2018年数学二轮复习中档大题规范练3概率与统计文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE5-学必求其心得，业必贵于专精（三)概率与统计1．（2017·湛江二模）某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分．现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下:(1)计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s2；（结果精确到小数点后一位）（2）从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率．解（1)依题意:样本中男生共6人，成绩分别为164，165，172,178,185,186，∴他们的总分为1050，平均分为175。∴s2＝eq\f（1，6)[（－11）2＋（－10）2＋（－3）2＋32＋102＋112］≈76。7。（2)样本中180分以上的考生有男生2人,记为A，B,女生4人，记为a，b，c,d,从中任选2人，有AB,Aa,Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc,Bd，ab，ac，ad，bc,bd，cd共15种，符合条件的有Aa，Ab，Ac,Ad，Ba，Bb,Bc，Bd共8种,故所求概率P＝eq\f（8,15）。2．(2017·全国Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:最高气温［10，15)［15，20）［20，25）[25，30）［30，35）［35,40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解（1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36，90）＝0。6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间［20，25）,则Y＝6×300＋2(450－300）－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（450－200）－4×450＝－100，所以,Y的所有可能值为900,300，－100。Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f（36＋25＋7＋4,90)＝0。8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.3．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份i789101112销售单价xi(元)99.51010。5118销售量yi（件）111086514(1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0。5元，则认为所得到的线性回归方程是理想的，试问(1）中所得到的线性回归方程是否理想？(3)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2。5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润＝销售收入－成本）参考公式:线性回归方程eq\o(y，\s\up6（^）)＝eq\o(b，\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)),其中eq\o(b，\s\up6（^))＝eq\f（\o(∑,\s\up6(n）,\s\do4(i＝1)）xiyi－n\x\to(x)\x\to（y)，\o(∑,\s\up6（n),\s\do4（i＝1))x\o\al（2，i)－n\x\to（x)2),参考数据：eq\o(∑,\s\up6（5)，\s\do4(i＝1）)xiyi＝392,eq\o(∑,\s\up6（n）,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2，i)＝502.5.解（1）因为eq\x\to（x）＝eq\f（1，5)(9＋9.5＋10＋10。5＋11）＝10，eq\x\to(y）＝eq\f(1，5)（11＋10＋8＋6＋5)＝8，所以eq\o（b,\s\up6(^）)＝eq\f（392－5×10×8,502。5－5×102）＝－3.2，则eq\o(a，\s\up6（^））＝8－(－3.2）×10＝40，于是y关于x的线性回归方程为eq\o（y，\s\up6(^))＝－3.2x＋40.（2）当x＝8时，eq\o（y,\s\up6（^))＝－3.2×8＋40＝14。4，则|eq\o（y，\s\up6（^)）－y｜＝14。4－14＝0。4〈0.5，所以可以认为所得到的线性回归方程是理想的．(3)令销售利润为W，则W＝（x－2。5）(－3.2x＋40)＝－3。2x2＋48x－100(2。5〈x〈12.5），因为W＝3。2x（－x＋15)－100≤3.2×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x－x＋15,2))）2－100＝80，当且仅当x＝－x＋15，即x＝7。5时，W取最大值．所以该产品的销售单价定为7。5元/件时，获得的利润最大．4．（2017·湖南省衡阳市联考）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1）根据表中数据，问是否有95％的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;（2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率。P（K2≥k0)0。1000.0500。010k02.7063.8416。635K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d）。解（1)将2×2列联表中数据代入公式计算,得K2＝eq\f(100×60×10－20×102，70×30×80×20)＝eq\f(100，21)≈4。762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2)从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2,b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3),(a1，b1，b2)，（a1，b2，b3），（a1，b1，b3)，(a2,b1,b2)，（a2,b2，b3），（a2，b1,b3），(b1，b2,b3）}，其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2。bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝｛（a1，b1，b2),(a1，b2，b3),(a1,b1,b3),(a2，b1,b2），（a2，b2，b3）,(a2，b1，b3），（b1，b2，b3）}，A由7个基本事件组成，因而P(A)＝eq\f(7,10）.5．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为［50，60），［60,70）,…，[90，100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分)．（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率．解（1)由频率分布直方图，可得第4组的频率为1－0.1－0.3－0。3－0.1＝0。2，故x＝0.02.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（55×0。01＋65×0。03＋75×0.03＋85×0。02＋95×0.01）×10＝74。由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0。4，前三组的频率之和为0.1＋0。3＋0.3＝0。7，故中位数在第3组中．设中位数为t,则有（t－70）×0。03＝0。1，所以t＝73eq\f（1,3），即所求的中位数为73eq\f(1，3）。（2）由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0．3＋0.2＋0.1＝0。6,由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6＝1200.(3)由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2,1。记成绩在[70，80)这组的3名学生分别为a，b，c，成绩在［80,90）这组的2名学生分别为d，e，成绩在［90，100］这组的1名学生为f，则从中任抽取3人的所有可能结果为(a，b，c），（a,b，d)，(a，b,e），(a，b，f)，（a,c，d),(a，c，e），（a,c，f）,（a，d，e),（a，d，f)，(a，e,f)，（b,c，d)，（b，c，e)，（b,c,f),(b,d，e），