高等数学公式大全

高等数学公式大全一些初等函数：22chxex+e一xchxex+e一xarshxlnx三角函数公式：两个重要极限：lim=lim=1x0xlim(1+1lim(1+1)x=e=2.718281828459045...sincostgtctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgαt90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαtctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgαt270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαtctgαctga=2222222222cosa+cos=2coscos高等数学公式2/15高等数学公式ctg2=ctg2ctg2=2ctgcos3=4cos33costg3=222221+cossin1+21+cossin1+cos abcsinAsinBsinC：===2R2222incos导数公式：arctgx=arcctgx(tgx)=sec2x(ctgx)=csc2xarctgx=ctgx高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式：nnk=0kvn中值定理与导数应用：3/15高等数学公式当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。基本积分表：三角函数的有理式积分：jctgxdx=lnsinx+Cjsecxdx=lnsecx+tgx+Cjcscxdx=lncscx一ctgx+Cj=jsec2xdx=tgx+CCjsecx.tgxdx=secx+Cjcscx.ctgxdx=一cscx+Cjshxdx=chx+Cjchxdx=shx+Cln!!22定积分的近似计算：4/15高等数学公式b矩形法：jf(x)如ab梯形法：jf(x)如ayyyn)bynba定积分应用相关公式：压力：F=p.Aba函数的平均值：y=jf(x)dxbababa空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d=M1M2=向量在轴上的投影：PrjuAB=AB.cos0,0是AB与u轴的夹角。ijkbxbybzaaaxyzacccxyz代表平行六面体的体积。5/15高等数学公式平面的方程：2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0平面外任意一点到该平面的距离：d=(x=x+mt(x=x+mt二次曲面：、双曲面：方向导数与梯度：函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cosQ+sinQ其中Q为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i一+j一单位向量。：是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数微分法及应用6/15高等数学公式多元复合函数的求导法：隐函数的求导公式：?u?v?u?u1?(F,G)?v1?(F,G)?u1?(F,G)?v1?(F,G)yvyJuy设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CAC一B2=0时,不确定微分法在几何上的应用：7/15高等数学公式曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：曲率：重积分及其应用：8/15高等数学公式jjf(x,y)dxdy=jjf(rcos9,rsin9)rdrd9DD, Mjjxp(x,y)doMjjyp(x,y)do平面薄片的重心：x=Mx=jp(x,y)do,y=My=jp(x,y)doDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=jjy2p(x,y)do,D对于y轴Iy=jjx2p(x,y)doD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=fjjp(x,y)xdo3，柱面坐标和球面坐标：|(x=rcos9|Fy=fjjp(x,y)ydo3，Fy=fjjp(x,y)ydo3，jjjf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,9,z)rdrd9dz,QQ其中：F(r,9,z)=f(rcos9,rsin9,z)|(x=rsinQcos9|2""r(Q,9)jjjf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,Q,9)r2sinQdrdQd9=jd9jdQjF(r,Q,9)r2sinQdrQQ000重心：x=jjjxpdv,y=jjjypdv,z=jjjzpdv，QQQQQ曲线积分：其中M=x=jjjpdvQIz=jjj(x2+y2)pdvQ第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：bjf(x,y)ds=jf[Q(t),v(t)]La9/15高等数学公式第二类曲线积分(对坐xy设L的参数方程为xy标的曲线积分)：(t)，则：(t)P(x,y)dxLQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LL的方向角。当Py,Qx，)dxdyLPdxQdy格林公式：D()dxdy即：2时，得到D的面积：ADdxdyPdxQdyLLxdyydx·平面上曲线积分与路径无关的条件：G2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数xy减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积注意方向相反！：在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。(x,y)曲面积分：xyDxyxyDxyyzDyzxD两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds10/15高等数学公式x高斯公式：高斯公式的物理意义——通量与散度：通量：jj.ds=jjAnds=jj(Pcosa+Qcosb+RcosY)ds，xxx因此，高斯公式又可写成：jjjdivdv=jjAnds业x斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：dydzdzdxdxdycosacosb ??xP ??yQ ??zRx ??xP ??yQ ??zR?y?z?z?x?x?y旋度：rot=TT常数项级数：调和级数：1+++…+是发散的11/15高等数学公式级数审敛法：1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：(p<1时，级数收敛设：p=lim，则〈|p>1时，级数发散n)w|lp=1时，不确定敛法：(p<1时，级数收敛设：p=limUn+1，则〈|p>1时，级数发散n)wUn|lp=1时，不确定3、定义法：n)wsn=u1+u2+…+un;limsnn)w绝对收敛与条件收敛：如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；12/15高等数学公式幂级数：1xx2x3…xn…x1时，收敛于x1时，发散对于级数(3)a0a1xa2x2…anxn…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全RRxR时不定0时，Rna求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)2…(xx0)n…余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lnRn0x00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xx2…xn…一些函数展开成幂级数：(1x)m1mxx2…xn…(1x1)sinxx…(1)n1…(x)欧拉公式：eixcosxisinx三角级数：cosx2或sinxeix2eix2f(tf(t)A0n1Ansin(ntn)n1(ancosnxbnsinnx)正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cosnx…任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。13/15高等数学公式傅立叶级数：wwbn=j_"f(x)sinnxdxan=0，bn=f(x)sinnxdxn=1,2,3…f(x)=zbnsinnx是奇函数0余弦级数：bn=0，an=f(x)cosnxdxn=0,1,2…f(x)=+zancosnx是偶函数0周期为2l的周期函数的傅立叶级数：wf(x)=+(an