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文档简介

2023高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.2.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年3.已知函数的导函数为,记,,…,N.若,则()A. B. C. D.4.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.5.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为()A.13 B.16.已知命题:“关于的方程有实根”,若为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()A. B. C. D.8.在三角形中,,,求()A. B. C. D.9.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.134 B.67 C.182 D.10810.在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的范围是()A. B.C. D.11.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()A.16 B.17 C.18 D.1912.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关,初行健步不为难,次后脚痛递减半,六朝才得到其关,要见每朝行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走了378里路,第一天健步走行,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则_______,项的系数等于________.14.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为40,则+的最小值为_____.15.已知函数为偶函数,则_____.16.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点,直线与抛物线交于不同两点、,直线、与抛物线的另一交点分别为两点、,连接,点关于直线的对称点为点,连接、.(1)证明:;(2)若的面积,求的取值范围.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系.(1)设直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C交于两点A.B,求AB的长;(2)设M、N是曲线C上的两点,若,求面积的最大值.19.(12分)已知函数,当时,有极大值3;(1)求,的值;(2)求函数的极小值及单调区间.20.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?21.(12分)已知函数(1)当时,若恒成立,求的最大值;(2)记的解集为集合A,若,求实数的取值范围.22.(10分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.2.D【解析】

先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.3.D【解析】

通过计算,可得,最后计算可得结果.【详解】由题可知:所以所以猜想可知:由所以所以故选:D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用,选择题、填空题可以使用取特殊值,归纳猜想等方法的使用,属中档题.4.A【解析】

将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.5.C【解析】

每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选:C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.6.B【解析】命题p:,为,又为真命题的充分不必要条件为,故7.B【解析】

根据两个函数相等,求出所有交点的横坐标,然后求和即可.【详解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.8.A【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【详解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故选:A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.9.B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,

则小正方形的边长为,小正方形的面积,

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,

故选:B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.10.D【解析】试题分析:由已知可得有两个不等实根.考点:1、余弦定理;2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理,函数的极值,涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根,从而可得.11.B【解析】

由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,代入四个选项进行验证即可.【详解】解:由程序框图可知,输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.若输出,则不符合题意,排除;若输出,则,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多,或有规律时,常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.12.C【解析】

设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得,求出(里,由此能求出该人第四天走的路程.【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得:,解得(里,(里.故选:C.【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法,考查等比数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.81【解析】

根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.【详解】由于所有项的二项式系数之和为,,故的二项展开式的通项公式为,令,求得,可得含x项的系数等于,故答案为:8;1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.14.【解析】不等式表示的平面区域阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而当且仅当时取等号,则的最小值为.15.【解析】

根据偶函数的定义列方程,化简求得的值.【详解】由于为偶函数,所以,即,即,即,即,即,即,即,所以.故答案为:【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数,考查运算求解能力,属于中档题.16.【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可,在中,利用即可得到关于x的方程,解方程即可解决.【详解】由已知,,解得,如图所示,设底面等边三角形中心为,直三棱柱的棱长为x,则,,故,即,解得,故三棱柱的侧面积为.故答案为:.【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题,考查学生的空间想象能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(2).【解析】

(1)设点、,求出直线、的方程,与抛物线的方程联立,求出点、的坐标,利用直线、的斜率相等证明出;(2)设点到直线、的距离分别为、,求出,利用相似得出,可得出的边上的高,并利用弦长公式计算出,即可得出关于的表达式,结合不等式可解出实数的取值范围.【详解】(1)设点、,则,直线的方程为:,由,消去并整理得,由韦达定理可知,,,代入直线的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)设点到直线、的距离分别为、,则,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韦达定理得,,,得,设点到直线的高为,则,,,,解得,因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与直线平行的证明,考查实数的取值范围的求法,考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是难题.18.(1);(2)1.【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(2),,由(1)通过计算得到,即最大值为1.【详解】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为,即;再将,,代入上式,得,故曲线C的极坐标方程为,显然直线l与曲线C相交的两点中,必有一个为原点O,不妨设O与A重合,即.(2)不妨设,,则面积为当,即取时,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,三角形面积的最值问题,是一道容易题.19.(1);(2)极小值为,递减区间为:,递增区间为.【解析】

(1)由题意得到关于实数的方程组,求解方程组,即可求得的值;(2)结合(1)中的值得出函数的解析式,即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】(1)由题意,函数,则,由当时,有极大值,则,解得.(2)由(1)可得函数的解析式为,则,令,即,解得,令,即,解得或,所以函数的单调减区间为,递增区间为,当时,函数取得极小值,极小值为.当时,有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念,以及利用导数求解函数的单调区间和极值,其中解答中熟记函数的极值的概念,以及函数的导数与原函数的关系,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20.(1)降低(2)【解析】

(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率为;不进行处罚,行人闯红灯的概率为;所以当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低;(2)由题可知,闯红灯的市民有80人,类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人,4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为,类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为,,,,,,,,,,,,共有种前两位均为类市民排序为,,有种,所以前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.21.(1);(2)【解析】

(1)当时,由题意得到,令,分类讨

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