初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理“衡水杯”一等奖

《第1章勾股定理》（山东省济南市燕山中学）一、选择题1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，132．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，64．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）A．30 B．40 C．50 D．605．下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组6．三个正方形的面积如图，当B=144、C=169时，则A的值为（）A．313 B．144 C．169 D．257．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空题：9．如图，直角三角形中未知边的长度x=．10．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形．11．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是米．12．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．三、解答题：13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．14．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？15．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？

《第1章勾股定理》（山东省济南市燕山中学）参考答案与试题解析一、选择题1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；B、∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，不合题意；C、62+82=102，∴此三角形是直角三角形，不合题意；D、52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【考点】勾股定理．【分析】利用相似三角形的对应边成比例，运用勾股定理就可以解决．【解答】解：设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，直角边扩大2倍后为2a，2b，那么据勾股定理得原来c2=a2+b2，现在的斜边．即斜边扩大到原来的2倍，故选B．【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边成比例解答．3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理得到答案．【解答】解：因为32+42=2552=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的判定的运用．4．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）A．30 B．40 C．50 D．60【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得另一条直角边的长，进而就可以求出直角三角形的面积．【解答】解：另一直角边长是：=5．则直角三角形的面积是×12×5=30．故选A．【点评】熟练运用勾股定理由直角三角形的两条边求出第三边；直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．5．下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【考点】勾股定理的逆定理．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①52+122=132，能构成直角三角形；②72+242=252，能构成直角三角形，能构成直角三角形；③（3a）2+（4a）2=（5a）2，能构成直角三角形；④（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形．故可以构成直角三角形的边长有3组．故选C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．三个正方形的面积如图，当B=144、C=169时，则A的值为（）A．313 B．144 C．169 D．25【考点】勾股定理．【分析】根据a2+b2=c2，结合B=144、C=169，可求出a2的值，继而可得出A的值．【解答】解：由题意可得：a2+b2=c2，解得：a2=25，即A的值为25．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的正方形的关键，关键是根据图形得出a2+b2=c2，题目出的很好，注意掌握勾股定理的表达式．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形面积的两种不同求法列出关于CD的方程即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∴AB===13cm；∴S△ABC=×5×12=30cm2；∴×13CD=30，解得CD=cm．故选C【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，巧妙利用直角三角形两种面积求法是解题的关键．8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折的性质可知：AC=AE=6，CD=DE，设CD=DE=x，在RT△DEB中利用勾股定理解决．【解答】解：在RT△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4，设CD=DE=x，在RT△DEB中，∵DEDE2+EB2=DB2，∴x2+42=（8﹣x）2∴x=3，∴CD=3．故选B．【点评】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．二、填空题：9．如图，直角三角形中未知边的长度x=．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理直接解答即可．【解答】解：根据勾股定理可得：52+32=x2，解得：x=或﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．本题难度不大，注意细心运算即可．10．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理逆定理，三角形两短边的平方和等于长边的平方，即可得出其为直角三角形．【解答】解：∵152+362=392，∴可得三角形为直角三角形．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的应用．11．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是12米．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】梯子和建筑物之间可构成直角三角形，梯子长为斜边，梯子的底端离建筑物的距离为一直角边，运用勾股定理可将另一直角边求出，即梯子可以到达建筑物的高度．【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，∴另一直角边长==12m，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案为：12．【点评】本题的关键是建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，进行求解．12．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是10c【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故答案为：10．【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．三、解答题：13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．【解答】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=，故：门高尺，竹竿高=+1=尺．【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．14．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解答】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB=x，AB+AC=16，∴AC=16﹣x．在Rt△ABC中，AB=x，AC=16﹣x，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6．故旗杆在离底部8米的位置断裂．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．15．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，