江西省上饶市德爱中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

江西省上饶市德爱中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线C：的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知直线与曲线在点P（1，1）处的切线互相垂直，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.随机变量X，Y满足：，，若，则（

）A.5 B.4 C.7 D.9参考答案：B【分析】由，，求出值，由此求出，，再利用，即可得到答案。【详解】由于随机变量满足：，，，解得：，即，又随机变量，满足：，，故答案选B【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布、方差的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题。4.古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？（）A．2 B．4 C．3 D．5参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{an}，公比q=2．利用求和公式即可得出．【解答】解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{an}，公比q=2．∴=381，解得a1=3．故选：C．5.与是定义在上的两个可导函数，若,满足，则与满足

A．

B．为常数函数

C.

D.为常数函数参考答案：B试题分析：由与在上可导，且,满足，故所以为常数函数

考点：

可导函数的四则运算，常函数的导数6.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．参考答案：A【考点】导数的几何意义．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．7.如果命题p(n)对n＝k成立(n∈N*)，则它对n＝k＋2也成立，若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(

)．A．p(n)对一切正整数n都成立

B．p(n)对任何正偶数n都成立C．p(n)对任何正奇数n都成立D．p(n)对所有大于1的正整数n都成立

参考答案：B略8.在区间[0,1]上任意取两个实数x，y，则的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】作出点所在的平面区域是正方形，满足的点在线段左上方的阴影部分，利用几何概型概率公式计算即可得解。【详解】由题可得：作出点所表示的平面区域如下图的正方形，又满足的点在线段左上方的阴影部分，所以的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查了转化能力及数形结合思想，还考查了几何概型概率计算公式，属于中档题。9.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（）A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠参考答案：B【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出2﹣m2＞m＞0，从而求得m的范围．【解答】解：由题意，∴2﹣m2＞m＞0，解得：0＜m＜1，∴实数m的取值范围是0＜m＜1．故选B．10.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=()参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，…，请从中归纳出第n个根式＝________．参考答案：12.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为________．参考答案：－13.函数的值域是

参考答案：略14.用秦九韶算法计算多项式

当时的值为_________。参考答案：015.如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F恰好是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则双曲线的离心率是．参考答案：+1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），即（c，p）代入双曲线方程得化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故答案为+1．【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．16.不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是_________.参考答案：.【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】从5只球中随机取出2只球，共有种基本事件,从5只球中取出2只球颜色相同求，共有种基本事件,因此所求概率为17.某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在120分以上有

人.参考答案：考点：正态分布的性质及运用．【易错点晴】正态分布是随机变量的概率分布中最有意义最有研究价值的概率分布之一.本题这个分布的是最优秀的分布的原因是从正态分布的图象来看服从这一分布的数据较为集中的分分布在对称轴的两边,而且整个图象关于对称.所以解答这类问题时一定要借助图象的对称性及所有概率(面积)之和为这一性质,否则解题就没了思路,这一点务必要学会并加以应用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【点评】本题给出二次函数和对数函数，求切线的方程和函数的单调性的运用，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．19.（12分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为.（1）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（2）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．

参考答案：解：（1）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，所以，圆心到直线l的距离为=．…所以，所求弦长为2=2．（2）设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．又A，B在圆C上，所以x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．解得y1=1，x1=±1，即A（1，1）或A（﹣1，1）所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2,3,4,5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00?8:00到达，乙船将于早上7:30?8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.参考答案：（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件，乙胜为事件,基本事件总数为种. 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：，∴甲胜的概率乙胜的概率∴这种游戏规则不公平. （2）设甲船先停靠为事件,甲船到达的时刻为,乙船到达的时刻为，可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为，这是一个正方形区域，面积，事件所构成的区域为，，这是一个几何概型，所以.21.如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD?平面ADM∴AD⊥BM；

（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞