初中数学人教版八年级上册全等三角形1角的平分线的性质 全国一等奖

13.3.2角平分线的性质（2）教学目标： 1、知识与技能（1）能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。（2）通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。2、过程与方法（1）通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。（2）通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步提高分析问题，解决问题的技巧。3、情感态度与价值观（1）在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。（2）通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般的思想。重点难点：重点：（1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。难点：三角形三条角平分线位置关系定理的证明。创设情景、引发探究问题:在∆ABC中，∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I，如图所示，I在∠C的平分线上吗？由I是∠CAB和∠CBA的平分线的交点可知，点I既在∠CAB的平分线上，又在∠ABC的平分线上，又由角平分线的性质可知I到AB、BC、AC的距离相等，从而构造出全等三角形，推证∠ACI=∠BCI过点I分别作AB、BC、CA的垂线，结合角平分线的性质，推证两个三角形全等。三角形两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，且该交点必在第三个角的平分线上。1、角平分线的判定的应用例1、如图所示，AB∥CD，∠B=90º，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。证明：过E作EF⊥AD于E∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥FD∴CE=EF又CE=BF∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB∴E在∠DAB的平分线上即AE平分∠DAB例2、还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在∆ABC中，分别以AC、BC为边，向外作正∆ACD、正∆BCE，BD与AE相交于M，求证：AE=BD。这是在全等三角形中一道常见的习题，你知道吗，在这个结论的基础上还能证明MC平分∠DME，你想试一试吗？2、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。（1）该结论的证明提示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上。（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及实际问题的作图题。[例3]“角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”。如图所示：①若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD=CD，②若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？思路导引解此题时受思维定势的影响容易这样想：修建点到AB、BC、CA的距离相等，则该点就应是∆ABC的三个内角的平分线的交点，其实在∆ABC的外部也存在满足条件的点解：如图所示，（1）作出∆ABC两内角的平分线，其交点为P；（2）分别作出∆ABC两外角平分线，其交点分别为D，E，F故满足条件的修建点有四处，即P，D，E，F。随堂练习4、如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。5、如图所示，在∆ABC中，AB=7，BC=24，AC=25。（1）∆ABC内是否存在一点P到各边的距离相等。如果有，请作这一点，并说明理由。（2）求这个距离解：（1）存在这样的点P为∠A、∠B的平分线的交点。（2）这个距离为3归纳提练1、定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。2、这个定理在实际生活和生产中有十分广泛的应用。3、这个定理证明的方法采用间接证法、证明的根据是角平分线的性质和判定定