，直线l过椭圆中心，与椭圆交于点E、F，P为椭圆上任意一点（除顶点外），且PE与PF的斜、存在，则为定值．

④若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，且PQ与OM的斜率与（O为坐标原点）存在，则为定值。⑤椭圆四个顶点构成的菱形的内切圆过椭圆的焦点是椭圆为黄金椭圆的充要条件。其中正确命题的序号为______．参考答案：①②③④⑤略15.等差数列{an}中，若a1=2，an≠0，nan+1﹣an2+nan﹣1=0（n≥2），则an=，=

．参考答案：2n，2016【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质进行化简推导即可得到结论．【解答】解：设公差为d，则由nan+1﹣an2+nan﹣1=0得n（an+1+an﹣1）=an2，即2nan=an2，∵an≠0，∴an=2n，当n=1时，a1=2满足an=2n，则an=2n，则公差d=2．则==a1+1007d=2+1007×2=2016，故答案为：2n，2016【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，根据数列的递推关系求出数列的通项公式是解决本题的关键．16.已知两个单位向量的夹角为，，则m=______．参考答案：【分析】直接把代入化简即得m的值.【详解】，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=ax2+lnx．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间上是否存在k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？请证明你的结论．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，，f′（1）=﹣1，由此能求出函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ），x＞0，a＜0．令f′（x）=0，则．由此能求出a的取值范围．（Ⅲ）当a=1时，．记g（x）=f′（x），其中x∈．由此入手能够推导出在区间上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk．解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+lnx，，f′（1）=﹣1，所以切线的斜率为﹣1．…又f（1）=﹣1，所以切点为（1，﹣1）．故所求的切线方程为：y+1=﹣（x﹣1）即x+y=0．…（Ⅱ），x＞0，a＜0．…令f′（x）=0，则．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．故为函数f（x）的唯一极大值点，所以f（x）的最大值为=．…由题意有，解得．所以a的取值范围为．…（Ⅲ）当a=1时，．记g（x）=f′（x），其中x∈．∵当x∈时，，∴y=g（x）在上为增函数，即y=f′（x）在上为增函数．…又，所以，对任意的x∈，总有．所以f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≤，又因为k＜100，所以．故在区间上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk．…点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．19.（1）计算（2）已知复数满足，的虚部为2．求复数z.参考答案：（1）=

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3分=-i=1-2i

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5分（2）设（），则

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7分解得，或

.

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9分所以或．

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10分20.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2cos2+sin2A=1．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=2，△ABC的面积为2，求b+c的值．参考答案：【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用二倍角公式求得sinA=，可得A的值．（Ⅱ）由条件利用，△ABC的面积为2求得bc=8，再利用余弦定理求得b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，由2cos2+sin2A=1，可得cos（B+C）+sin2A=0，即sin2A=cosA，即2sinAcosA=cosA，求得sinA=，∴A=．（Ⅱ）设a=2，△ABC的面积为2，∴bc?sinA=2，∴bc=8．再利用余弦定理可得a2=16﹣8=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣16﹣8，∴b+c=4．【点评】本题主要考查二倍角公式，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．21.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥CD；（Ⅱ）求证：AD∥MN；（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面EAD，即可证明ED⊥CD；（Ⅱ）证明AD∥平面FBC，即可证明：AD∥MN；（Ⅲ）若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2．若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以VD⊥AD．又因为CD⊥EA，所以CD⊥平面EAD．所以ED⊥CD．[]（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以AD∥平面FBC．又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．（Ⅲ）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：连接DF．因为AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，所以AD⊥平面CDEF．[]所以AD⊥DM．因为AD∥MN，所以DM⊥MN．因为平面ADMN∩平面FBC=MN，若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=，所以DF=DC=2．所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．所以=．22.如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥P﹣OBCD，且PC=，点E是线段OP的中点．（1）证明：OP⊥CD；（2）在图中作出平面CDE与PB交点Q，并求线段QD的长度．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出OP⊥OC，OB⊥OP，从而OP⊥平面OPD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出DE和SC不可能垂直．（2）作出Q点，利用坐标系求出Q的坐标，利用空间距离公式求解即可．【解答】证明：（1）如图甲所示，因为BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，所以AO=OB，…因为BC=1，OD=2OA，得OD=3，OC=，…如图乙所示，OP=OA=1，OC=，PC=，所以有OP2+OC2=PC2，所以OP⊥OC，…而OB⊥OP，OB∩OC=