2022广东省湛江市东岸中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022广东省湛江市东岸中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“过坐标原点”（

）（A）充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件（C）充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

参考答案：A2.若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f（12,16）的值是（

）A.12

B.16

C．24

D.48参考答案：D3.若幂函数f（x）的图象过点（，），则函数g（x）＝f（x）的单调递减区间为（

）A．（－∞，0）

B．（－∞，－2）

C．（－2，－1）

D．（－2，0）参考答案：D4.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则的值等于()A.

B.

C.

D.参考答案：A5.一条光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（

）． A． B． C． D．参考答案：A直线与，轴分别相交于点，，点关于轴的对称点．∴光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线即为所在的直线，直线方程为，即，故选．6.已知，则=（

）A．

B．

C．D．参考答案：【知识点】复数运算L4D解析：因为，所以，，故选D.【思路点拨】有运算性质直接计算即可.7.如果成等比数列，那么

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:B8.学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为（）

高一级高二级高三级女生373yx男生327z340A．14B．15C．16D．17参考答案：B

考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先利用抽到高三年级学生的概率求出x，y，z．然后利用分层抽样的定义确定高二年级应抽取的学生人数．解答：解：因为高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，所以，解得x=360．所以高一人数为373+327=700，高三人数为360+340=700，所以高二人数为2000﹣700﹣700=600．所以高一，高二，高三的人数比为700：600：700=7：6：7，所以利用分层抽样从高中部抽取50人，则应在高二抽取的人数为人．故选B．点评：本题的考点是分层抽样的应用，比较基础．9.在数列中，，数列的最小项是

A、

B、

C、

D、参考答案：B10.定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.集合，，则A∩B中元素的个数是______．参考答案：1【分析】对中元素逐个检验后可得中元素的个数.【详解】中仅有，故中元素的个数为1，填1.【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.12.在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC=．参考答案：2【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，可得cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，由范围A，B，C∈（0，π），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：①，或②，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．【解答】解：∵cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，cos（A+2C﹣B）≤1，sin（B+C﹣A）≤1，∴cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，∵A，B，C∈（0，π），∴A+2C﹣B∈（﹣π，3π），B+C﹣A∈（﹣π，2π），∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C﹣B=0或2π，B+C﹣A=，∴结合三角形内角和定理可得：①，或②，由①可得：A=，B=，C=，由②可得：A=，B=﹣，C=，（舍去），∴由AB=2，利用正弦定理可得：，解得：BC=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．13.设集合，集合，若，则

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.参考答案：114.若实数满足不等式组的目标函数的最大值为2，则实数a的值是_______.参考答案：2【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：

因为z是纵截距的相反数，所以目标函数在B（）处取最大值，

为：

故答案为：215.已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是

.参考答案：23/2-略16.若实数满足，则的最大值为

.参考答案：517.表示不超过x的最大整数，已知，当x时，有且仅有三个零点，则a的取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）19.已知椭圆C：＋＝1（a>b>0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

参考答案：解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1．∴所求椭圆方程为＋y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当AB⊥x轴时，|AB|＝，

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m．由已知＝，得m2＝（k2＋1），把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0∴x1＋x2＝，x1x2＝．∴|AB|2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝（1＋k2）＝＝＝3＋＝3＋（k≠0）≤3＋＝4．当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立|AB|＝2．当k＝0时，|AB|＝，综上所述，|AB|max＝2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，S＝×|AB|max×＝．20.（12分）已知函数，其中常数满足。（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围。参考答案：解：⑴当时，任意，则∵，，∴，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。⑵

当时，，则；当时，，则。21.（本小题满分13分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．参考答案：（Ⅰ）解：设，由条件知，，得.又，所以，.故的方程为.…………5分（Ⅱ）解：当轴时不合题意，故可设：，，．将代入得，当，即，又点O到直线l的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设，则t>0，.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，k＝，l的方程为y＝－2.…………13分2