一线三等角模型

考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量，提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。一线三等角解题理念:有边相等证全等;没边相等证相似.第1页/共22页第一页，共23页。建立模型2013一调13如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________．第2页/共22页第二页，共23页。2013一调22题图1图2第3页/共22页第三页，共23页。（2）问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3第4页/共22页第四页，共23页。（3）拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图4第5页/共22页第五页，共23页。模型应用（2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点．EF⊥EC交AB于点F．连接FC.

（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）求tan∠ECF的值．第6页/共22页第六页，共23页。已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边交于点E．

（1）直接写出线段AE、BF的长（用含k的代数式表示）；（2）设△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，求证：S1=S2；

（3）记△OEF的面积为S．

①求出S与k的函数关系式并写出自变量k的取值范围；

②以OF为直径作⊙N，若点E恰好在⊙N上，请求出此时△OEF的面积S．

（4）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？（5）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．第7页/共22页第七页，共23页。3．如图，已知y1=k1x+k1（k1≠0）与反比例函数(k2≠0)的图象交于点A、C，其中A点坐标（1，1）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y1＜y2？

（3）若一次函数y1=k1x+k1与x轴交于B点，连接OA，求△AOB的面积：

（4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．第8页/共22页第八页，共23页。2013一调23题(11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．（1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值；（2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只以第①题计分．①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角三角形，若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．第9页/共22页第九页，共23页。第10页/共22页第十页，共23页。（2011河南）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.第11页/共22页第十一页，共23页。第12页/共22页第十二页，共23页。模型拓展一线三锐角第13页/共22页第十三页，共23页。模型应用.如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E.(1）求证：ΔABD∽ΔDCE；(2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取值范围；(3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长．第14页/共22页第十四页，共23页。模型应用（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．第15页/共22页第十五页，共23页。已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y求y与x的函数关系式.（3）在（2）中，当取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．ADCBPMQ60°第16页/共22页第十六页，共23页。

（2012成都）(本小题满分10分)如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)．第17页/共22页第十七页，共23页。一线三钝角第18页/共22页第十八页，共23页。模型应用如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.AB=DC=AD=6,ABC=700,点E,F分别在线段AD,DC上，且BEF=1100,若AE=3,求DF的长。第19页/共22页第十九页，共23页。归纳总结一线三等角模型：三个相等的角，顶点在同一直线上时，左右两个三角形相似，若共线三顶点中间一顶点是中点时，图中三个角所在的相关三角形两两相似。第20页/共22页第二十页，共23页。从复杂图形中分离出基本图形，对解决问题有化繁为简的效果。三等角模型在解题中，可以帮助我们快速找到解决问题的突破口。希望这个模型能起到抛砖引玉的作用，让我们平时多总结多归纳，出现更多的好方法。！祝大家工作顺利！第21页/共22页第二十一页，共23页。谢谢您的观看！第22页/共22页第二十