2023高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课时规范练文

第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2023·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，那么k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0)．又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝eq\f(k,x)(k＞0)，即eq\f(k,1)＝2，所以k＝2.答案：D2．(2023·全国卷Ⅱ)假设a>1，那么双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()(导学号55410127)A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1，2)解析：由题意e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)，因为a＞1，所以1＜1＋eq\f(1,a2)＜2，因此离心率e∈(1，eq\r(2))．答案：C3．(2023·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，那么椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\r(2))＝1 B.eq\f(x2,2)＋y2＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1解析：由题设知b＝c＝eq\r(2)，a＝2，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.答案：C4．(2023·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，那么M到直线NF的距离为()(导学号55410128)A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：由题知MF：y＝eq\r(3)(x－1)，与抛物线y2＝4x联立得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3，所以M(3，2eq\r(3))．因为MN⊥l，所以N(－1，2eq\r(3))．又F(1，0)，所以直线NF的方程为y＝－eq\r(3)(x－1)．故点M到直线NF的距离是eq\f(|\r(3)〔3－1〕＋2\r(3)|,\r(〔－\r(3)〕2＋12))＝2eq\r(3).答案：C5．(2023·新乡模拟)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，假设eq\o(BA,\s\up13(→))＝2eq\o(AF,\s\up13(→))，且|eq\o(BF,\s\up13(→))|＝4，那么双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1解析：设A(x，y)，因为右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且eq\o(BA,\s\up13(→))＝2eq\o(AF,\s\up13(→))，所以x＝eq\f(2c,3)，y＝eq\f(b,3)，代入双曲线方程，得eq\f(4c2,9a2)－eq\f(1,9)＝1，所以b＝eq\f(\r(6)a,2).因为|eq\o(BF,\s\up13(→))|＝4，所以c2＋b2＝16，所以a＝2，b＝eq\r(6)，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1.答案：D二、填空题6．(2023·北京卷)假设双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\r(3)，那么实数m＝________．(导学号55410129)解析：由题意知eq\f(1＋m,1)＝e2＝3，那么m＝2.答案：27．(2023·邯郸质检)抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．假设eq\o(FP,\s\up13(→))＝4eq\o(FQ,\s\up13(→))，那么|QF|等于________．解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为eq\o(FP,\s\up13(→))＝4eq\o(FQ,\s\up13(→))，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4.又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ|′＝3.答案：38．(2023·潍坊三模)抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M(1，t)(t＞0)到焦点的距离为5，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a＞0)的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为________．解析：由题设1＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝8.不妨设点M在x轴上方，那么M(1，4)，由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且AM平行一条渐近线，所以eq\f(4,1＋a)＝eq\f(3,a)，那么a＝3.答案：3三、解答题9．(2023·佛山一中调研)椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，右焦点为F(1，0)．(导学号55410130)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，假设OM⊥ON，求直线l的方程．解：(1)依题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋1，))解得a＝eq\r(2)，b＝1.所以椭圆E的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．联立得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝k〔x－1〕，))消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1·x2＝eq\f(2〔k2－1〕,1＋2k2).所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝eq\f(－k2,1＋2k2).因为OM⊥ON，所以eq\o(OM,\s\up13(→))·eq\o(ON,\s\up13(→))＝0.所以x1·x2＋y1·y2＝eq\f(k2－2,1＋2k2)＝0，所以k＝±eq\r(2).故直线l的方程为y＝±eq\r(2)(x－1)．10．(2023·北京卷)椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得c＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设M(m，n)，那么D(m，0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝eq\f(n,m＋2)，故直线DE的斜率kDE＝－eq\f(m＋2,n)，所以直线DE的方程为y＝－eq\f(m＋2,n)(x－m)，直线BN的方程为y＝eq\f(n,2－m)(x－2)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(m＋2,n)〔x－m〕，,y＝\f(n,2－m)〔x－2〕，))解得点E的纵坐标yE＝－eq\f(n〔4－m2〕,4－m2＋n2).由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－eq\f(4,5)n.又S△BDE＝eq\f(1,2)|BD|·|yE|＝eq\f(2,5)|BD|·|n|，S△BDN＝eq\f(1,2)|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.11．(2023·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝eq\f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.(导学号55410131)(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，x1＋x2＝4，那么y1＝eq\f(xeq\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(xeq\o\al(2,2),4)，所以y2－y1＝eq\f(〔x2－x1〕〔x1＋x2〕,4)＝x2－x1.于是直线AB的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2)，设M(x3，y3)，由题设知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y