材料力学答案第四版单辉祖课后答案

材料力学答案第四版单辉祖答案第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与bq。2-2(a2-2a(1)可知，F(x)2qaqxN轴力图如图2-2a(2)所示，FN,max

2qa图2-2a1(b)解：由图2-2b(2)可知，FqaRF(xN 1

)FR

qaF(xN 2

)FR

q(x2

a)2qaqx2轴力图如图2-2b(2)所示，FN,max

qa2-3图2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积，载荷。试求图示斜截面上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为F 50 10σ F 50 10A 50010－6m2斜截面m的方位角α50故有σσcos2α100MPacos2(50)41.3MPaτσsin2α50MPasin(100)49.2MPaα 2杆内的最大正应力与最大切应力分别为σ σ100MPamaxτmax

σ50MPa22-5比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料。p s b2题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。EΔσ220106Pa220109Pa220GPaΔε 0.001σ 220MPa,σ 240MPap sσ440MPa,δb该材料属于塑性材料。2-7一圆截面杆，材料的应-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm，杆长 l端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。解： σFA

420103π0.0102m2

2.55108Pa255MPa

题2-6图查上述σε曲线，知此时的轴向应变为ε0.00390.39%轴向变形为Δllε(0.200m)104m拉力卸去后，有故残留轴向变形为

ε0.00364，ε0.00026e pΔllε(0.200m)0.000265.2105m0.052mmp图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=32kN，板宽b板厚 15mm，孔。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中。2-9解：根据d/b0.020m/(0.100m)0.2查应力集中因数曲线,得根据

K2.42σ F ，Kσmaxn (bd)δ σn3得σ Kσ KF

2.4232103

6.45107Pa64.5MPamax

n (bd)δ 0.015m2F=36kb=90mb=60m=10mmd=10m，1 2圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中。题2-10图解：1.在圆孔处根据d0.010m0.1111b 0.090m1查圆孔应力集中因数曲线，得K2.61故有σ Kσ

K1F 2.636103

1.17108Pa117MPamax

1n1

(b－d)δ 0.010m21根据D b 0.090m 1 d b 0.060m2

Rd b2

0.012m0.20.060m查圆角应力集中因数曲线，得K1.742故有σ K

K2F1.7436103N1.04108Pa104MPa

max

2n2 bδ 0.0600.010m22σ 117MPa（在圆孔边缘处）maxFF的许用值[F]。4题2-14图解：先后以节点CB为研究对象，求得各杆的轴力分别为F 2FN1F F F根据强度条件，要求由此得

N2 N32F[]A[F]]A2图示桁架，承受载荷F]。若在节点B和C试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置。题2-15图解：1.求各杆轴力AB和BC的轴力分别为FN1

和F ，由节点B的平衡条件求得N2F F，F

FctanαN1 sinα N22.求重量最轻的值由强度条件得结构的总体积为

A F ，A1 [σ]sin 2

F[σ]

ctanαVAl

Al

l

Flctanα

Fl(

ctanα)11 22由得

[σ]sinαcosα [σ] [σ]sin2αdV0dα3cos2α10由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为α 54optFA和C间的指定距离为的最佳值。5题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有2.求的最佳值由强度条件可得

F FN1

F2sinθ结构总体积为

AA1

F2[σ]sinθV2Al

l Fl11 [σ]sinθ2cosθ [σ]sin2θ由dV0dθ得cos2θ0由此得的最佳值为

θ 45opt图示杆件，承受轴向载荷F＝120MPa，许用切应力[]＝90MPa，许用挤压应力[ ]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径、墩头直径D及其高度h间的合理比值。bs题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为[F]t

πd2[]4

(a)理想的情况下，

[F]b

π(D2d2)]4 bs[F]πdh[]s

(b)(c)[F][F][F]t b s在上述条件下，由式）与c）以及式a）与，分别得h[]d4[]6于是得

[]D 1] dbs] ]由此得

D:h:d 1]bs

:]:1D:h:d1.225:0.333:1FFF=50kN，F=35.4kN1 2 1 2压应力[

=240MPa。试确定轴销B的直径。bs题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程Fx

0与Fy

0，分别得F FBx 1

Fcos4525kN2FBy由此得轴销处的总支反力为

F22.确定轴销的直径

F 252252kNB由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）FBτ s 2FFB

[τ]A d2得Bd 2F 235.4103mB[τ] 100106由轴销的挤压强度条件FFσ b B[σ ]FFbs d d bs得Fd BFδ[σbs

35.4103 m] 240106结论：取轴销直径d0.015m15mm。图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN72-19解：剪应力与挤压应力分别为 50103N(0.100m)(0.100m) 50103Nbs (0.040m)(0.100m)

5MPa12.5MPa，许用切应力[]=120用挤压应[ ]=340MPa，载荷F=230。试校核接头的强度。bs题2-20图解：最大拉应力为max

230103N(0.1700.020)(0.010)(m2)

153.3MPa最大挤压与剪切应力则分别为 230103Nbs

230MPa4230103N

146.4MPa5π(0.020m2)图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力钢板的尺寸与l以及木杆的高度。题2-21图

=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定bs解：由拉伸强度条件得

σ F [σ]b(h2δ)h2δ F

45103

m

（a）] 6106由挤压强度条件

σ F [σ ]bs 2bδ bs8得δ Fbs由剪切强度条件

45103 m9mm] 20.25010106

（b）得l F

τF2bl45103

[τ]m0.090m90mm] 20.2501106取δ009m代入式，得h(0.03020.009)m0.048m48mm结论：取

δlh。图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[

]=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。bs题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，F F，FN1 N2

3F/4Fσ N11 A1

F(bd

[σ]F(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kNFσ N22 A24 4

3F4(b2d

[σ]F (b2d)δ[σ]3

(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN3图2-22

Fτ A

FFs 84Fd

[τ]9F2πd2[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN

FFb 4F F bbs d

4d

]bsF4d[σ ]40.0150.020340106N4.08105N408kNbs结论：比较以上四个F值，得[F]302kN图a所示钢带F荷，带厚，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[

]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。试校核钢带的强度。bs题2-23图解：1．钢带受力分析分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力Fb

等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb

相同，钢带的受力如图b

F 6103NF 2.0103Nb 3 3孔表面的最大挤压应力为Fd (0.002m)(0.008m) d (0.002m)(0.008m)bs

2.0103N 1.25108Pa125MPa[ ]bs在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b，切应力为Fa2ba

2.0103N 2.5107Pa25MPa[2(0.002m)(0.020m)钢带的轴力图如图cbc1-12-2应对此二截面进行拉伸强度校核。1-12-2F 1 A1

2F 2(6103N) 83.3MPa3(b2d3(0.040m20.008m)(0.002m)

F 2 A2

F 6103N 93.8MPa(bd(0.040m0.008m)(0.002m)10

第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量

D及体积改变量。解：1.计算 D由于εF，εEA D EA故有ΔDεD

4FD

40.302001030.060 mEA Eπ(D2d2) π(0.06020.0202）1.79105m0.0179mm2.计算 V变形后该杆的体积为πV(ll) [(DεD)2(d)2]Al(1ε)(1ε)2V(1ε2ε)4π故有Fl 200 10ΔVVVV(ε2ε) (12μ)Fl 200 10E 801094.00107m3400mm3图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm1

=8.0mm，d2

=6.8mm，d3

=7.0mm；l=6.0mm，1l=29mm，l=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力2 3题3-4图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，F l l l

4F l l lΔl

(1 2

) (1 2 3)由此得

A A A1 2 3

πE d21

d2 d22 3πEΔl π2101090.10103F l l l

0.006 0.029

N1.865104N18.65kN4(1 2

) 4(

)d2 d2 d1 2 3

0.0082

0.00682 0.00722.校核螺栓的强度F 4F 418.65103Nσ max

Amin

πd2

5.14108Pa514MPaπm2此值虽然超过[σ]，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2ε=4.×10-4111ε=2.10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A=A=200m2，弹性模量E=E=200GP。试确定载荷F及其方2位角之值。

1 2 1 2题3-5图解：1.求各杆轴力F EεA2001094.0104200106N104N16kNN1 111F EεAN2 22

2001092.0104200106N8103N8kN2.确定F及θ之值A的平衡方程Fx

0和Fy

0得F sin30FsinθF sin300N2 N1F cos30F cos30Fcosθ0化简后，成为及

N1 N2F FN1 3(F F

2Fsinθ (a))2Fcosθ (b)N1 N2联立求解方程(a)与(b)，得tanθ

F FN1 3(F F

8)103 0.1925) 3(168)103由此得

N1 N2FN2F N1FFN2

θ10.8910.9 (16 N 2.12104N 21.2kN2sinθ Fb与1b，弹性模量为。试计算板的轴向变形。2题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为ll F0x)

xl F0Eb(

dx (a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为12代入式(a)，于是得

b(x)bbbx211 l21F l 1 Fl b dx ln2E0

bb

Eδ(b

b) bδb 2 1x

2 1 11 l 图示杆件，长为，横截面面积为，材料密度为，弹性模量为，试求自重下杆端截面B的位移。解：自截面Byy处的轴力为

题3-7图该处微段dy的轴向变形为

gAyNdΔgAydygydy于是得截面B的位移为

y EA EΔ l

()Cy E 0 2E图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷f=为。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡，由此得

Fy

fdylky2dykl30 3kl3F3k3Fl3

（a）13截面y处的轴力为F yfdyyky2dyky3N 0 0 32.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为dδ

FdyN积分得

lFdy

EAk l 3 kl4δ

N0EA

3EA

ydy0 12EA将式(a)代入上式，于是得

δFl4EA图示刚性横梁（之力）为，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为F ，其总伸长为Δl。N图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程M 0得A由此得

FaFN

(ab)F(2ab)3-9

F FN可见，

ΔlΔy1

(2ab)yΔ a(ab)(2ab)y2ΔΔly

(b)根据k的定义，有于是得

F kΔlkΔN yFΔ NFFy k k图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为A的水平与铅垂位移。14题3-10图解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为F FN1 N2

F（拉力）F 2F（压力）N4于是得各杆的变形分别为

ll1 2

Fl ()EA

F 0N3l4

2F 2lEA EAl03

(伸长)如图3－10(1)所示，根据变形 l与 l1 4

确定节点B的新位置然后，过该点作长为l2

的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为Δ 0AxΔ l

Fl 22Fl

21 2FlAy 1

4 2 EA EA EA EA图3-1012F F（拉力）N1F 0N23－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为Δ lFlAx 1 EAΔ lFlAy 1 EABF1215A=320m2与

=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B应取何1 2值（即确定节点A的最佳位置。题3-11图解：1.求各杆轴力3-11a

F F，FN1 sinθ

Fctanθ图3-113-11bF l 2Fl F l FlctanθΔl

N11

2 ，Δl＝N22 21 EA1及

EAsin2θ1

2 EA EA2 21Δ Δl 1

Fl2

2 ctan2θ)By sinθ tanθ E Asin2θsinθ A1 2求θ的最佳值由dΔBy

/dθ0，得2(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ0由此得

A sin22θsin2θ A1 22Acos3θA(13cos2θ)01 2A与

的已知数据代入并化简，得1 2cos3θ12.09375cos2θ4.031250解此三次方程，舍去增根，得cosθ0.564967由此得θ的最佳值为16θ 55.6optF，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

n=B题3-12图解：两杆的轴力均为轴向变形则均为

F FN 2coslnl

nlB于是得节点C的铅垂位移为Δ l

2Acos BFnlCy cos 2nAnBcosn1图示结构，梁BD123C承受集中载荷F作用。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由Fx

0，得

F 0N2由F0，得y求各杆变形

F FN1

F10kN2Δl02F l 101031.000Δl N1 m5.010-4m0.50mmΔl1 EA 200109100106 3求中点C3-1317图3-13ΔΔlx 1

0.50mm()，Δy

Δl1

0.50mm()图aF作用。设各杆各截面的拉压刚度均为B与C间的相对位移。B/C题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为

F FN1 N

F FN3 N

F（拉力）2于是得各杆得变形分别为

F F（压力）N5ll1 2

l3

l4

Fl (2EAlF 2l 2Fl

(缩短)5 EA EA2.位移分析bdg23Cede与gh延长线取线段可以看出，

l与 l，并在其端点m与n分别作垂线，得交点即为节点C的新位置。3 2 l

2Fl Fl

2ΔB/C

2Ci

2

5 2

3

2EA

2 2EA EA183-15(a)3-15a，各杆轴力依次为F 2F，

2F，

1FN1 2该桁架的应变能为

N2 2

N3 23F2l

1 1 2 1 F2l 2 212 2 V Nii

( F l2 Fl) ( )εi1

2EA 2EA2 2

4 2EA 4图3-15依据能量守恒定律，

FΔV2 ε最后得Δ2

F(2 21)(2 21)Fl

()F 2EA 4 4EA(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：i F lNi i

F2lNii于是，

1 F l F2 0 l 0F l F2lF l F2l5 2F 2l 2 2F (32 2)FV5

F2lNi

(32 2)F2lε依据能量守恒定律，可得

i1

2EAFΔV2

2EAΔ(32 2)FlEA

()图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为BC间的相对位移 。B/C19题3-16图解：依据题意，列表计算如下：i F l1Ni i1

F2li2F/2 l F2l/22 2F/2 l F2l/23 2F/2 l F2l/24 2F/2 l F2l/25 F 2l 2F (2 2)F由表中结果可得V5

F2lNi

(2 2)F2lεi1依据

2EA 2EA得ΔB/C

W V(2 2)FlEA

()Fb1与b，弹性模量为2题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为l F2V N

dx

F2 dx (a) 02EA(x)

02Eb(x)N由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为Nb bb(x)b 2 1xl将上式代入式（a）,并考虑到FN

F,于是得V

l1 F2 F2l bxd lnxε 02E

bb

2Eδ(bb) bδb 2 1x

2 1 11 l 设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，20FΔlVε或FΔl F2l b ln22 2Eδ(bb) b由此得

Fl

2 1 1bΔlEδ(bb)ln2b2 1 1F或均布载荷q轴力。题3-19图3-19a(1)所示，平衡方程为F0, FFF F 0x Ax Bx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19a与DB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为

F F , FN1 Ax N

F F, F FAx N3

2FF a F

FF 2Fl

Ax

Ax 0EA EA EA得由此得

F F0AxF FAx3-19a(2

F 2FF FBx AxF FN,max3-19b(1)所示，平衡方程为21F0, qaF F 0x Ax Bx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19bAC与CB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为

F F , FN1 Ax N

F qxAxF a 1 a l得

Ax EA

EA

F qxdx0Ax12F

qa2 由此得

F qaAx 4

EA Ax 2 3-19b(2

F qaFBx

3qa4FNmax

3qa412，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[ ]=160MPa,许用压应力[t

]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。c题3-20图解：容易看出，在载荷F21FN2

为拉力，F为压力，且大小相同，即N1

F FN2 N1以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程由上述二方程，解得

M0, FN2

aFN1

aF2a0根据强度条件，

F F FN2 N122FA N1F

20103N1.818104m21

] 110106PacFA N2F

20103N1.25104m22 取

] 160106PatAA1 2

182mm2图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图解：此为一度静不定桁架。设F 以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由F0，得N,AB yFN,BC

FN,

F (a)后取节点A为研究对象，由F0和F 0依次得到x yFN,AD及

FN,AG

2FN,AD

cos45FN,AB

A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）Δl

物理关系为

Δl ΔlBC

AD 2ΔlF N,BCBC EA

l，ΔlAB

F N,EA

l，ΔlAD

F N,ADEA

2lΔlAG

将式(e)代入式(d)，化简后得FN,BC联解方程和(d)

FN,

2FN,AD

(d)F 2F（拉，

2 2F（压，

F 21F（拉）N,BC 2

N,AB 2

N,AD

N,AG 2(b)解：此为一度静不定问题。A的平衡，由F0，得yF sin45F0N1由此得F 2FN1在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，Δl 0，故有223F 0N2F 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。N1123]=40MPa，[]=60MPa，1 2[]=120MPa，弹性模量分别为E=160GPa，E=100GPa，E=200GPa。若载荷F=160kN，A=A=2A，试确定各杆3的横截面面积。

1 2 3

1 2 3题3-22图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。图3-22由图a可得平衡方程F 3Fx N1 2 N2FF F Fy 2 N2 N3

(a)(b)由图b得变形协调方程为Δlctan30 2 Δ

(c)1根据胡克定律，有

sin30 3F l F l F l F l F l F lΔl N11 N11，Δl N22 N21 ，Δl N33 N3

(d)1 EA11

2EA1

2 EA2 2

3EA23

3 EA33

3EA33将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为15FN1

32FN2

8FN3

(c')联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得F 22.6kN(压)，FN1

26.kN（拉，FN3

146.9kN（拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：F 22.6103A N1 m25.65104m2565mm21 [σ1

] 4010626.1 FA N2 m24.35104m226.1 F2 [σ2

] 60106146.9 FA N3 m21.224103146.9 F3 [σ3

] 120106根据题意要求，最后取24AA1 2

2A3

2450mm23-23图aABC并经由铰链12C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100。设由千分表测得C点的铅垂位移 mm，试确定载荷F与各杆轴力。y题3-23图解：1.求解静不定FABCA沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程M 0，得AFF N2F0FN1 2

(a)由变形图中可以看出，变形协调条件为根据胡克定律，

F

l2l1 2l F l

(b)(c)1

N1, ΔlEA 2

N2EA将上述关系式代入式，得补充方程为F 2FN1 N2联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得F 4F, F

(d)N1 5 N2 52.由位移 确定载荷F与各杆轴力yC点位移至(CA)（图b，且直线AC与AB具有相同的角位移

点的总位移为CC'ACl 2l又由于由此得

AB 1 1 yl1 y将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得5EAF 4l

5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104N4(100103m)25并从而得F 1.5104N, FN1

7.5103N图示钢杆，横截面面积A=2500mm2，弹性模量E=210GPa定杆端的支反力。间隙=0.6mm；间隙=0.3mm。题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为 Fa

(200103N)(1.5m)

0.57mmF EA (210109Pa)(2500106m2)当间隙=0.6mm时，由于 ，仅在杆C端存在支反力，其值则为FF F200kNCx当间隙=0.3mm时，由于 ，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。F图3-24杆的平衡方程为补充方程为

FFBxFa

F 0Cx2a由此得

F

EA

Bx EAEAEABx 2 2a200103N(0.0003m)(210109Pa)(2500106m2)47.5kN2 而C端的支反力则为F FFCx Bx

200kN47.5kN152.5kN图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为B TTx2/l2，式中的TBE与B B面上的应力。26题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长αΔTx2全杆伸长为

d(Δlt

)αΔTdx l B dxl l2lαΔTx2 αΔTlΔl l Bt 0 l2

dx l B3求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为Δl

Fl FlN由变形协调条件可得

F EA EAΔl ΔlF tEAαl EAαF l

l B l B3 3求杆件横截面上的应力F F EαΔTσ N l BA A 3图示桁架，杆BC试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为。题3-26图

。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。图3-2627根据平衡条件，由图a可得F F FN1 N2 N3

(a)由图b可得

F F ，FN4 N5

2FN4

cos30 3FN4

(b)变形协调关系为(参看原题图)Δl Δl

Δ 1 4 Δl依据胡克定律，有

cos60 cos30 3Fl (d)Δli

NiEA

(i1~将式(d)代入式(c)，得补充方程2F l 2F

F

(e)Δ N1EA

N43EA

N3EA联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得F (92 3)EAF (332)EAΔN3 即

N4 FN,BC

FN,GD

FN,GE

(923)EAΔ （拉）23lFN,CD

FN,CE

(332)EAΔ （压）23l图al的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab

与A，弹性模量t分别为Eb

与E，螺栓的螺距为1/5t计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l1/5圈，即旋进=上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为F

，伸长为 l，套管所受压力为

，缩短为l，则由图b与cNb而变形协调方程则为

bF F 0Nb Nt

Nt t(a)llb t利用胡克定律，得补充方程为F l Fl

(b)ANb Nt AE AEb b t t28最后，联立求解平衡方程a）与补充方程b，得螺栓与套管所受之力即预紧力为F F

F

AEb b式中，

N0 Nb

Nt lkAEk b bAEt t30mm50mm30mm10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为E=200GPa与E=100GPa，线膨胀系数分别为s c

=12.×1-℃-1与

c=1610-6℃-。题3-28图解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs

和δ ，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变Tc形协调条件为或写成

δ ΔlTs

δ ΔlTc cΔlΔls c

δ δTc Ts这里，伸长量Δls

和缩短量Δlc

均设为正值。引入物理关系，得F l F lENs NcEA E

(αlc

α)lΔTlsss cc将静力平衡条件F F F代入上式，得Ns Ncs F EsAs

Ac

α)ΔTEAEA lc ss cc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为Fτ S

FEsAE

A(αs c s

α)ΔTls由此得

A 2A 2A(EAss

EA)c c2001090.0302100109(0.05020.030212.5)10640N20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m25.93107Pa59.3MPa12各截面的拉压刚度均为BD立补充方程。21

材料的热膨胀系数为 。l29题3-29图3-29(1)a2BD连接时，下端点位于D，即DD。2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1C。过C作直线垂1CeΔl1

1DDΔl2

，即代表杆2的弹性变形。与上述变12BD3-29(1)b图3-29(1)可以看出，DD2CC即变形协调条件为而补充方程则为

Δl2

2 2Δl1Fl 4Fl 2 10EA EA或F4F2 1

EA0l3-29(2)a1未与刚性杆BDCCCl

2lΔT。1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D则铅垂位移至。过C垂直于直线eCΔl1

1DDΔl2

212BD3-29(2)b图3-29(2)可以看出，DD2CC故变形协调条件为30而补充方程则为

Δl2 22 l

2lΔTΔl12Fl2 22l

2lΔT

F 2l1 EA 或

EA F4F2 1

4EA

ΔT0l图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为与[]，试确定该桁架]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]

为何。max题3-30图解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。图3-30由图a得平衡方程为F F ，2F cos30

F (a)N1 N2 N1 N3由图bΔl1

Δl3

cos30 (b)依据胡克定律,有

Δ Fl

(i(c)l Niii EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为F 4F

(b’)N3 3 N1将方程(b’)与方程(a)联解，得F FN1 N2

343F

F，F N34F

443

FFN1σmax

N3A

(433)

[σ]31由此得

F(433)[]A, [F](433)[]A4 4为了提高[F]值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为ΔlΔlΔ3

1cos30l

均为受载后的伸长，依题意，有了

后，应使三根杆同时达到[σ]，即3 1由此得

[σ]lΔ4[σ]E 3EΔ(41)[σ]l[σ]l3 E 3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有[F]

max

2([]Acos30)[]A(1 3)[]A第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为R1(Dd)D

1mm0 2 2 2 22于是，该圆管横截面上的扭转切应力为T 500N 1.894108Pa189.4MPa2πR2 2π0.020520.001m20依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为ττ189.4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为τ189.4106rad2.53103radG 75109试证明，在线弹性范围内，且当R0

≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为τ T2πR2δ0设R/δβ，按上述公式计算的扭转切应力为0τ T T

(a)2πR2δ 2πβ2δ30按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为极惯性矩为

d2Rδ，D2Rδ0 0π π

πRδI (D4d4) [(2R

δ)4(2Rδ)4] 0(4R2δ2)由此得

p 32 32 0

0 2 0τ T(Rδ) T (2R)

T(2

(b)max I 0 2 πR(4R22)

π3(421)p 0 0比较式(a)与式(b)，得32τ T

π3(421)

421当

R010时，R

τmax

2π23

T(21) 2(21)max

41021210(210

0.9548可见，当R0

/δ10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。图a曲线如图bC1/m表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到 dx

(a)根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为由静力学可知，

τ C( )1/mdρ dd

(b)ddAC( )1/mρ(m1)/mdAd

(c)A ρ dx A取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即dA2πρdρ (d)将式(d)代入式(c)，得2C(1/md/2ρ(2m)/mρT由此得

dx 0d( )1/md

(3m1)T

(e)dx 2πC

d(3m1)/mm( )2将式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭转切应力公式为

M1/mπ2m dπ( )(3m1)/m12横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。图4-8在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDE（图。试33绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体ABCDEF 各截面上的应力分布图如图4-9a所示图4-9根据图a，不难算出截面AOOD上分布内力的合力为1F 1τ

(dl)

4Tl2

max

2 πd2同理，得截面OCFO1

上分布内力的合力为方向示如图c。

F x2 πd2设F与Fx

作用线到x轴线的距离为ez

，容易求出1 2 1e 2dd32 3根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为F πd/2cos(πθ)θTz2 00 Ip

2 同理，左端面上的合力为方向亦示如图c。

F 设F 作用线到水平直径DF的距离为ez2

（见图，由F e T

πcos2(π)dd/23dTz2y得

I 0peT3πd

23πd

0 40.295dy 4 32同理，Fz1

作用线到水平直径AC的距离也同此值。根据图b，还可算出半个右端面DOE上竖向分布内力的合力为1F π/2d/2ρsin(πθ)ρθTy3 0 0 Ip

2 3πd设F 作用线到竖向半径OE的距离为1

（见图，由z234Fe Tπ/2cosd/2Ty3z2 I 0 0 8p得e T

0.295d8 32同理，可算出另半个右端面OFE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为1F F F4y y y41 2

4T3πd方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为e 。z2由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。M (2ex y4

)F eF (2e2z y y z21 2

)F eTT01z y 2 21M

l

(2e

)

8Tl01 y z1

x z M0，Fz y4

lFy3

l

4Tl03πd既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。4-11ABCDEA承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=56mm，许用切应力[1扭力偶矩M的许用值。

]=80MPa，套管的外径D=80mm，壁厚=6mm

]=40MPa。试求2题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于1.AB求M的许用值max1

M1W

16Mπd

1[]1p1由此得M的许用值为[M]

πd3[1

Nm2.76103Nm2.76kNm] π] π 3 8010由套管CD求M的许用值RD

806mm6mmR 100 2 2 0此管不是薄壁圆管。

26880 80 M2

16M2

[]由此得M的许用值为

max2 Wp2

πD3(14) 235[M]

πD3(142

]π0.0803(10.854)40106Nm2 16 161.922103Nm1.922kNm可见，扭力偶矩M的许用值为[M][M]1.922kNm2ABBCm的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1

与l以及直径d2

与d。已知轴总长为，许用切应力为[]。2题4-13图解：1.轴的强度条件在截面A处的扭矩最大，其值为由该截面的扭转强度条件

Tmax1

mlmax1得

T Wp1

16ml[τ]πd31d31 π[τ]

(a)BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为由该截面的扭转强度条件得

Tmax2

ml2d 32 π[τ]最轻重量设计轴的总体积为π

π 16ml

16mlV d2(ll) d

[( )2/3(l

)

2)2/3l]4 1根据极值条件得

2 4 22

4 π[τ]dV0dl2

2 π[τ] 216ml 16m 5( )2/3( )2/3 l2/30] ] 32由此得从而得

l(3)3/2l2 5

(b)lll1

[1(3)3/25

(c)36d (16m)1/3l1/3(3)1/2

16ml

2 ]

2 5

] 1该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F=1kND=40mm直径d=7mm，]=480MPa，试校核弹簧的强度。解：由于mD405.7110d 7故需考虑曲率的影响，此时，max

81.001030.040(45.712)Nπd3(4mπ0.0073(45.713)m23.72108Pa372MPa结论：

[]，该弹簧满足强度要求。max图示圆锥形薄壁轴M作用。设壁厚为与d，轴长为，切变模量为。试证明截面A和B间的扭转角为B

，横截面A与B的平均直径分别为dA 2Ml（dA

d)BA/B

πG d2d2AB4-20A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为R(x)1(d

d B

Ax)1

cx)0 2 A

l 2 A式中，cdBdAl截面x的极惯性矩为1 πδI2πR32π[ (dcx)]3

cx)3p 0 2 A 4 A依据dT(x) 4Mdx GIpA和B间的扭转角为

Gπ(dA

cx)3

ld(dA

cx) 2M (d cx)2|lA/B

πG

c(d cx)3 πGδc A 00A02Ml 1 1 2Ml(d d) ( ) A BπGδ(d d)d2 d2 πGδd2d2B A B A A B图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。374-21(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设A与B端的支反力偶矩分别为M和M ，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知A BM MA B由M 0可得x即

M M 2M 2MA B AM M MA B解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩M ，示如图4-21b。B图4-21b变形协调条件为利用叠加法，得

0 (a)B Ma

M(2a) M(3a)

(b)B GI GI GIp p p将式(b)代入式(a)，可得进而求得

M 1MB 3M 1M（转向与A 3

相反）B(a)类似，利用左右对称条件，容易得到M和M 的转向与m相反。A B

M MA

ma2解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩M ，从变形趋势不难判断，M 的转向与m相B B反。变形协调条件为 0 (c)B利用叠加法，得到（x从左端向右取）38

am(ax) M(2a) x

ma

2MB

(d)B B,m

B,MB

0 GIp

GI 2GI GIp p p将式(d)代入式(c)，可得进而求得

M maB 4M 的转向亦与m相反。A

M maMA

3ma4M=400N•mM=600N•m]=40MPa，单位长度的许用1 2扭转角[]=0.25(°)/m，切变模量G=80GPa。试确定轴径。题4-22图解：1.内力分析此为静不定轴，设B端支反力偶矩为

，该轴的相当系统示如图4-22a。B图4-22利用叠加法，得 1B GIp

[4000.5006001.250MB

2.500]B将其代入变形协调条件 0，得BM (6001.2504000.500)Nm2B 2.500m

220Nm该轴的扭矩图示如图4-22b。2.由扭转强度条件求d由扭矩图易见，将其代入扭转强度条件，

T 380NmmaxT max

16

max[]由此得

max Wp

d339d3

16

max

316380m3

0.0364m36.4mm] π40106由扭转刚度条件求将最大扭矩值代入Tmax

32

max

[]GI Gπdp得d4

32

max

4 32380180m4

0.0577m57.7mm] π801090.25π结论：最后确定该轴的直径d57.7mm。图示两端固定阶梯形圆轴M作用。已知许用切应力为[]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1

与d。2题4-23图解：1.求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为MA

与M，则轴的平衡方程为BM 0, M M M0 (a)x A BAC与CB段的扭矩分别为代入式，得

TM ，T1 A 2

MBTT1 2

M

(b)设AC与CB段的扭转角分别为 与 ，则变形协调条件为AC CB 0AC CB利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有

(c)，Ta， 1AC GI

Ta2 22CB GIp1 p2代入式，得补充方程为d4 (d)T2 1T01 d 22最后，联立求解平衡方程b）与补充方程，得T 2d4T 11 d42d4

T2

d4M2d42d

2 1 2 12.最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使ACCB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求40T T12 ]W W由此得

p1 p2T W d3d1 p1dT W

1 将式（e）代入上式，得

2 p2 2并从而得

T1 9

d 2d2 1，T2

8M9根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为dd2

16T3 1

16M1 2 ] ]F=7501和轴2的直径分别为d=12mm1和d=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a=300mm，切变模量G=80GPa，试求轴端的扭转角。2题4-24图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为

ΔΔ 或

(a)1 2 1 2这里， 和 分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为F122TF(a)Fa，TFa

(b)物理关系为

1 2 2 2 2T 1

l T，＝2

(c)1 GIp1

2 GIp2将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得d4FF 22 2(d4d4)1 2由此得Tl 16Fal 167500.3000.500m 22 GI

πG(d4d4) (0.01240.0154)mp2 1 20.1004rad5.75||1ABCDEE承受扭力偶矩M作用。圆轴的41直径d=38mm，许用切应力[1

]=80MPaG=80GPaD=76mm，壁厚=6mm，许用切应力1[]=40MPa，切变模量G2

=40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。题4-26图解：1.解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为TT1 2

M (a)物理关系为

1 2

(b)Tl 11

Tl，＝22

(c)1 GI1p1

2 GI2p2将式(c)代入式(b)，并注意到761276得

Ip2

πD432

(14)，Ip1

πd432GI l1T 1p2T1

2d

2T

4

T0.1676T

(d)1 GI l 2p12

D4(14)32

3764(1)2 2将方程(a)与(d)联解，得T0.856M，T2 1

0.144M由圆轴的强度条件定M的许用值1 T11max Wp1

160.144Mπd3

[]1由此得扭力偶据的许用值为[M]

πd3[]1

π0.038380106

Nm5.99103Nm5.99kNm1 160.144 160.144由套管的强度条件定M的许用值2 T22max Wp2

160.856MπD3(14

[]2由此得扭力偶据的许用值为[M]2

πD3(14160.856

]π0.0763(10.84214)40106160.856

Nm2.00103Nm2.00kNm结论：扭力偶矩的许用值为[M][M]m242

M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别[ ]=80MPa[ ]=20MPa，切变模量分别为G=80GPa与s c sG=40GPa，试校核组合轴强度。c题4-27图解：1.求解静不定如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面，假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为T与T，则由平衡方程Ms c

0可知，TTs c

(a)在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即 (b)s c设轴段AB的长度为Tl ss GIsps(MT)l T l (M)l c c cc GI 2 GI 2 2GIcpc cpc cpc将上述关系式代入式，并注意到G/G=，得补充方程为sT (M

c) (c)Is I cps pc联立求解平衡方程a）与补充方程c，于是得TT

I ps

(d)2．强度校核

s c Ipc

2IpsI π(0.020m)4ps 32

1.571108m4I π(0.040m)4

0.035m4

7 4pc 1 1.04010 m32 0.040m将相关数据代入式，得对于钢轴，

TTs

11.6Nms Tss,max Wps

16(11.6Nm)π(0.020m)3

7.38106Pa7.38MPa[]s43对于铜管，T c,max

16(100Nm11.6Nm)

1.70107Pa17.0MPa[]c,max W

3 0.035m4 cpc π(0.040m)

1 0.040m100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力偶矩M=2kN·mM后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。0解：1.求解静不定此为静不定问题。在内管两端施加M0

0后，产生的扭转角为Ml 00 GI

(a)去掉M0

后，有静力学关系

piTTi e

(b)几何关系为物理关系为

(c)i e 0Tl Tl i ， i GI e GIpi pe

(d)将式(d)和式(a)代入式(c)，得Tl Tl Mli e 0或写成

GI GI GIpi pe pi由此得

TIepe

M T0 iIpiIIT pe(MIe pi

T)1.395(Mi

Ti

(e)联立求解方程(e)与(b)，得TTi e

0.5825M0

1.165kNm计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为T i,max WpiT

161165N 2.17107Pa21.7MPaπ0.0903[1(8/9)4]m2161165N e,max Wpe

π0.1003(10.94)m2

1.725107Pa17.25MPaD=100mm圆周上，突缘的厚度为=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M5.0kN·m，螺栓的许用切应力[]=100MPa，挤压应力[

]=300MPa。试确定螺栓的直径d。bs44题4-29图解：1.求每个螺栓所受的剪力由M (D)Mx s 2得FMs 3D由螺栓的剪切强度条件求dsF 4M ]sA 2由此得d 4M

45.0103m2

1.457102m14.57mm] 0.100100106由螺栓的挤压强度条件求d由此得

F bs

M 3Dd bsd M

5.0103

5.56103m5.56mm3D[bs

] 30.1000.010300106结论：最后确定螺栓的直径d14.57mm。图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1

的圆周上，另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2

的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。题4-30图解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变与该截面的形心至旋转中心O的距离ri

成正比，即式中，k为比例常数。

kri i利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为而剪力则为

Gkri i45最后，根据平衡方程

FS,i

GAkri D

D2M 6GAk 14GAk 2MO 2 2得k 2M 8MGA(3D22D2) Gπd2(3D22D2)1 2 1 2于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为4MD 11 πd2(3D22D2)1 2 4MD22 πd2(3D22D2)1 2图a=9kN]=140MP=10m。试校核铆钉的剪切强度。题4-31图23（b。将载荷平移至形心，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为F F 9103N

4πd4

πd

2.87107MPaπ(10103m)214

Flr1I

(a)由图中可以看出，rr1 所以，

p60103m，r2

r20103m3ππ2 I (2r22r2) 103m)2(602202)(103m)26.28107m4p 4 1 2 2代入式，得(9103N)(150103m)(60103m) 1.289108Pa6.28107m414max

22 (2.87107Pa)2108Pa)21.32108Pa132MPa[]464-341

=3mm，2

题4-34图解：截面中心线所围面积为1Ωπ(a1由此得

2)(b22 2 4Ωπ(0.2000.0015于是得最大扭转切应力为

0.1604

)m22.41102m2T N Pa41.5MPamax

min

22.411020.003m24-35R，上、0下半部由两种不同材料制成，切变模量分别GG，厚度分别为与 ，且< ，试计算管内的最大扭转1 2 1 2 1 2切应力，以及管端两横截面间的扭转角。题4-35图解：1.扭转切应力计算闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 T2Ω现在所以，最大扭转切应力为

ΩπR20 min 1 M2.扭转变形计算

max

2πR201用相距dx的两个横截面，与夹角为d的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为dV ε1

212G 11

Rddx0由此得整个上半圆管的应变能为47V ε1

lπ200

Rddx10

M2l8πGR3111同理得整个下半圆管的应变能为

101V M2l根据能量守恒定律，

ε2 8πG2

R302M

M2l

M2l于是得

2 8πGR3101

8πG

R32 0 Μl 1 1 4πR3G G0 11 22试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。题4-36图解：由于三者中心线的长度相同，故有2(2bb)4aπd由此得

bπd，aπd6 4据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω，其值依次为π2 π2 Ω2b21 18π2 π2 Ωa22 16Ω＝πd23 4依据max

T2Ω

min可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为 矩max 方max 圆max依据 Tl 4GΩ2 可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为 : :矩 方 圆

2.05:1.621:1结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长48方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积Ω，这样对强度和刚度均有利。M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许用切应力[]=60MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.5(°)/m，切变模量G=80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。题4-37图解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件

max

T 2Ωmin得T2Ω ]20.1000.3000.00360106Nmmin1.080104Nm10.80kNm由扭转刚度条件 T 4GΩ2得

ds[]δT4GΩ2[]480109(0.1000.300)28.727103Nmds 2(0.3000.100) 0.0039.43103Nm9.43kNm其中用到]0.5