线性代数试验-方阵对角化与matlab在微积分中的应用课件

线性代数实验教学团队实验四

方阵对角化与

MATLAB在微积分中的应用4.1特征值与特征向量4.1.1实验目的1.掌握MATLAB软件线性变换的几何含义；2.掌握MATLAB软件求解特征值和特征向量的方法。4.1.3实验内容例4.1.1求3阶方阵A的特征多项式，并求特征值。

解：方法一：>>A=[111213;141516;171819];%输入矩阵A>>PA=poly(A) %A的特征多项式PA=1.0000-45.0000-18.0000-0.0000>>v=roots(PA)%求特征多项式零点，即特征值v=45.3965-0.39650.0000方法二：>>A=[111213;141516;171819];>>eig(A)ans=45.3965-0.39650.0000附录程序1.绘制向量程序：

%绘制二维向量函数functiondrawvec(u)plot([0;u(1)],[0;u(2)]);%画向量线段holdontheta=acos(u(1)/norm(u));%计算夹角if(u(2)<0)theta=2*pi-theta;%当向量在第四象限endfill([u(1)-0.5*cos(theta+pi/12),u(1),u(1)-0.5*cos(theta-pi/12)],[u(2)-0.5*sin(theta+pi/12),u(2),u(2)-0.5*sin(theta-pi/12)],'black');%用线段填充holdoff2．线性变换程序：

%线性变换的几何含义x=[2;1];A1=[-1,0;0,1];A2=[1,0;0,-1];A3=[0.5,0;0,2];A4=[cos(pi/2),sin(pi/2);-sin(pi/2),cos(pi/2)];y1=A1*x;y2=A2*x;y3=A3*x;y4=A4*x;subplot(2,2,1);drawvec(x);holdon;drawvec(y1);axisequal;axis([-3,3,-2,2]);text(x(1),x(2)+0.5,'x');text(y1(1),y1(2)+0.5,'y_1');title('y_1=A_1x');gridon;subplot(2,2,2);drawvec(x);holdon;drawvec(y2);axisequal;axis([-3,3,-2,2]);text(x(1),x(2)+0.5,'x');text(y2(1),y2(2)+0.5,'y_2');title('y_2=A_2x');gridon;subplot(2,2,3);drawvec(x);holdon;drawvec(y3);axisequal;axis([-3,3,-2,2]);text(x(1),x(2)+0.5,'x');text(y3(1)-1,y3(2)-0.2,'y_3');title('y_3=A_3x');gridon;subplot(2,2,4);drawvec(x);holdon;drawvec(y4);axisequal;axis([-3,3,-2,2]);text(x(1),x(2)+0.5,'x');text(y4(1),y4(2)+0.5,'y_4');title('y_4=A_4x');gridon;>>d=det(B);%计算B行列式

d=k^2-k+3/16>>v=solve(d)%求特征多项式的根v=[1/4][3/4]>>lamdal=eval(v)%化符号解为数值解lamdal=0.25000.7500方法二：用MATLAB命令：>>A=[0.50.25;0.250.5];%输入矩阵A>>[Q,d]=eig(A)%求矩阵A的特征值与特征向量Q=-0.70710.70710.70710.7071d=%注意在对角线上的值才是特征值0.2500000.7500>>A*Q(:,1)%验证Ax=kx

ans=-0.17680.1768>>0.25*Q(:,1)ans=-0.17680.17684.3方阵正交对角化4.3.1实验目的1.掌握MATLAB软件方阵正交化的方法；2.通过MATLAB软件进一步理解方阵对角化意义。4.3.2实验指导下表给出与本次实验相关的MATLAB命令为了能够更好的求得矩阵的n次幂，需要对方阵进行对角化处理。命令功能disp(‘suhuh’)显示单引号中的字符串[P,D]=eig(A)矩阵D为矩阵A的特征值所构成的对角阵，矩阵P的列为矩阵A的单位特征向量，它与D中的特征值一一对应4.3.3实验内容例4.3.2化方阵为对角阵。解：>>a=[22-2;25-4;-2-45];%输入矩阵A>>[p,v]=eig(a)%求特征值与特征向量p=-0.29810.89440.3333-0.5963-0.44720.6667-0.74540-0.6667v=1.00000001.000000010.00004.3.2实验指导下表给出与本次实验相关的MATLAB命令命令功能taylor(f,n,x,a)将f进行泰勒展开symsx定义x为符号变量int（s,v）以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分int(s,v,a,b)求定积分4.4.1实验内容泰勒多项式逼近6422464224O泰勒多项式逼近642246O4224例4.4.1将分别展开为x和x-1的幂级数.解：计算关于x展式的前8项(展开至x7)>>

syms

x

>>

f=x/sqrt(1+x^2);

>>

taylor(f,8)

ans

=

-

(5*x^7)/16

+

(3*x^5)/8

-

x^3/2

+

x

>>

ezplot('sin(x)');

>>

hold

on

>>

ezplot('x');

>>

hold

on

>>

ezplot('x

-

x^3/6');

>>

hold

on

>>

ezplot('x^9/362880

-

x^7/5040

+

x^5/120

-…x^3/6

+

x');

>>

hold

on

>>

ezplot('-

x^11/39916800

+

x^9/362880

-…x^7/5040

+

x^5/120

-

x^3/6

+

x');

>>

grid

on4.4.2实验内容符号积分符号积分由函数int来实现.该函数的一般调用格式为:int(s)：没有指定积分变量时，系统按最接近x的变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。例4.4.2

已知，求的积分.>>symsabcx

>>f=sym('a*x^2+b*x+c')

f=

a*x^2+b*x+c

>>int(f)

ans=

(a*x^3)/3+(b*x^2)/2+c*x

解：>>int(f,x,0,2)

ans=(8*a)/3+2*b+2*c

>>int(f,a)

ans=a*(c+b*x)+(a^2*x^2)/2

>>int(int(f,a),x)

ans=(a*x*(a*x^2+3*b*x+6*c))/6

如何写作业（四步骤)一、下载作业模板二、把word更名为学号姓名第一次作业，如，2011104103张三第一次