高等数学下作业答案

9- 5求定义域（略9-2（略9- 1（略2、zln(1x2y2x1y2dz

dz2(xdx1x22(dx2dy)2(dx9-

11 zu2

ux

vx解z2u2v2(uvz2u2v2(uv)4zex2y

ydzzdxzdyex2ycost2ex2y3t2cost6t2 x y5、zarctan( y z

(x解 y

1 1 18、求下列复合函数的一阶偏导数（f具有一阶连续的偏导数zf(x2y2,exyz2xfyexyfz2yfxexyf （3）设uf(xxyxyzf具有二阶连续偏导数，求u,uu

fyfxzf

9- 1yy(xsinyexxy2sinydyexdxy2dx2xydy0siny2xy)dyy2exdy

y2siny3、x2yz x2yz

0dx2dydz xzdyxydz) ( (z

yz yz xz

10.zx2y（1）设x22y23z220

dy,dz

dz

dz2xdx2

dz2ydy

1 dy2xdx4ydy6z dy

2ydyxdx

x(16z)dz

x1

,dy

x(16z)2y(13z)

2y(1xeuusin u,u,

,(4)设yeuucosv，求

dyeucosv)duusindu

usinvdxucosvdyu[eu(sinvcosv)1] ucosvdxusindv u[eu(sinvcosv)u

,u

cos eu(sinvcosv)

eu(sinvcosv)

cos

,v

eu(sinvcosv)

eu(sinvcosv)9-4、x1tytz

对应t1的点处的切线和法平面方程 1解：(1 ,2t) t2(1y

t

,4x2

2z 法平面4(x2y18(z104xy8z 5、y22mxz2mx在点(xyz 0y22mxz2mx在点0

,

,

处的切向量为1,m1 所以切线的方程为xx0y0yy0)2z0(zz0

xx0

(yy0)

(zz00x

y

zx0m8、求下列曲面在指定点处的切平面与法线ezzxy3，点解：n(y,x,ez1) x2y1yz yzx x有不同

11.（xyzn(1, 证明：设P(x,y,z)为曲xyzn(1, x xzyz zyz

(Xx)

(Yy)

(Zz) xyzxyz X Y Z 1，该平面在三个坐标轴上的截距xyzxyz

z

xyz9-8（略xyz10- 2设I1(x2y2)3dD1{(xy)|1x1又I2(x2y2)3dD2{(xy)|0x1 I1表示由曲面z(x2y2)3与平面x1y2以及z0围成的立体V的体积I2z(x2y2)3x0x1y0y2VyOz面、xOz面对称V1V位于第一卦限中的部分故V4V1即I14I24根据二重积分的性质比较下列积分大小(xy)2d与(xy)3dDx轴 区域D为D{(xy)|0x0yxy1}因此当(xy)D时有(xy)3(xy)2从而(xy)3d(xy)2d 1计算下列二重积分(3x2y)dDxy2所围成的闭区域D2D0x20y2x2

2(3xD

[3xy0

]02(42x2x2)dx[4xx22x3]220 2画出积分区域并计算下列二重积分xDx

ydDy

xyx2所围成的闭区域1D{(xy)|1

x2y

}xyd x

ydy

2

1 2x4)dx6 D

x[y2]x2

(0 4If(xy)d为二次积分( D的两个二次积分)D是yxx2y1(x>0)所围成的闭区域x解积分区域如图所示D{(xy)|1x2,1yxxD{(x

1y1,1x2}{(xy)|1y2,yx2 所 I1dx1f(x,y)dy或I1dy1f(x,y)dx1dyyf(x,y)dx 6改换下列二次积分的积分次序11

解由根据积分限可得积分区域D{(xy)|0y图

x

1y21D{(xy)|1x10y1x211

f(x,y)dx

f(x,1010zx22y2z62x2y2所围成的立体的体积10z62x2z62x2

zx2+2y2=62x2y2x2y2=2x2y22xy轴均对称并且被积函数关xy都是偶函数所以V[(62x2y2)(x22D2

(63x2D

2x2(2x2y2)dy 0

(2x2)3dx611画出积分区域f(xy)dxdy表示为极坐标形式的二次积分DD是{(xy)|a2x2y2b2}D如图D{()|02ab}f(x,y)dxdyf(cos,sin 2dbf(cos,sin)d 13把下列积分化为极坐标形式并计算积分值

x2y2dy D如图所示D{(,)|00asec4 x2y2dy

a3 4d d 4sec3d

[2

3 14利用极坐标计算下列各题ex2y2dDx2y24所围成的闭区域DD{()|0202}ex2y2de2 2d2e2d21(e41)(e41) 15选用适当的坐标计算下列各题D

x2y2dD是圆环形闭区域{(xy)|D{()|02ab} 3x2y2ddr2dr2(b3a3)3 D18xOyx2y2ax围成的闭区域为底zx2y2为顶xOyD{(xD{(,)|0acos

a4

V

y)dxdy

2

d

2cosd4

32ax2y2 10-1化三重积分If(xyz)dxdydz为三次积分其中积分区域分别是zx22y2z2x2所围成的闭区域解曲积分区域可表示为{(x,y,z)|x22y2z2x2,

1x2y

1x2,1x1于 I1

2dy

f(x,y,z)dz2 x2提示zx22y2z2x2xOy5计算 其中为平面x0y0z0xyz1所围成的四面体(1xy{(xyz)|0z1xy0y1x于 1dx1xdy1xy dz(1xy (1xy1 1x 11

1 31

[2(1xy)2

8

1(ln25) 提示 1dx1xdy1xy dz (1xy1dx ]1xydy1dx 1]dy

2(1xyz)2

1 02(1xy)

dxdx

38

0[1ln(1x)3x1 1(ln25)0 9利用柱面坐标计算下列三重积分2x2zdv其中是由曲面z 及zx2y22x2222102012221于 zdv

d0d

211(220(1235)d7( (x2y2)dv其中x2y22zz2所围成的闭区域于 (x2y2)dv

2z222dddz

0

20

2222d2(2315)d28d16 10-

0 x2y2求锥面 被柱面zx2yx2y解由 和z22x两式消z得x2y22xx2yD

得z x2x2yx2

z x2x2于是A

1(z)2(z)2dxdy

dxdy

2(x1)2y2

2(x1)2y223计算下列对弧长的曲线积分(x2y2)ndsLxacostyasintL解(x2y2)nds2(a2cos2ta2sin2

2a2n1dt2a2n10

xdxLyxyx2所围成的区域的整个边界L1yx2(0x1)L2yx(0x1)11

21x2

1[(x2)]2dx0

1x

14x2dx0

2xdx1

5

ds其中xetcostyetsintzett0变到x2y22的这段弧解ds

(dx)2

(dt

2(dz(etcostetsint)2(etsintetcost)2e2tdt3etdt ds2

x2y2

0e2tcos2te2tsin2t33[3]222 0

(1e2)3计算下列对坐标的曲线积分(x2y2)dxLyx2上从点(00)到点(2L的一段弧Lyx2x02(x2y2)dx2(x2x4)dx56

(xy)dx(xy)dyLx2y2a2(按逆时针方向绕行x2xacostyasintt02(xy)dx(x x2a212a2dt2a2(6)xdxydy(xy1)dz其中是从点(111)到点(234)的x1ty12tz13tt0xdxydy(x

(1614t)dt(04xOy面内与路径无关并计算积分值

(xy)dx(xy)dyPxyQxyP、QxOy面内具有一阶连续偏导数而且PQ1 xOy面内积分与路径无关2L为点(11)到(23)y2x1x122

(xy)dx(xy)dy1[(3x1)2(1 5、5.利用公式计算下列曲线积分22

2x

x3y3a3解Px2ycosx2xysinxy2exQx2sinx2yexQP(2xsinxx2cosx2yex)(2xsinxx2cosx2yex)0 公(x2ycosx2xysinxy2ex)dx(x2sinL(QP)dxdy0 D(x2y)dx(xsin2y)dyLyL点(00)到点(11)的一段弧

2xx2Px2y

QP1(1)0 公式

PdxQdy(QP)dxdy0L

DL、AB、BOD如图所示 (x2y)dx(xsin2y)dy

(x2y)dx(xsin2 1(1sin2y)dy1x2dx71sin2 6P(xy)dxQ(xy)dyxOyu(xy)的全微分u(xy):证明因为Q2PP(xy)dxQ(xy)dy xOyu(xy)的全微分u(x,

x

Cx22xyy2C 12-2、写出下列级数的一般项xxxx x n解：一般项为

x23、根据级数收敛与发散的定义判定下列