初中数学沪科版七年级上册第3章一次方程与方程组3．5三元一次方程组及其解法

3.5三元一次方程组及其解法【教学目标】1．会解简单的三元一次方程组．2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．【教学重难点】1．掌握三元一次方程组的解法．2．针对方程组的特点，选择最好的解法．【教学过程】一、导入新课(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？学生活动：回答问题、设未知数、列方程．这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝26，①,x－y＝1，②,2x＋z－y＝18.③))这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．二、推进新课问题1：教师：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？学生活动：思考、讨论后说出消元方案．教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程组．解：由②，得x＝y＋1.④把④代入①，得2y＋z＝25.⑤把④代入③，得y＋z＝16.⑥⑤与⑥组成方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＋z＝25，,y＋z＝16.))解这个方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝9，,z＝7.))把y＝9代入④，得x＝9＋1，x＝10.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝9，,z＝7.))注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．b．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最简单的方程④.c．检验．这道题也可以用加减法解，②中不含z，那么可以考虑将①与③结合消去z，与②组成二元一次方程组．学生活动：在练习本上用加减法解方程组．问题2：例题分析【例题】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，①,2x＋3y＋z＝9，②,5x－9y＋7z＝8.③))学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④①与④组成方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，,11x＋10z＝35.))解这个方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,z＝－2.))把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝eq\f(1,3).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝\f(1,3)，,z＝－2.))即时归纳：这个方程组的特点是方程①不含y，而②，③中y的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y后，再与①组成只含x，z的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．三、巩固训练1．解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－z＝4，①,z－2y＝－1，②,x＋y－z＝－1.③))2．课本练习．四、本课小结通过这节课的学习，我们学会了什么？还有什么困惑？1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．3．注意检验．五、趣味练习一次方程组的古今表示及解法我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗；求上、中、下三等谷每束各是几斗？注：斗是过去的容积计量单位．下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义．不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题．设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗．根据题意，得三元一次方程组通过消元，可以求出各未知数．上图实际上就是用算筹列出的方程组(*)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(*)，将①－②可以消去z，将③累减②三次也可以消去z，从而得到二元一次方程组这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样．用现代高等代数的符号可以将方程组(*)的系数排成一个表