广东省珠海市2015-2016学年第一学期高三摸底考试数学理(版)

PAGE珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02．已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0满足不等式组SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05．当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的（）A．最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0B．最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0C．最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0D．最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<06．函数SKIPIF1<0的单调增区间是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<07．已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的切线与直线SKIPIF1<0垂直,则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0的部分图象如图所示，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0否（第9题图）开始结束输入SKIPIF1<0是输出SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<09．执行如右下图的程序框图，若输入否（第9题图）开始结束输入SKIPIF1<0是输出SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（第10题图）（第10题图）俯视图左视图正视图10．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0,若不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<012．若偶函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0对称，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象的交点个数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0．SKIPIF1<014．由数字SKIPIF1<0组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为．SKIPIF1<015．已知双曲线SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．SKIPIF1<016．SKIPIF1<0展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多SKIPIF1<0，则展开式中的中间项是．SKIPIF1<0选择题答案：ＤＤＣＣＢＤＡＢＢＡＣＣ三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．解(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……………………2分SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0………………………3分所以SKIPIF1<0……………4分(2)SKIPIF1<0………………7分SKIPIF1<0……………10分即SKIPIF1<0……………………12分18．（本小题满分12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；306010次数306010次数123人数(2)从合唱团中任选两名学生，用SKIPIF1<0表示这两人参加活动次数的和，求SKIPIF1<0的分布列.（结果用最简分数）解：（1）由题意得：SKIPIF1<0…………2分∴合唱团学生参加活动的人均次数为SKIPIF1<0…………………3分（2）由题意得SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0……………5分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，………………10分∴SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…………………12分19．（本小题满分12分）已知如图：四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.解：（1）证明:连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点……1分由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知：点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点……………2分∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线∴SKIPIF1<0……………………3分∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；…………4分（2）由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0…………6分在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0同理可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；………8分∵SKIPIF1<0∴取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0…………………10分∴SKIPIF1<0即为二面角SKIPIF1<0的平面角；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；∴二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.…………………12分20．（本小题满分12分）已知动圆过定点SKIPIF1<0,且与定直线SKIPIF1<0相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线SKIPIF1<0的方程；（2）若点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，切点记为SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0恒过定点，并求SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为焦点，以定直线SKIPIF1<0为准线的抛物线；………………2分设SKIPIF1<0∵点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴圆心的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0…………4分(2)∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0设切点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0则过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵过点SKIPIF1<0的切线都过点SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0都在直线SKIPIF1<0上∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…………………6分又因为点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点,所以SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0…………………8分联立SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0又因为点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0…①则SKIPIF1<0是①的二根∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0………………10分点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是:SKIPIF1<0…………………11分∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0面积的最小值是SKIPIF1<0…………12分21．（本小题满分12分）已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，证明:SKIPIF1<0；（2）讨论函数SKIPIF1<0零点的个数.解(1)证明:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0列表:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0递增SKIPIF1<0递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0………………2分(2)SKIPIF1<0…………3分SKIPIF1<0讨论:SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,由第(1)问可得函数SKIPIF1<0没有零点;……………4分SKIPIF1<0当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0而SKIPIF1<0,因为函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0又函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0没有零点,在区间SKIPIF1<0有一个零点………6分SKIPIF1<0当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恒成立即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有一个零点……………………8分SKIPIF1<0当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0根据函数单调性可得函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0没有零点,在区间SKIPIF1<0有一个零点……10分SKIPIF1<0当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0有两个零点;当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0有一个零点;当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0没有零点.………11分综上，SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0有两个零点;SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0有一个零点;SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0没有零点；SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0有一个零点；………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0作它的一条切线，切点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，直线SKIPIF1<0且交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，过SKIPIF1<0点的切线交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0．证明：（1）由SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的切线知:SKIPIF1<0…………2分又∵SKIPIF1<0；∴在SKIPIF1<0中，由射影定理知：SKIPIF1<0……………………4分（2）证明：由SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的切线知：SKIPIF1<0．同（1）SKIPIF1<0……………6分由得：SKIPIF1<0………………………7分即:SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0…………9分∴SKIPIF1<0．………………1