高中数学知识点总结及典型例题

文歆教育

一、函数

1、函数概念与基本初等函数

一、知识导学

1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)

2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x).

其中所有的输入值x组成的集合A称为函数yf(x)定义域.

对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.

3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x↔A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x↔A)的反函数，记作x=f-1(y).我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

二、疑难知识导析

1.对映射概念的认识

(1)与是不同的，即

与

上有序的.或者说：映射是有方向的，

(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识

（1）对函数符号f(x)的理解知道y=f(x)与f(x)的含义是一样的，它们都表示

是的函数，其中是自变量，f(x)是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.

(2)注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；

（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

3.对反函数概念的认识

（1）函数y=f(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.

（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.

三、经典例题导讲

[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；

（2）从M到N的映射满足f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数.解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有a0a2a2a2一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个,b2,b2,b0,b0,

f2(x[例2]已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数的定义域c2cc1)2c0正解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0x1∴f(x1)满足0x11

1x0，∴f(x1)的定义域是[－1，0]

[例3]已知：xN,f(x)*x5

f(x2)(x6)，求f(3).(x6)

1

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正解：∵f(x)x5

f(x2)(x6)，(x6)

∴f(3)＝f(32)f(5)＝f(52)f(7)＝7-5＝2

[例4]已知f(x)的反函数是f1(x)，如果f(x)与f1(x)的图像有交点，那么交点必在直线yx上，判断此命题是否正确？

错解：正确

错因：对互为反函数的图像关于直线yx对称这一性质理解不深，比如函数

11111（不在直线yx上，由此可以y()x与ylog1x的图像的交点中，点(,),24421616

说明“两互为反函数图像的交点必在直线yx上”是不正确的.

[例5]求函数yf(x)x24x6，x[1,5)的值域.

解：配方，得yf(x)x24x6(x2)22

∵x[1,5)，对称轴是x2∴当x2时，函数取最小值为f(2)2，

f(x)f(5)11f(x)的值域是211，

[例6]根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知f(x)是二次函数，若f(0)0,f(x1)f(x)x1，求f(x).

（2

）已知f1)xf(x)

（3）若f(x)满足f(x)2f()ax,求f(x)121x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解xx2设f(x)＝axbxc(a0)由于f(0)0得f(x2)ax2bx，

又由f(x1)f(x)x1，∴a(x1)2b(x1)ax2bxx1

即ax(2ab)xabax(b1)x1222abb1a0

ab1ab1因此：f(x)＝2

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设u1(x0),u1(u1)

（3）由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解f(u)(u1)22(u1)u212∴f(x)＝x1（x1）(u1)

111代x可得：f()2f(x)a,xxx1与f(x)2f()axx12aax联列可消去f()得：f(x)＝.x3x3

点评：求函数解析式（1）若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g(x)]用表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.

2222[例7]已知3x2y6x，试求xy的最大值

.

2

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分析：要求x2y2的最大值，由已知条件很快将x2y2变为一元二次函数

19f(x)(x3)2,然后求极值点的x值，联系到y20，这一条件，既快又准地求22

出最大值.

解由3x22y26x得

3y2x23x.23y20,x23x0,0x2.2

3219x3x(x3)2,222

19当x2时，x2y2有最大值，最大值为(23)24.22又xyx222

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

32x3x,2

319x2y2x2x23x(x3)2,222

9当x3时，x2y2取最大值，最大值为22这种解法由于忽略了y0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能22由3x2y6x得y2

从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..

2、函数的性质

1.函数的单调性：

（1）增函数：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

（2）减函数：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的奇偶性：

（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.

3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.

二、疑难知识导析

1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数

3

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在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.

2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域∴f(x)是奇函数

2[例5]已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x－3)<0,

求x的取值范围.方法二：∵f(x)f(x)log(x

正解：由0x6,故0<x<6,得23x33x63x33

22又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x－3)=f(3－x),又f(x(－3，3)

22∴x－3>3－x,即x+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},

3、基本初等函数

一、知识导学

1.二次函数的概念、图像和性质.2（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式f(x)axbxc2二次函数的顶点式f(x)a(xm)n(a0)和

二次函数的坐标式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

(a0)4

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（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根

的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.

①f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时图像与x轴有两个交点.

M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|x1-x2

.②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点

处取得.

2.指数函数yax(a0,a1)和对数函数ylogax(a0,a1)的概念和性质.

（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：mnmn①aaa；②(am)namn；③(ab)nanbn（这时m,n是有理数）

对数的概念及其运算性质、换底公式.

loga(MN)logaMlogaN;

logaMnnlogaM;logaMlogaM

logaNNlogalogcb1logaM；logabnlogca

（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.

①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0<a<1

时，图像越接近y轴，底数a越小.

②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.

③当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大;当0<a<1时，图像越接近x轴，底数a越小.

3.幂函数yx的概念、图像和性质.

结合函数y=x,y=x,y=x,y=yx,yx,y=x的图像，了解它们的变化情况.

①＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；

注意＞1与0<＜1的图像与性质的区别.

②＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限31212奇偶奇时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当奇奇偶

时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.

三、经典例题导讲

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[例1]已知log189a,18b5,求log3645

正解：∵18b5,∴log185b

∴log3645log1845log185log189log1836log184log189bababa182182alog18()a2log18()a99

[例2]分析方程f(x)ax2bxc0（a0）的两个根都大于1的充要条件.

f(1)0b正解：充要条件是1

2a

2b4ac0

[例3]求函数y36x126x5的单调区间.xx正解：令6t，则t6为增函数，y36x126x5＝t212t5＝(t6)241

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，

当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

∴函数y36x126x5的单调递减区间是(,1]，单调递增区间为[1,)

[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是正解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0

∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知

ylogau应为增函数，∴a＞1

又由于x在[0，1]上时yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，u2ax取最小值是umin2a＞0即可，∴a＜2

综上可知所求的取值范围是1＜a＜2

[例5]已知函数f(x)loga(3ax).

（1）当x[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.

（2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

分析：函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.

解：（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a0,a1

显然，函数g(x)=3ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a＞0得到a＜32

3）2

(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1

33∴a＝此时f(x)loga(3x)22

当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.∴a的取值范围是（0，1）∪（1，

点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.

4、函数与方程

一、知识导学

1.函数的零点与方程的根的关系：

一般地，对于函数yf(x)（xD）我们称方程f(x)0的实数根x也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数yf(x)g(x)的零点.

2.函数的图像与方程的根的关系：

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一般地，函数yf(x)（xD）的图像与x轴交点的横坐标就是f(x)0的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标.

3.判断一个函数是否有零点的方法：

如果函数yf(x)在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数c(a,b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助

或者把f(x)写成g(x)h(x)，然后借助yg(x)、yh(x)yf(x)图像判断解的个数，

的图像的交点去判断函数f(x)的零点情况.

4.二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：2二次函数yax2bxc的零点，就是二次方程axbxc0的根，也是二次函数yax2bxc的图像与x轴交点的横坐标.

5.二分法：

对于区间[a,b]上的连续不断，且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

二、疑难知识导析

1.关于函数yf(x)g(x)的零点，就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是yf(x)与函数yg(x)图像的交点的横坐标.要深刻理解，解题中灵活运用.

2.如果二次函数yf(x)ax2bxc，在闭区间[m,n]上满足f(m)f(n)0，那么方2程axbxc0在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的x1(m,n)，使f(x1)0，20c0另一解x2(,m)(n,).方程axbx2bxc0的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方3.二次方程ax2bc0的根都在区间(m,n)时ax程f(x)＝mn应满足：2a4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是f(m)0a,b）使f(a)f(b)0（1）取一个区间（

（2）取区间的中点，x0ab2

（3）计算f(x0)，①若f(x0)0，则x0就是f(x)0的解，计算终止；②若f(a)f(x0)0，则解位于区间（a,x0）中，令a1a,b1x0；若f(x0)f(b)0则解位于区间（x0,b）令a1x0,b1b

ab（4）取区间是（a1,b1）的中点，x111重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解2

总位于区间（an,bn）内

（5）当an,bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.

三、经典例题导讲

[例1]已知函数f(x)x2ax3a若x[2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.正解：设f(x)的最小值为g(a)

（1）当f(n)07a2即a＞4时，g(a)＝f(2)＝7－3a≥0，得a故此时a不存在；32

aa2

(2)当[2,2]即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，得－6≤a≤224

又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；

（3）

故－7≤a＜－4

综上，得－7≤a≤22[例2]已知mxx10有且只有一根在区间（0,1）内，求m的取值范围.2解：设f(x)mxx1，（1）当m＝0时方程的根为－1，不满足条件.

a2即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－427

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（2）当m≠0∵mxx10有且只有一根在区间（0,1）方法二：方程axkxb的根即为二次函数yax2与一

次函数ykxb的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分

别为P（1，1），Q（－2，4），2∴方程axkxb的解为x1＝－2，x2＝1.

[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程

x2+（2k－3）x－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

解：令f(x)x2(2k3)x(3k1)那么由条件得到1<1得m不存在2m

4k250(2k3)4(3k1)0k1f(0)13k03即此不等式无解f(2)42(2k3)(3k1)0即k1302k327k2222

即不存在满足条件的k值.

[例5]已知二次函数f(x)ax2bxc对于x1、x2R，且x1＜x2时

1f(x1)f(x2)，求证：方程f(x)＝[f(x1)f(x2)]有不等实根，且必有一根属于区间2

（x1，x2）.

1解：设F（x）＝f(x)－[f(x1)f(x2)]，2

1则方程f(x)＝[f(x1)f(x2)]①2

与方程F（x）＝0②等价

11∵F（x1）＝f(x1)－[f(x1)f(x2)]＝[f(x1)f(x2)]22

11F（x2）＝f(x2)－[f(x1)f(x2)]＝[f(x1)f(x2)]22

12∴F（x1）²F（x2）＝－[f(x1)f(x2)]，又f(x1)f(x2)4

∴F（x1）²F（x2）＜

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故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

点评：本题由于方程是f(x)＝[f(x1)f(x2)]，其中因为有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F（x）＝f(x)－[f(x1)f(x2)]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.函数的综合运用(因今年高考对此不作要求，故略）

1212

二、三角函数

1任意角三角函数

一、知识导学

1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.l2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中l是以作为圆心角时所对圆弧r的长，r为圆的半径.零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

18010.1745rad；3．弧度与角度的换算：3602rad；1rad57.30.180

用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度

4．弧长公式、扇形面积公式：l不可省略.r,S扇形＝lr121||r2,其中l为弧长，r为圆的半2

径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形.

5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是x,y，它与原点的距离是r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是sinyxyxrr,cos,tan,cot,sec,csc.这六个函数统称rrxyxy

为三角函数.

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示（各象限注明的函数为正，其余为负值）

可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.

二、疑难知识导析

1．在直角坐标系）

①.sinAsinC②.cotAcotC③.tanAtanC④.cosAcosC

A．1B.2C.3D.4

正解：法1AC在ABC中，在大角对大边，ca,sinCsinA

法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.

[例2]已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为.正解：∵,角的终边关于y轴对称

∴

2

2k,(kZ)即2k,(kz)

说明：（1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为2k,(kZ)

（2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为(2k1),(kZ)

（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为k,(kZ)

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34,cos，试确定的象限.2525

34正解：∵sin0,cos0，∴是第二象限角，22525[例3]已知sin

又由sin

233232k,kz知2ksin42524

34k2,kz，故是第四象限角.2

[例4]已知角的终边经过P(4a,3a)(a0)，求sin,cos,tan,cot的值.4k

正解：若a0，则r5a，且角在第二象限

3a34a43a34a4,cos,tan,cot5a55a54a43a3

若a0，则r5a，且角在第四象限

3a34a43a34a4sin,cos,tan,cot5a55a54a43a3sin

说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；

（2）本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论.

[例5]一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的半径为1rcm，则扇形的弧长2l(202r)cm扇形的面积S(202r)r(rl5)252所以当r5cm时，即l10cm,2时Smax25cm2.r点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.

[例6]已知是第三象限角，化简1sinsin。1sin1sin

(1sin)2(1sin)21sin1sin2sin解：原式＝＝coscos1sin21sin2

又是第三象限角，cos0所以，原式＝2sin2tan。cos

点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.

一、知识导学

1．同角三角函数的基本关系式2、三角函数基本关系式与诱导公式

sin；倒数关系：tancot1cossin2cos21；平方关系：商数关系：tan

同角三角函数的基本关系式可用图表示

（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；

（2）对角为倒数关系；

（3）每个三角函数为相邻两函数的积.

11

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诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.3．诱导公式解决常见题型

（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；

（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.二、疑难知识导析

1．三角变换的常见技巧

“1”的代换；sincos，sincos，sincos三个式子，据方程思想

22

知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式sincos1）；

2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；

3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲[例1]已知sincos正解：sincos

1

，（0，），则cot__________5

1

，（0，），5

121

0与sincos联立，两边同时平方，有sincos255

433cos，求出sin，∴cot554

[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值

sinAasinB①

正解：由①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1

cosAbcosB②

a211b21b22

∴cosB=2∴sinB=2∴tan2B=2

a1ab2ab2

2

1b2

∵B为锐角∴tanB=

a21

12

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a①a1b2

得tanA=tanB=2b②ba1

[例3]（高考重庆卷）若函数f(x)1cos2x

4sin(x)2xxasincos()的最大值为2，试确22

定常数a的值.

2cos2xxx解:f(x)asincos4cosx22

1acosxsinx22

1a21sin(x),其中角满足sin244a

1a2

由已知有4.44

解之得,a.

点评：本试题将三角函数“

2,”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基

础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.

[例5]化简：sin(4n14n1)cos()44(nz)正解：原式sin[n(

4

（1）当n2k1(kz)，时原式sin[2k()]cos[n(4)]

4)]+cos[2k(

4)]

)=04

（2）当n2k(kz)，时原式sin[2k(sin(4)cos()cos(4)cos(4

4)]+cos[2k(

4)]

sin(

4)]+cos(

4)=0

2[例9]求函数y的定义域.16xinx

解：由题意有

2kx2k4x4(*)

2x当k时，；1x当k0时，0；x3当k时，21

函数的定义域是[4，][0，]

13

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点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.

3、三角函数的恒等变换

一、知识导学

1.两角和、差、倍、半公式

（1）两角和与差的三角函数公式

sin()sinsincossin

cos()coscossinsin

tan()tantan1tantan

（2）二倍角公式

sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin

tan2

22tan1tan2（3）半角公式1cos1cos1cos22，cos，tan222221cos

sin1costan21cossinsin

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：

（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.

二、疑难知识导析

1．两角和与差的三角函数公式的)

52A．B．C．或D．或636363

14

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正解：Ann[例2]若s，则对任意实数n的取值为（）incos1，sincos

A.1B.区间（0，1）C.1

2n1D.不能确定

错解：C

错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与n无关呢？其实这是我们忽略了一个隐22含条件s，导致了错选为C或D.incos1

正解：解法一设点(sin，cos)，则此点满足

sin0sin1xy1x0x1nn2解得或即sincos1或2y1y0cos1cos0xy1

选Ann解法二：用赋值法，令s同样有sincos1in0，cos1选A

1[例3]化简sin2sin2cos2cos2cos2cos22

分析：对三角函数式化简的目标是：

（1）次数尽可能低；

（2）角尽可能少；

（3）三角函数名称尽可能统一；

（4）项数尽可能少.

观察欲化简的式子发现：

（1）次数为2（有降次的可能）；

（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；

（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；

（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解法一：（复角→单角，从“角”入手）

原式sinsincoscos

1(2cos21)(2cos21)2222212222sinsincosc(4coscos2cos2cos1)22222221sinsincoscoscoscos2122222sinsincossincos212sincos2111222222解法二：（从“名”入手，异名化同名）

22221原式sinsin(s1in)coscos2cos22

12222cossin(cossincos2cos22

122cossincos2cos2cos22

122coscos2(sincos2)215

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1cos2212cos2sin(12sin)22

1cos211cos2222

解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

1cos21cos21cos21cos21cos22cos22222

11(1cos2coscoscos(1cos2cos222coscos)44

1cos2cos22

111442

解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

2原式(sinsincoscos)s2insincoscos2cos2

cos(sins2in2cos2cos2

cos()cos(22)2212

211221

22cos()2cos()1

1212

点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.

4、三角函数的图像与性质

一、知识导学

1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点P，过点P做PMx轴于M，过点A(1,0)做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段MP,OM,AP分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.

2.三角函数的图像

（1）ysinx,ycosx,ytanx,ycotx四种图像

（2）函数yAsin(x)的图像

①“五点作图法”

②图像变化规律

3.三角函数的定义域、值域及周期

4.三角函数的奇偶性和单调性

二、疑难知识导析

1.yAsin(x)+B(A0,0)中，A,B,及，对正弦函数ysinx图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.

如：ysin2x向右平移个单位，应得ysin2(x)，而不是ysin(2x)666

16

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2.用“五点法”作yAsin(x)(A0,0)图时，将x看作整体，取0,

2

，

3

,2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.2

3.ysinx,ycosx,yAsin(x)的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而ytanx图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中yAsin(x)(A0,0)的各个参数.

,

4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.

5.求的值域是常见题型.一类是yasinxbcosx型，这要变形成

22

yabsin(x)；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.

6.yAsin(x)(A0,0)单调性的确定，基本方法是将x看作整体，如求增区间可由2k

2

x2k

2

(kz)解出x的范围.若x的系数为负

数，通常先通过诱导公式处理.

7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.

三、典型例题导讲

[例1]为了得到函数ysin2x

的图像，可以将函数ycos2x的图像（）6

A向右平移

B向右平移C向左平移D向左平移6363

),其中以点(,0)为中心对44

D．4

[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+称的三角函数有（）个.

A．1B．2C．3错解：B

错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.正解：D

[例8]已知定义在区间[,]上的函数yf(x)的图像关于直线

23

x

6

对称，当x[

2

函数f(,]时，)

，

63其图像如图所示.

（1）求函数yf(x)在[,]2

3

2

（2）求方程f(x)的解.

2

x

解：（1）当x[6,3]时，函数f(x)A22，观察

图像易得：A1,1,3，即时，函数f(x)sin(x3)，

由函数yf(x)的图像关于直线x6对称得，x[,6]时，

17

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sin(x3)

函数f(x)sinx.∴f(x)sinx]x[,63

x[,)6.

22（2）当x[,]时，由sin(x3)2得，

x或3x或x5；3441212

当x[,6]时，由sinx

2∴方程f(x)2的解集为{42x2得，或x44.,},,41212

5、解三角形及三角函数的应用

一、知识导学

1.解三角形的的常用定理:

(1)(SabsinCbcsinAacsinB)222222(3)余弦定理:ab2abcosCc及其变形.(2)正弦定理:

(4)勾股定理:RtABC中abc

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.

三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.

（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

二、疑难知识导析

1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可

求出其他量.

2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.

3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.

三、经典例题导讲2[例1]已知方程x4ax3a10（a为大于1的常数）的两根为tan，tan，且、222,，则tan的值是_________________.222

，QB1,设△APB与[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中AB

△PQB面积为S、T，求S2+T2的取值范围.л解：设∠BAP=αα↔[0,]2∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中

由余弦定理cosβ=cosα-1

18

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∴S+T＝(22122sinα)+(sinβ)22

＝－1273(cos－)+2823

22∴当cosα=1时，S+T有最小值234

78当cosα=1

2时，S+T有最大值22[例7]已知函数f(x)=sin(x+)，xR，(其中>0)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又f(2+x)=f(2－x),f(0)<0,求这个函数的解析式.

解：f(2+x)=f(2-x)

f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）

[例8]已知△ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列，求

（1S

（2.解设BC,CA,AB依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，T2=6-2=4，即T=16，=.4T83将N（6,0）代入f(x)=sin(x+)得：sin(+)=0，845得：=2k+或=2k+(kZ),4455(kZ),满足条件的最小正数=,f(0)<0,=2k+445).所求解析式f(x)=sin(x+84

a2c2b2a2c2ac2acac1

,由余弦定理得cosB2ac2ac2ac2

ac6b,从而0b

2223

11212（1）所以SacsinB

bsinB2sinSmax2223故有0B，又ba2c2b2(ac)22acb2

（2）所以accosB22

(6b)23b2

(b3)2272

0b2,218，

19

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三、数列

1、数列的概念与简单表示法

⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，„，第n项，„.

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或简记为an，其中an是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“1”3是这个数列的第“3下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

1111项12345

↓↓↓↓↓

序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an1来表示其对应关系n

即：只要依次用1，2，3„代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项

结合上述其他例子，练习找其对应关系

⒋数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，„它的通项公式n11(1)n1

|.可以是an，也可以是an|cos22

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

5.数列与函数的关系

*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，„，n}）为定义域的函数anf(n)，

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4„）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)„，f(n)，„

6．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6„是无穷数列

2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

20

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常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)3,5,9,17,33,„„；(2)246810,,,,,„„；315356399

(3)0,1,0,1,0,1,„„；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,„„；

(5)2,－6,12,－20,30,－42,„„.

2n1(1)n

解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；2(2n1)(2n1)

(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,„„,

1(1)n

∴an＝n＋；2

(5)将数列变形为1³2,－2³3,3³4,－4³5,5³6,„„，n1∴an＝(－1)n(n＋1)

数列的表示方法

1、通项公式法

如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列

的通项公式为

；

的通项公式为

；

的通项公式为

；

2、图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐

标为正整数，所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

3、递推公式法

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．

模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：14＝1+3

第2层钢管数为5；即：25＝2+3

第3层钢管数为6；即：36＝3+3

第4层钢管数为7；即：47＝

4+3

21

文歆教育

第5层钢管数为8；即：58＝5+3

第6层钢管数为9；即：69＝6+3

第7层钢管数为10；即：710＝7+3

若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且ann3(1

≤n≤7）

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）

模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即a14；a2541a11；a3651a21

依此类推：anan11（2≤n≤7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：

递推公式：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

递推公式为：a13,a25,anan1an2(3n8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

示第一项，用

4、列表法

．简记为

．表表示第一项，„„，用

表示第项，依次写出成为

练习题：

1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1)a1＝0,an1＝an＋(2n－1)(n↔N)；

(2)a1＝1,an1＝2an(n↔N)；an2

(3)a1＝3,an1＝3an－2(n↔N).2解：(1)a1＝0,a2＝1,a3＝4,a4＝9,a5＝16,∴an＝(n－1);

(2)a1＝1,a2＝2122122,a3＝,a4＝,a5＝,∴an＝;35n12436012(3)a1＝3＝1+23,a2＝7＝1+23,a3＝19＝1+23,

a4＝55＝1+233,a5＝163＝1+234,∴an＝1＋2²3n1;

2、等差数列

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n↔N，则此数列是等差数列，d为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2a1d即：a2a1da3a2d即：a3a2da12d

22

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„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即等差数列的第二通项公式anam(nm)d∴d=a4a3d即：a4a3da13damanmn

例3已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时,（取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0,则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

练习：

1、100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.

解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）³7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.

2、－20是不是等差数列0，－3

说明理由.1，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，2

177∴此数列的通项公式为：an=－n+,222

774777令－n+=－20,解得n=因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这22227解：由题意可知：a1=0,d=－3

个数列的项.

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n↔N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

23

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由定义得A-a=b-A，即：A由此可可得：Aabab。反之，若A，则A-a=b-A22

已知数列{an}是等差数列

（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？（2）2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？（3）2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？

结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，amanapaq

即m+n=p+qamanapaq(m,n,p,q↔N)

但通常①由amanapaq推不出m+n=p+q，②amanamnaba,b,成等差数列2

3、等差数列的前n项和

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2

证明：Sna1a2a3an1an①

Snanan1an2a2a1②①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

∵a1ana2an1a3an2

∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2

n(n1)d2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an2．等差数列的前n项和公式2：Snna1

但ana1(n1)d代入公式1即得：Snna1

此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d（有时比较有用）

——课本P51的探究活动n(n1)d2

结论：一般地，如果一个数列an,的前n项和为Snpn2qnr，其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由Snpn2qnr，得S1a1pqr

当n2时anSnSn1=(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]=2pn(pq)22

danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]=2p

对等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d可化成式子：2

Snd2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式22

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1．前n项和为Snpn2qnr，其中p、q、r为常数，且p0，一定是等差数列，该数列的

首项是a1pqr

公差是d=2p

通项公式是anS1a1pqr,当n1时SnSn12pn(pq),当n2时

11，且a3b3=，S5+S3=21,求bn。2Sn练习：1．设等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=

2．已知数列{an}为首项a10，公差为d0的等差数列，求

Sn=111。a1a2a2a3anan1

3．求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。

4．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以

后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

5．已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大

值。

答案：

11(a2d)1①32d23a11．由①，得a1=d。由②，得8a1+13d=1。25432②d3a1d215a122

故a1=d=1。

n2n2,bn2∴Sn=2nn

2.1111()anan1danan1

∴Sn=11111111111an1a1[()()()]()da1a2a2a3anan1da1an1da1an1=n。a1(a1nd)

3.设S表示从1到100的所有整数之和。S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。

S3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。

则S=100(1100)5050。2

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33(399)1683。2

20(5100)1050由100=5+(n-1)³5,得n=20。S22

6(1590)315S3表示15，30，45，„，90之和S3=2由99=3+（n-1）³3,得n=33。S1

从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1-S2+S3=2632。

4.购买时付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an},则

a1=50+1000³0.01=60

a2=50+(1000-50)³0.01=60-0.5

a3=50+(1000-50³2)³0.01=60-0.5³2

类推,得

a10=60-0.5³9=55.5

an=60-0.5(n-1)(1n20)。

∴付款数{an}组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为

S20+150=20(a1a20)150(2a119d)101501255（元）。2

5．由S20=S10得2a1+29d=0d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+31Sn=n(a1an)22=-n+30n=-(n-15)+225∴当n=15时，Sn最大，最大值为225。2

4、等比数列

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表an示（q≠0），即：=q（q≠0）a1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)n1an1｛an｝成等比数列=q（nN,q≠0）a2隐含：任一项an0且q0n

“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件．

3q=1时，{an}为常数。

2.等比数列的通项公式1:ana1qn1(a1q0)

由等比数列的定义，有：

a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2；

a4a3q(a1q2)qa1q3；

anan1qa1qn1(a1q03.等比数列的通项公式2:anamq1(a1q0)„„„„„„„等比数列与指数函数的关系：ax等比数列｛an｝的通项公式ana1qn1(a1q0),它的图象是分布在曲线y1qq（q>0）上的一些孤立的点。

当a10，q>1时，等比数列｛an｝是递增数列；

当a10，0q1，等比数列｛an｝是递增数列；

当a10，0q1时，等比数列｛an｝是递减数列；

当a10，q>1时，等比数列｛an｝是递减数列；

当q0时，等比数列｛an｝是摆动数列；当q1时，等比数列｛an｝是常数列。

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1．等比中项：如果在a与bG，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则GbG2abGab，aG

反之，若G=ab,则2Gb2，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a²baG

≠0）

[范例讲解]

课本P58例4证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：

a1q1n1b1q2与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)nn1nn

an1bn1a1b1(q1q2)n

q1q2.anbna1b1(q1q2)n1

它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列

结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则amanapak

在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？

由定义得：ama1qm1ana1qn1apa1q

2p1k1aka1qamana1qmn2，apaka1qpk2则amanapak2

5、等比数列的前n项和

1、等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn①或Sn1②1q1q

当q=1时，Snna1

当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是Sna1a2a3an

由Sna1a2a3an

ana1qn1

2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q

(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴当q1时，Sn①或Sn1②1q1q

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，aa2a3nqa1a2an1

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根据等比的性质，有a2a3anSa1nqa1a2an1Snan

即Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）Snan

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)(1q)Sna1anq（结论同上）

1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，2求证：S2

nS2nSn(S2nS3n)

23n2、设a为常数，求数列a，2a，3a，„，na，„的前n项和；

（1）a=0时，Sn=0

（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+„+n=

n-1n1n(n1)2若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+„+a-na），Sn=ann1[1(n1)ana]2(1a)

练习：

1.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q,求证：（1）q3+q2+q=1,

a（2）q=c

112.已知数列{an}满足a1=1,a2=-,从第二项起，{an}是以为公比的等比数列，22

{an}的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3„,Sn,„能否构成等比数列？为什么？

3.求Sn=(x+111)+(x2+2)+„+(xn+n)(y0)。yyy

4.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除的消费资金应是多少万元（精确到万元）。

5.已知数列{an}满足a1=1,a2=r(r>0)，数列{bn