材料力学计算题库

.第一章绪论【例1-1】钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。【解】〔1〕沿m-m截面假想地将钻床分红两局部。取m-m截面以上局部进行研究〔图1-6b〕，并以截面的形心O为原点。选用坐标系如下列图。〔2〕为保持上部的平衡，m-m截面上必定有经过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。〔3〕由平衡条件∴【例1-2】图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，边长=400mm，受力后沿x方向平均伸长=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。精品.【解】由于矩形截面薄板沿x方向平均受力，可认为板内各点沿x方向拥有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。x方向【例1-3】图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。假定在p力作用下CD杆下移b=0.025，试求薄板中a点的剪应变。【解】由于薄方板变形受四连杆机构的限制，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。第二章拉伸、压缩与剪切【例题2.1】一等直杆所受外力如图2.5(a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2.5(b)所示)，假定轴力FN1为拉力(此后轴力都按拉力假定)，由平衡方程Fx0，FN1300得FN130kN结果为正当，故FN1为拉力。同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2.5(c)所示)为FN2304070(kN)在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2.5(d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程精品.Fx0，FN330200精品.得FN3302010(kN)结果为负值，说明FN3为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力FN4为FN420kN30kN40kN80kN30kN20kN(a)40kN80kN30kN20kN30kNA(a)CDEB20kN30kN40kN80kN30kN(b)30kN(a)A(a)BCDE40kN80kNF30kN20kN30kN40kN80kN30kN30kN20kNCDE(a)B30kN30kN(b)40kNAFN1(a)(c)BDFN2EA30kNC(b)40kN(b)FABC30kN20kN30kN80kNE30kN30kN(c)40kNFN2(b)FN330kN20kN30kN(a)F(b)(d)F30kN40kN(c)BCDFN2E30kN20kN30kNA(d)FN340kNFN2(c)30kN30kNe)(c)FN420kN(c)(b)40kN(d)FN2FFN330kN20kN(d)30kN(e)FN370kN30kN20kNFN420kN(d)(c)FN340kN30kNFN220kN(e)30kN70kN20kN(f)(d)20kNFN4(e)FN420kN30kN70kN(d)(f)30kN20kN20kNN3(e)70kNFN410kN20kN30kN(f)20kN(f)(e)30kN(e)20kNFN410kN20kN(f)30kN70kN20kN10kN10kN(f)30kN10kN20kN10kN(f)图2.5例题2.1图【例题2.2】一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。P40kN。试求荷载惹起的最大工作应力。解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，进而确定全柱的最大工作应力。Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和的横截面尺寸算得F40103N0.69(MPa)(压应力)1(240mm)A1(240mm)F120103NN20.88(MPa)(压应力)2(370mm)A2(370mm)精品.由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为0.88MPa，是压应力。【例题2.3】一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为l，截面面积为A，材料容重为。试剖析该杆由自重惹起的横截面上的应力沿杆长的散布规律。解：应用截面法，在距下端距离为x处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为G(x)，那么有G(x)xA(a)设横截面上的轴力为FN(x)，那么由平衡条件Fx0，FN(x)G(x)0(b)将(a)式值代入(b)式，得FN(x)Ax(c)即FN(x)为x的线性函数。当x0时，FN(0)0当xl时，FN(l)FN,maxAl(a)(b)(a)(b)(c)图2.8例题2.2图图2.9例题2.3图式中FN,max为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为(x)FN(x)(d)xA即应力沿杆长是x的线性函数。精品.当x0时，(0)0当xl时，(l)max

l精品.式中max为应力的最大值，它发生在上端截面，其散布近似于轴力图。【例题2.4】气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径D180mm，壁厚8mm，气压p2MPa，活塞杆直径d10mm，试求汽缸横截面B—B及纵向截面C—C上的应力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。(1)求横截面B—B上的应力。取B—B截面右侧局部为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件Fx0，220(Dd)pFN4当Dd时，得B—B截面上的轴力为FND2p4B—B截面的面积为A(D)(D2D)那么横截面B—B上的应力为FND2pDp18024xAD4411.25(MPa)8称为薄壁圆筒的轴向应力。图2.10例题2.4图(2)求纵截面C—C上的应力。取长为l的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平衡条件Fy0，pDdlsin2FN1002得C—C截面上的内力为2FN1plD—C截面的面积为精品.A12l当D≥20时，可认为应力沿壁厚近似平均散布，那么纵向截面C—C上的应力为2FN1plDpD1802y2l2222.5(MPa)A18称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果说明：周向应力是轴向应力的两倍。【例题2.7】螺纹内径d15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为F22kN。假定螺栓的许用应力[]150MPa，试校核螺栓的强度是否足够。解：确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有FNF22kN计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为FNF422103124.6(MPa)Ad23.141524应用强度条件进行校核。许用应力为[]150(MPa)螺栓横截面上的实际应力为124.6MPa＜[]150(MPa)所以，螺栓的强度是足够的。【例题2.8】一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。：q10kN/m，l8.8m，h1.6m，钢的许用应力[]170MPa，试设计钢拉杆AB的直径。解：求支反力FA和FB，因屋架及荷载左右对称，所以FAFB1ql1108.844(kN)22精品.图2.25例题2.8图(2)用截面法求拉杆内力FNAB，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由MC0，FA4.4qllFNAB1.6024得1444.41108.82FNABFA4.4ql2/1.6860.5(kN)81.6(3)设计Q235钢拉杆的直径。由强度条件FNAB4FN2AB≤[]Ad得d≥4FNAB460.510321.29(mm)[]170【例题2.9】防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，AB为其中一根支撑杆。各杆为d100mm的圆木，其许用应力[]10MPa。试求支杆间的最大距离。解：这是一个实际问题，在设计计算过程中首先需要进行适合地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。(1)计算简图。防水闸门在水压作用下能够稍有转动，下端可近似地视为铰链拘束。AB杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两头均允许有转动，故亦可简化为铰链拘束。于是AB杆的计算简图如图2.26(b)所示。精品.图2.26例题2.9图(2)计算AB杆的内力。水压力经过防水闸门传达到AB杆上，如图2.26(a)中阴影局部所示，每根支撑杆所承受的总水压力为FP1h2b2其中为水的容重，其值为10kN/m3；h为水深，其值为3m；b为两支撑杆中心线之间的距离。于是有FP11010332b45103b2根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件MC0，FP1FNABCD0其中CD3sin342.4(m)3242得FP453FNAB10b18.7532.42.410b(3)根据AB杆的强度条件确定间距b的值。由强度条件FNAB418.752103b≤[]Ad得b≤[]d2101063.140.124.19(m)418.75103418.75103【例题2.10】三角架ABC由AC和BC两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆AC由两根No.14a的槽钢组成，许用应力[]160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为[]100MPa。求荷载F的许可值[F]。精品.(a)(b)图2.34例题2.10图解：(1)求两杆内力与力F的关系。取节点C为研究对象，其受力如图2.34(b)所示。节点C的平衡方程为Fx0，FNBCcosFNACcos066Fy0，FNBCsinFNACsinF066解得FNBCFNACF(a)(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆AC和BC的横截面面积分别为AAC18.51104237.02104m2，ABC42104m2。根据强度条件FN≤[]A得两杆的许可轴力为[FN]AC(160106)(37.02104)592.32103(N)592.32(kN)[FN]BC(100106)(42104)420103(N)420(kN)求许可荷载。将[FN]AC和[FN]BC分别代入(a)式，便获得按各杆强度要求所算出的许可荷载为[F]AC[FN]AC592.32kN[F]BC[FN]BC420kN所以该构造的许可荷载应取[F]420kN。【例题2.5】阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量E200GPa，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：作轴力图；(2)计算杆的总伸长量。精品.图2.37例题2.5图解：(1)画轴力图。因为在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得FNAB300100300100(kN)FNBC300100200(kN)FNCD300(kN)轴力图如图2.37(b)所示。求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为lABFNABlAB100103300EA2001030.1(mm)1500ABFNBClBC2003300lBC10EABC2001030.2(mm)1500lCDFNCDlCD300103300EA2001030.45(mm)1000CD杆的总伸长量为3lli0.10.20.450.55(mm)i1【例题2.6】如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力F。F30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量E200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。精品.图

2.38

例题

2.6图解：(1)利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A的平衡条件，有Fx

0，

FNCsin30°

FNBsin45°

0Fy

0，FNCcos30°

FNBcos45°

F

0解得各杆的轴力为FNB0.518F15.53(kN)，FNC0.732F21.96kN计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有lBFNBlB15.5310321.399(mm)EAB92200104(0.01)lCFNClC21.961030.821.142(mm)EAC2001094(0.014)2(3)利用图解法求A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线，相交于点A，再过点A作水平线，与过点A的铅垂线交于点A，那么AA便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得lBcos(45°)，lCcos(30°)AAAA可得tan0.12，6.87°AA1.778(mm)所以点

A

的铅垂位移为AAcos

°

1.765(mm)从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。

位移是指其地点的移动，

而变形是指精品.构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。精品.【例题2.11】两头固定的等直杆AB，在C处承受轴向力F(如图2.37(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两头的支反力。解：根据前面的剖析可知，该构造为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从以下3个方面来剖析。图2.38例题2.11图(1)静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为Fy0，FRAFRBF0(a)(2)几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余拘束，设取下固定端B为多余拘束，暂时将它排除，以未知力FRB来代替此拘束对杆AB的作用，那么得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受力F和未知力FRB作用，并惹起变形。设杆由力F惹起的变形为lF(如图2.38(d)所示)，由FRB惹起的变形为lB(如图2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有以下几何关系lFlB0(b)(3)物理方面。由胡克定律，有lFFa，lBFRBl(c)EAEA将式(c)代入式(b)即得补充方程FaFRBl(d)EA0EA精品.最后，联立解方程(a)和(d)得FRAFb，FRBFall求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。【例题2.12】有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力P作用，如图2.39所示。E1、A1和E2、A2分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少？解：设钢筋和混凝土的内力分别为FN1和FN2，利用截面法，根据平衡方程Fy0，FN1FN2P(a)这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩短l，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为l1l2(b)由物理关系知l1FN1l，FN2l(c)E1A1l2E2A2将式(c)代入式(b)获得补充方程为FN1lFN2l(d)E1A1E2A2联立解方程(a)和(d)得FN1E1A1PE1A1E2A2PE2A21E1A1FN2E2A2PE1A1E2A2PE1A11E2A2可见FN1E1A1FN2E2A2图2.39例题2.12图即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。又1FN1E1PA1E1A1E2A22FN2E2PA2E1A1E2A2可见1E1E22即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。【例题2.14】如图2.42(a)所示，①、②、③杆用铰相连结，当温度升高t20°C时，求各杆的温度应力。：杆①与杆②由铜制成，E1E2100GPa，30°，线膨胀系数1216.5106/(°C)，A1A2200mm2；杆③由钢制成，其长度l1m，精品.E3200GPa，A3100mm2，312.5106/(°C)。解：设FN1、FN2、FN3分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假定均为拉力，考虑A铰的平衡(如图2.42(b)所示)，那么有图2.42例题2.14图Fx0，FN1sinFN2sin0，得FN1FN2(a)Fy0，2FcosF0，得FN3(b)FN12cos变形几何关系为l1l3cos(c)物理关系(温度变形与内力弹性变形)为llFN1l1cos1t(d)cosE1A1l3tlFN1l3(e)E3A3将(d)、(e)两式代入(c)得1tlFN1l3tlFN3l(f)cosE1A1coscosE3A3联立求解(a)、(b)、(f)三式，得各杆轴力FN31492NFN1FN2FN3860N2cos杆①与杆②承受的是压力，杆③承受的是拉力，各杆的温度应力为FN186012A14.3(MPa)200FN314923A314.92(MPa)100【例题2.13】两铸件用两钢杆1、2连结，其间距为l200mm(如图41(a)所示)现需将制造的过长e0.11mm的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d10mm，铜杆横截面为20mm30mm的矩形，钢的弹性模量E210GPa，铜的弹性模量E3100GPa。铸铁很厚，精品.其变形可略去不计。精品.解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于构造对称于杆3，故其变形关系如图2.41(c)所示。进而可得变形几何方程为l3el1(a)图2.41例题2.13图物理关系为l1

FN1lEA

(b)l3

FN3l

(c)E3A3以上两式中的A和A3分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式的原长le，但由于e与l相比甚小，故用l代替。将(b)、(c)两式代入式(a)，即得补充方程FN3lFN1lE3A3eEA在成立平衡方程时，由于上面已判断1、2两杆伸长而杆2的轴力为拉力而杆3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图FN1FN2

(c)中的l在理论上应是杆3(d)3缩短，故须相应地假定杆1、2.41(d)所示。由对称关系可知(e)另一平衡方程为精品.Fx0，FN3FN1FN20(f)联解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得装配内力为FN1FN2eEA1lEA12E3A3eE3A31FN3E3A3l12EA所得结果均为正，说明原先假定杆1、2为拉力和杆3为压力是正确的。各杆的装配应力为FN1eE112lEAA12E3A3(0.11103m)(210109Pa)10.2m2(210109Pa)(10103m)214109Pa)(20103m)(30103m)(10074.53106Pa74.53(MPa)3FN3eE31A3l19.51(MPa)E3A312EA【例题3.6】两块钢板用三个直径相同的铆钉连结，如图2.44(a)所示。钢板宽度b100mm，厚度t10mm，铆钉直径d20mm，铆钉许用切应力[]100MPa，许用挤压应力[bs]300MPa，钢板许用拉应力[]160MPa。试求许可荷载F。精品.图2.44例题3.6图解：按剪切强度条件求F。由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线经过铆钉组受剪面的形心，能够假定各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连结板的受力情况如图2.44(b)所示。每个铆钉所受的剪力为FFS3根据剪切强度条件式(3-17)FS≤[]AS可得23.142F≤3[]d203100494200N94.2kN4按挤压强度条件求F。由上述剖析可知，每个铆钉承受的挤压力为FbsF3根据挤压强度条件式(3-19)bsFbs≤[bs]Abs可得F≤3bsAbs3bsdt33002010180000N180(kN)按连结板抗拉强度求F。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以剖析其一即可。如图2.44(b)所示的是上板的受力情况及轴力图。1—1截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，那么有FN11F≤[]A11A11由此可得F≤[](bd)t160(10020)10128000N128kN精品.根据以上计算结果，应选用最小的荷载值作为此连结构造的许用荷载。故取[F]94.2kN【例题3.7】两块钢板用铆钉对接，如图2.47(a)所示。主板厚度t115mm，盖板厚度t210mm，主板和盖板的宽度b150mm，铆钉直径d25mm。铆钉的许用切应力100MPa，试对此铆接进行校核。解：校核铆钉的剪切强度。此构造为对接接头。铆钉和主板、盖板的受力情况如图2.47(b)、图2.47(c)所示。每个铆钉有两个剪切面，每个铆钉的剪切面所承受的剪力为FFFS2n6图2.47例题3.7图根据剪切强度条件式(3-17)FSF/6300103101.9(MPa)＞[]ASd2625244超过许用切应力1.9%，这在工程上是允许的，故平安。校核挤压强度。由于每个铆钉有两个剪切面，铆钉有三段受挤压，上、下盖板厚度相同，所受挤压力也相同。而主板厚度为盖板的1.5倍，所受挤压力却为盖板的2倍，故应该校核中段挤压强度。根据挤压强度条件式(3-19)FbsF/3300103266.67(MPa)＜[bs]bsdt132515Abs剪切、挤压强度校核结果说明，铆钉平安。精品.校核连结板的强度。为了校核连结板的强度，分别画出一块主板和一块盖板的受力图及轴力图，如图2.47(b)和图2.47(c)所示。主板在1—1截面所受轴力FN11F，为危险截面，即有11FN11F300103160(MPa)[]A11(bd)t1(15025)15主板在2—2截面所受轴力FN22，但横截面也较1—1截面为小，所以也应校核，2F3有FN222F/32300103133.33(MPa)＜22(b2d)t13(150225)15A22盖板在3—3截面受轴力FN33F，横截面被两个铆钉孔削弱，应当校核，有2FN3F/2333330010150(MPa)＜[]A3(b2d)t22(150225)310结果说明，连结板平安。第三章扭转【例题3.1】传动轴如图3.9(a)所示，其转速n200r/min，功率由A轮输入，B、C两轮输出。假定不计轴承摩擦所耗的功率，：P1500kW，P2150kW，P3150kW及P4200kW。试作轴的扭矩图。图3.9例题3.1图解：计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为精品.M19550500Nm23.88103Nm23.88kNm200M2M39550150Nm7.16103Nm7.16kNm200M49550200Nm9.55103Nm9.55kNm200(2)由轴的计算简图(如图3.9(b)所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面2—2上的扭矩。沿截面2—2将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图3.9(c)可知Mx0，T2M2M30得T2M2M314.32kNm同理，在BC段内T1M27.16kNm在AD段内T3M49.55kNm根据以上数据，作扭矩图(如图3.1(d)所示)。由扭矩图可知，Tmax发生在CA段内，其值为14.32kNm。【例题3.2】某传动轴，轴内的最大扭矩T1.5kNm，假定许用切应力[]=50MPa，试按以下两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面轴的直径d1。(2)空心圆截面轴，其内、外径之比为d/D0.9。解：(1)确定实心圆轴的直径。由强度条件(3-13)式得WP≥Tmax[]3而实心圆轴的扭转截面系数为WPd116那么，实心圆轴的直径为16T316(1.5106Nmm)d1≥353.5mm3.14[]50MPa确定空心圆轴的内、外径。由扭转强度条件以及空心圆轴的扭转截面系数可知，空心圆轴的外径为D≥316T16(1.5106Nmm)33.14(10.94)76.3(mm)(14)[]50MPa而其内径为0.9D0.976.3mm68.7mm重量比较。上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，二者的重量之比等精品.于其横截面之比，即精品.(D2d2)476.3268.724d1253.520.385上述数据充分说明，空心轴远比实心轴轻。【例题3.3】阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径d1100mm，BC段直径d280mm。扭转力偶矩MA14kNm，MB22kNm，MC8kNm。已知材料的许用切应力[]85MPa，试校核该轴的强度。解：作扭矩图。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩图如图3.18(b)所示。强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。T14106NmmAB段171.34(MPa)＜[]1,maxWP1(100mm)316BC段T28106Nmm79.62(MPa)＜[]2,maxWP2(80mm)316图3.18例题3.3图因此，该轴知足强度要求。【例题3.4】一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩Me9.56kNm，轴的内外直径之比1。钢的许用切应力[]40MPa，切变模量G80GPa，2许可单位长度扭转角[]0.3(o)/m。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。图3.19例题3.4图解：(1)求扭矩T。用截面法截取左段为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得精品.TMe9.56kNm精品.根据强度条件确定轴的外径。D3(1D343由WP4)11Tmax≤[]WP得≥316T16(9.56103Nm)163D(14)[]315(40106Pa)10910m109mm根据刚度条件确定轴的外径。D4(1D444由IP4)11Tmax180≤[]GIP得D≥T180144[]G(132)32(9.56103Nm)1618014(80109Pa)15°0.3()/m3125.510m125.5mm所以，空心圆轴的外径不能小于125.5mm，内径不能小于62.75mm。第四章弯曲内力【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。解：静定梁的AC段为根本梁或主梁，CB段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离体求出支反力FB；然后，取整体为研究对象，求出A处的支反力FAx，FAy，MA。精品.图4.5例题4.1图取CB梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程MC0，FB5Meq32.50得FB29kN(2)取整体为脱离体，如图4.5(a)所示，由平衡方程Fx0，FAx0Fy0，FAyFBFq30得FAy81kNMA0，MRA96.5kNm上述求得的拘束反力为正当，说明假定的拘束反力方向与实际情况一致。为了校核所得支反力是否正确，也可取AC梁为脱离体，考证所求的支反力是否知足平衡条件。【例题4.2】梁的计算简图如图4.8(a)所示。F1、F2，且F2F1，以及尺寸a、b、l、c和d。试求梁在E、F点处横截面上的剪力和弯矩。解：为求梁横截面上的内力——剪力和弯矩，首先求出支反力FA和FB(如图4.8(a)所示)。由平衡方程MA0，FBlF1aF2b0和MB0，FAlF1(la)F2(lb)0解得FAF1(la)F2(lb)，FBF1aF2bll精品.图4.8例题4.2图当计算横截面E上的剪力FSE和弯矩ME时，将梁沿横截面E假想地截开，研究其左段梁，并假定FSE和ME均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程Fy

0，FA

FSE

0可得FSE

FA由

ME

0，

ME

FAc

0可得ME

FAc结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向正确，(如图4.8(c)所示)来计算FSE和ME以验算上述结果。

即均为正当。读者能够从右段梁计算横截面

F

上的剪力

FSF和弯矩

MF

时，将梁沿横截面

F

假想地截开，研究其右段梁，并假定

FSF和MF

均为正向，如图

4.8(d)所示。由平衡方程Fy

0，FSF

FB

0可得FSF

FB由

MF

0，

MF

FBd

0可得MFFBd精品.结果为负，说明与假定的指向相反(FSF)；结果为正(MF)，说明假定的转向正确。将FA和FB代入上述各式即可确定E、F截面的内力值。【例题4.3】如图4.9(a)所示为一在整个长度上受线性散布荷载作用的悬臂梁。最大荷载集度q0，几何尺寸如下列图。试求C、B两点处横截面上的剪力和弯矩。图4.9例题4.3图解：当求悬臂梁横截面上的内力时，假定取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，那么不必求出支反力。用求内力的简易方法，可直接写出横截面C上的剪力FSC和弯矩MC。nqCaFSCFii12MCqC1qC22aa6a3有三角形比率关系，可得qCa，那么q0lFSCq0a22lMCq0a36l【例题4.4】如图4.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。利用求内力的简易方法，考虑随意截面x的右侧梁段，那么可写出随意横截面上的剪力和弯矩方程：FS(x)F(a)M(x)Fx(0≤x≤l)(b)由(a)式可见，剪力图与x无关，是常值，即为水平直线，只需确定线上一点，比如x0处，FSF，即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。由式(b)可知，弯矩是x的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需确定线上两点，如x0处，M0，xl处，MFl，即可绘出弯矩图(如图4.11(c)所示)。精品.图4.11例题4.4图【例题4.5】如图4.12(a)所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：关于简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此，两支反力(如图4.12(a)所示)相等。FAFB随意横截面x处的剪力和弯矩方程可写成

ql2qlqx(0≤x≤l)FS(x)FAqx2xqlxqx2M(x)FAxqx2(0≤x≤l)22由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。模仿例题4.4中的画图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个点以上。图4.12例题4.5图2由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，Mmaxql，而该截面上的8FS0；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，ql(正当，负值)。FS,max2【例题4.6】如图4.13(a)所示的简支梁在C点处受集中荷载力F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：首先由平衡方程MB0和MA0分别算得支反力(如图4.13(a)所示)为FAFb，FBFall精品.由于梁在C点处有集中荷载力F的作用，显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯矩方程均不相同，故需将梁分为精品.AC和CB两段，分别写出其剪力和弯矩方程。图4.13例题4.6图关于AC段梁，其剪力和弯矩方程分别为FS(x)FA(0≤x≤a)(a)M(x)FAx(0≤x≤a)(b)关于CB段梁，剪力和弯矩方程为FS(x)FAFF(lb)Fa(a≤x≤l)(c)llAFa(lx)(a≤x≤l)(d)M(x)FxF(xa)l由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于x轴的直线。由(b)、(d)两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图4.13(b)和图4.13(c)所示。由图可见，在b>a的情况下，AC段梁任一横截面上的剪力值为最大，FS,maxFb；而l集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，MmaxFab；在集中荷载作用处左、右两侧截面l上的剪力值不相等。【例题4.7】图4.14(a)所示的简支梁在C点处受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：由于梁上只有一个外力偶作用，因此与之平衡的拘束反力也一定组成一反力偶，即A、B处的拘束反力为FAMe，FBMell由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表示，即FS(x)FAMe(0≤xa)(a)l而弯矩那么要分段成立。AC段：M(x)FAMex(0≤xa)(b)l精品.CB段：M(x)FAxMeMe(lx)(ax≤l)(c)l由式(a)可知，整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。由(b)、(c)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方程的合用范围，便可分别绘出梁的剪力图和弯矩图(如图4.14(b)和图4.14(c)所示)。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。假定b>a，那么最大弯矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上，MmaxMeb(负值)。l图4.14例题4.7图【例题4.9】图4.19(a)所示为一悬臂刚架，受力如下列图。试作刚架的内力图。解：计算内力时，一般应先求支反力。但关于悬臂梁或悬臂刚架，能够取包含自由端部分为研究对象，这样就能够不求支反力。下面分别列出各段杆的内力方程为FN(x)0FS(x)qx(0≤x≤l)BC段：qx2M(x)2FN(x1)qlFS(x1)F(0≤x1≤l)BA段：ql2M(x)Fx12在BA段中假定截面弯矩使外侧受拉为正。根据各段的内力方程，即可绘出轴力、剪力和弯矩图。如图4.19(b)、图4.19(c)和图4.19(d)所示。精品.qqlqlqlCBxxlFN图FS图Al(a)(b)(b)(c)(a)图4.19例题4.9图2ql2qlqlxM图lFN图FS图23ql2(c)(d)(d)(b)(c)图4.19(续)【例题4.10】一端固定的四分之一圆环在其轴线平面内受集中荷载F作用，如图4.20(a)所示。试作曲杆的弯矩图。解：关于环状曲杆，应用极坐标表示其横截面地点。取环的中心O为极点，以OB为极轴，并用表示横截面的地点(如图4.20(a)所示)。关于曲杆，弯矩图仍画在受拉侧。曲杆的弯矩方程为M()FxFRsin(0≤≤)2在上式所合用的范围内，对取不同的值，算出各相应横截面上的弯矩，连结这些点，即为曲杆的弯矩图(如图4.20(b)所示)，由图4.20可见，曲杆的最大弯矩在固定端处的A截面上，其值为FR。xFBmφM图RACFR(a)(b)(a)(b)图4.20例题4.10图精品.精品.第五章弯曲应力【例题5.1】受均布荷载作用的工字形截面等直外伸梁如图5.2(a)所示。试求当最大正应力max为最小时的支座地点。解：首先作梁的弯矩图(如图5.2(b)所示)，可见，支座地点a直接影响支座A或B处截面及跨度中央截面C上的弯矩值。由于工字形截面的中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等，因此当截面的最大正、负弯矩相等时，梁的最大弯矩的绝对值为最小，Mmax即maxWz为最小。成立MmaxMmax图5.2例题5.1图ql2qlaqa2822得a(12)l2由于a应为正当，所以上式中根号应取正号，进而解得a0.207l【例题5.2】跨长l2m的铸铁梁受力如图5.3(a)所示。材料的拉、压许用应力分别为[t]30MPa和[c]90MPa。试根据截面最为适宜的要求，确定T型截面梁横截面的尺寸(如图5.3(b)所示)，并校核梁的强度。图5.3例题5.2图解：要使截面最为合理，应使梁的同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力(如图5.3(c)所示)之比t,maxc,max与相应的许用应力之比[t]/[c]相等。由于t,maxMy1和Iz精品.My2，并[t]301c,maxIz[c]90，所以3t,maxy11(a)c,maxy23式(a)就是确定中性轴即形心轴地点y(如图5.3(b)所示)的条件。考虑到y1y2280mm(如图5.3(b)所示)，即得yy2210mm(b)显然，y值与横截面尺寸相关，根据形心坐标公式(见附录A)及如图5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出(28060)2806060220602280y2(28060)60220210mm由此求得24mm(c)确定后进行强度校核。为此，由平行移轴公式(见附录A)计算截面对中性轴的惯性矩Iz为243Iz22024220(210212110)2206032220602802106012299.2106(mm)499.2106(m)4梁中最大弯矩在梁中点处，即Fl8032Mmax10340(kNm)444010(Nm)于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大压应力，并据此校核强度：Mmaxy4010370103t,max1106Iz99.228.2106Pa28.2MPa[t]c,maxMmaxy240103210103Iz99.210684.7106Pa84.7MPa[C]可见，梁知足强度条件。【例题5.3】试利用附录C的型钢表为如图5.4所示的悬臂梁选择一工字形截面。F40kN，l6m，[]150MPa。精品.图5.4例题5.3图解：首先作悬臂梁的弯矩图，悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为MmaxFl401036240(kNm)应用式(5-7b)，计算梁所需的抗弯截面系数Wz≥Mmax2401031.601033)1600(cm3)[]150106(m由附录C型钢表中查得，45c号工字钢，其Wz1570cm3与算得的Wz1600cm3最为接近，相差不到5%，这在工程设计中是允许的，应选45c号工字钢。【例题5.4】一外伸铸铁梁受力如图5.5(a)所示。材料的许用拉应力为[t]40MPa，许用压应力为[c]100MPa，试按正应力强度条件校核梁的强度。解：(1)作梁的弯矩图。由图5.5(c)可知，最大负弯矩在截面B上，其值为MB20kNm，最大正弯矩在截面E上，其值为ME10kNm。图5.5例题5.4图(2)确定中性轴的地点和计算截面对中性轴的惯性矩Iz。横截面形心C位于对称轴y上，C点到截面下边缘距离为精品.Szy1CA1y2CA2200301853017085yCA1A22003030170A139(mm)故中性轴距离底边139mm(如图5.5(b)所示)。截面对中性轴z的惯性矩，能够利用附录A中平行移轴公式计算。200303301703Iz2003046230170542121240.3106(m4)校核梁的强度。由于梁的截面对中性轴不对称，且正、负弯矩的数值较大，故截面E与B都可能是危险截面，须分别算出这两个截面上的最大拉、压应力，然后校核强度。截面B上的弯矩MB为负弯矩，故截面B上的最大拉、压应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为MBy2010361103t,max,B210630.3(MPa)Iz40.3MBy120103139103c,max,B40.310669(MPa)Iz截面E上的弯矩ME为正弯矩，故截面E上的最大压、拉应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为MEy11010313910334.5(MPa)t,max,E40.3106IzMEy1010361103c,max,E210615.1(MPa)Iz40.3比较以上计算结果，可知，该梁的最大拉应力t,max发生在截面E下边缘各点，而最大压应力c,max发生在截面B下边缘各点，作强度校核如下。t,maxt,max,Ec,maxc,max,B

34.5MPa[t]40MPa69MPa[c]90MPa所以，该梁的抗拉和抗压强度都是足够的。【例题5.5】如图5.12所示两头铰支的矩形截面木梁，受均布荷载作用，荷载集度q10kN/m。木材的许用应力[]12MPa，顺纹许用应力[]1.5MPa，设h3。试b2选择木材的截面尺寸，并进行切应力的强度校核。精品.图5.12例题5.5图解：(1)作梁的剪力图和弯矩图。木梁的剪力图和弯矩图如图5.12(b)和图5.12(c)所示。由图可知，最大弯矩和最大的剪力分别发生在跨中截面上和支座A，B处，其值分别为Mmax11.25kNm，FS,max15kN按正应力强度条件选择截面。由弯曲正应力强度条件得WzMmax11.251030.00094(m3)≥10612又因h3b，那么有2bh23b2Wz68故可求得38Wz380.00094b0.135(mm)33h0.2m200mm(3)校核梁的切应力强度。最大切应力发生在中性层，由矩形截面梁最大切应力公式(5-9)得3FS,max315103max20.1350.22A0.56(MPa)[]1.5(MPa)故所选木梁尺寸知足切应力强度要求。第六章弯曲变形【例题6.1】如图6.4所示一弯曲刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角max。精品.解：由对称关系可知梁的两支反力为精品.FAFB梁的弯矩方程为

ql2M(x)qlx1qx2q(lxx2)(a)222将式(a)中的M(x)代入式(6-1b)EIwM(x)q(xlx2)2图6.4例题6.1图再经过两次积分，可得qlx2x3(b)EIw2C23qlx3x4(c)EIw6CxD212在简支梁中，边界条件是左、右两铰支座处的挠度均等于零，即在x0处，w0在xl处，w0将边界条件代入式(c)，可得D0和EIw|xlql4l4Cl02612进而解出ql3C24于是，得梁的转角方程和挠曲线方程分别为wq(l323(d)6lx4x)24EI和wqx(l32lx2x3)(e)24EI由于梁上外力及边界条件关于梁跨中点是对称的，因此梁的挠曲线也应是对称的。由图6.4可见，两支座处的转角绝对值相等，且均为最大值。分别以x0及xl代入式(d)，可得最大转角值为精品.ql3max24EIB精品.又因挠曲线为一圆滑曲线，故在对称的挠曲线中，最大挠度必在梁跨中点xl2处。所以其最大挠度值为wmaxwlx2

ql2l32ll2l35ql424EI48384EI【例题6.2】如图6.5所示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：梁的两个支反力为FAFb，FBFall关于Ⅱ和Ⅱ两段梁，其弯矩方程分别为M1b(0≤x≤a)FAxFxlM2FbxF(xa)(a≤x≤l)l分别求得梁段Ⅰ和Ⅱ的挠曲线微分方程及其积分，见表6.1。表6.1梁段Ⅰ和Ⅱ的挠曲线微分方程及其积分

作用。(a)(b)(b)梁段Ⅰ(0≤x≤a)挠曲线微分方程：EIw1M1Fbxl积分一次：EIw1Fbx2C1l2(d)再积分一次：EIw1bx3C1xD1F6l

梁段Ⅱ(a≤x≤l)挠曲线微分方程：(c)EIw2M2FbxF(xa)l积分一次：b22EIw2xF(xa)F2C2l2(d)再积分一次：(e)EIw2bx3F(xa)3F6C2xD2l6(e)

(c)图6.5例题6.2图在对梁段Ⅱ进行积分运算时，对含有(xa)的弯矩项不要展开，而以(xa)作为自变量进行积分，这样可使下面确定积分常数