广东省汕头市莲阳中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

广东省汕头市莲阳中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列{na＋b}中，a,b为常数,a>0，该数列前n项和为Sn，那么当n≥2时有（

）A．Sn≥n(a＋b)

B．Sn≤an2＋bnC．an2＋bn<Sn<n(a＋b)

D．n(a＋b)<Sn<an2＋bn参考答案：D2.已知集合，，则A∪B=（

）A.[－2,3] B.[－2,0] C.[0,3] D.[－3,3]参考答案：A【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用并集的定义求解即可.【详解】,,,故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.3.若实数x,y满足条件，目标函数z=x+y,则

(

)

A.zmax=0 B.zmax=

C.zmin= D.zmax=3参考答案：D做出可行域，由图象可知当目标函数经过直线的交点时，目标函数最大，此时交点为，最大值为3.当经过时，目标函数最小，最小为1，所以答案选D.4.已知函数的零点分别为，则的大小关系是A．

B．

C．

D．不能确定参考答案：A5.下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．【点评】本题考查了向量问题，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．6.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（

）A. B. C. D.参考答案：B对于A，为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意；对于C，在上单调递减，不符合题意；对于D，在上单调递减，不符合题意；故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7.设函数是定义在R上的偶函数，为其导函数．当时，，且，则不等式的解集为（

）A．

B．C．

D．参考答案：B8.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有(▲)．(A)60个

(B)48个

(C)36个

(D)24个参考答案：B9.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图,其俯视图是面积为8的矩形,则该几何体的表面积是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16参考答案：10.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条

C．有无穷多条

D．不存在参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列的值为

．参考答案：312.已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，，若四面体P-ABC的体积为，则该球的表面积为_________．参考答案：13.若集合有且只有一个元素,则实数的取值集合是___________;参考答案：或

当a=0时，A={－1}；当a≠0时，若集合A中只有一个元素，由一元二次方程判别式△=1－4a=0，解得a=，综上，当a=0或a=时，集合A只有一个元素，故答案是或.

14.用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=的第二步中，当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于

.参考答案：3k+215.已知函数，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略16.对任意的a、b、cR+，代数式的最小值为__________.

参考答案：17.函数的值域是_________.参考答案：(0,+∞)【分析】先求得函数的定义域,再由可求得函数的值域.【详解】函数的定义域为,又,故函数的值域是.故答案为:.【点睛】(且,).三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，并得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）M是棱CD的中点，过M的与平面ABC平行的平面α，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S1，三角形ABC的面积为S2，试求S1：S2的值．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A﹣BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比．【解答】解：（1）∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，∴AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BC，又∵CD⊥BC，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ACD，又∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD（2）∵平面α∥平面ABC，设平面ACD与平面α的交线为MQ，∴MQ∥AC，又∵M是CD的中点，∴Q是AD的中点；同理：设平面BCDE与平面α的交线为MN，∴MN∥BC，又∵M是CD的中点，∴N为BE的中点；同理：平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A﹣BCDE各个面的交线所围成多边形是图中的四边形MNPQ，由于PQ∥DE，DE∥MN，故PQ∥MN，根据（1）BC⊥AC，由MN∥BC，MQ∥AC，故MQ⊥MN，即四边形MNPQ′是直角梯形．设CM=a，则MQ=a，MN=3a，PQ=a，BC=4a，AC=2a，故四边形MNPQ的面积是=，三角形ABC的面积是=4a2，故平面α与四棱锥A﹣BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比为1：2．19.（本小题满分13分）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：组距频数频率[100，102)170.17[102，104)180.18[104，106)240.24[106，108)[108，110)60.06[110，112)30.03合计1001⑴求上表中、的值；⑵估计该基地榕树树苗平均高度；⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有株，求的分布列和期望．参考答案：（1）；（2）；（3）的分布列为0123

的期望试题分析：（1）在表格中可知，频数之和为100，频率之和为1，因此易求得；（2）求平均高度，一般中区间的中值乘以区间的频数相加再除以总数100，即得；（3）在区间[110，112)上只有3棵，因此的可能取值分别为，就是从9棵树苗中任意选取5棵，恰好有棵在区间[110，112)上的概率，这属于古典概型，，最后可利用数学期望公式求得的期望.试题解析：⑴，……2分⑵估计该基地榕树树苗平均高度为()……6分（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此的所有可能取值为0，1，2，3……7分，，，……11分0123的分布列为

……12分

的期望为……13分（列式正确1分）考点：频率颁布表，随机变量颁布列，数学期望.20.（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．参考答案：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.

……………（3分）众数的估计值为75分

……………（5分）所以，估计这次考试的平均分是72分．

……………（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率

……………（8分）随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有．∴∴变量的分布列为：0123P

…………（10分）

…………（12分）

解法二.随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布,即………（10分）

…………（12分）21.设函数．（1）求的单调区间；（2）求所有实数，使对恒成立.注：为自然对数的底数参考答案：解：（1）∵，．

∴函数的定义域为，

∴由于，

即的增区间为，减区间为.（2）由题意得，即

由（1）知在内单调递增，要使在上恒成立只要解得

略22.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢游泳不喜欢游泳合计男生

10

女生20

合计

已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳