理论力学-第十三章动能定理

动力学动能定理§13-1力的功§13-2动能§13-3动能定理§13-4动力学普遍定理的综合应用第十三章动能定理动力学目录§13-1力的功§13-1力和功常力在直线路程中的功变力在曲线路程中的功

几种特殊力的功质点系内力和约束力的功§13-1力的功力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量的转变和转化。下面讨论力的功的计算方法。一、常力在直线路程中的功设一物体，在常力F作用下沿直线由A1平动到A2

，所经历的路程是s。则该常力F在此路程中的功为W=Fcos

s其中Fcos

为力F在运动方向上的投影，可正可负。可见力的功是代数量。功的基本单位在国际单位制中采用J:1J=1N

mαFAA1A2s一、常力在直线路程中的功设在质点A

上作用着变力F,现在把其轨迹曲线A1A2分成许多微小弧段，使得每个元弧段ds(即元路程)可视为直线段，而力F则视为常力，应用常力在直线路程中的功的计算式，力F在每个元路程ds

中的功W=Fcos·

ds式中

是力F与速度v间的可变夹角。由于元路程ds对应于位移的大小|dr|=|v|dt，故上式可以改写成W=F

•

dr

=

F

•

vdt§13-1力的功上式称为力F在元路程ds

中的元功。1.元功的定义OA1AFxyzA2θvr+drrdsdr二、变力在曲线路程中的功

力F在有限路程A1A2中的总功W，是该力在这段路程中全部元功的代数和，可表示成曲线积分W=Fxdx+Fydy+Fzdz这就是元功的解析表达式。因为F=Fxi+

Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk，代入上式得§13-1力的功W=F

•

dr

=

F

•

vdt2.功的解析表达式。3.变力在曲线路程中的总功变力的功OA1AFxyzA2θvr+drrdsdr三几种特殊力的功1

重力的功设物体的重心A

沿某一曲线由A1

运动到A2

。物体的重力G在坐标轴系上的投影为Fx

=Fy=0,Fz=G得重力的元功W=Gdz由元功表达式

W=Fxdx+Fydy+Fzdz1、重力的功式中

z1

和z2

分别是重心的路程起点和终点的纵坐标；h=z1-z2

是物体重心降落的高度，称为高度降。故重力在曲线路程A1A2上的功为OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)

当r

l0＜0时，=（

r

l0），弹簧压缩，弹性力F指向点A，其矢量表示式为当r

l0

＞0时，=r

l0，弹簧拉长，弹性力F指向点O，其矢量表示式为2、弹性力的功设弹簧未变形时长度是

l0

，刚度系数是k。弹簧的一端O

固定，而另一端A

作任意曲线运动，且弹簧始终处于直线状态。现求在点A由位置A1

沿某一路线运动到位置A2

的路程中弹性力所作的功。在任意位置A

，弹簧的变形为

=︱r

l0︱，矢径方向的单位矢量为r/r

。

F=k

(

r/r)=

k(r

l0)(

r/r)1).弹性力的矢量表示F=k

r/r=

k(r

l0)r/rOA1drA2r1rr2FA2、弹簧力的功2).弹性力的元功得弹性力F的元功考虑到r

•

dr=

d（r

•

r）/2=d（r

2）/2

=r

dr=

rd(r

l0)，即得弹性力F在曲线路程A1A2中的功W=F

•

dr=

k(r

l0)(r

•dr/r)W=

k(r

l0)d(r

l0)由元功表达式W=F

•dr=F

•vdt3).弹性力的功

弹性力的功OA1drA2r1rr2FA弹性力的矢量表示F=

k(r

l0)r/r式中r/r是矢径方向的单位矢量。以和

分别表示路程始末端A1和A2处弹簧的变形量，则上式写成2、弹簧力的功常力矩：Mz（F）=常量zFr3、定轴转动刚体上外力或力偶的功

设刚体绕定轴z

转动，角速度=

k，刚体上点M作用着力F，当刚体有一微小转角d时,力F的元功

W

=F‧dr在刚体由角

1

转到角

2

的过程中，力F的总功为M1质点系和刚体内力的功设质点系内有两质点M1和M2

,相互间作用着内力F1和F2=F1。两质点的元位移分别是dr1和dr2,故得内力F1和F2的元功之和四质点系内力和约束力的功1、质点系和刚体上力的功M1M2xyzOr2r1—一般质点系内力作功—刚体内力作功和等于零四质点系内力和约束力的功工程上几种内力作功的情形

●

作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。

●

有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。内力的功2约束力的功之和等于零的情形光滑的固定支承面

(图

a)，轴承，销钉

(图

b)和活动支座

(图

c)的约束力总是和它作用点的元位移

dr

垂直，所以这些约束力的功恒等于零。四质点系内力和约束力的功FAdrFAdrFAdr(a)(b)(c)1).

光滑的固定支承面

、轴承、销钉

和活动支座

的约束力2、约束力的功之和等于零的情形

由于柔绳仅在拉紧时才受力，而任何一段拉直的绳子就承受拉力来说，都和刚杆一样,其内力的元功之和等于零。绳子绕着光滑物体，情形相同。当由铰链相联的两个物体一起运动而不发生相对转动时，铰链间相互作用的压力与刚体的内力性质相同。当发生相对转动时，由于接触点的约束力总是和它作用点的元位移相垂直，这些力也不做功。约束力的功2).不可伸长柔绳的拉力。3).光滑活动铰链内的压力。约束力的功4).圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力)的功。OvOCvFFN

因为Cv

为速度瞬心，其速度为零。所以作用在Cv点的静摩擦力F

所作元功为（1）圆轮连滚带滑运动时，动摩擦力F所作元功为（2）圆轮纯滚动时，这时出现静摩擦力F。§13-2动能§13-2动能质点的动能质点系的动能

几种刚体运动的动能

柯尼西定理§13-2动能

即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。

质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号T表示，则有国际单位制中，动能的常用单位是

kg·m2/s2，即J。设质点的质量为m

，速度为

v

，则该质点的动能动能是物体机械运动的一种度量，恒为正值。二、质点系的动能一、质点的动能§13-2动能1.平动刚体的动能平动刚体各点的速度和质心速度vC相同，m

表刚体质量，则其动能即，平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。三、几种刚体运动的动能质点系的动能三、几种刚体运动的动能2.定轴转动刚体的动能设刚体以角速度

绕定轴z

转动，以

mi

表示刚体内任一点A

的质量，以

ri

表示A

的转动半径，则该刚体的动能为其中∑miri2=Jz

是刚体对转轴

z

的转动惯量，故上式可写成可见，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半.转动惯量

Jz

就是刚体绕z轴转动时惯性的度量。§13-2动能17-9(b)ωAvizriO§13-2动能ωOωOeA，B两轮质量相同，以相同的角速度ω绕圆心O转动。CABA轮为匀质圆盘、B轮质心在C点。两轮动能是否相同？

思考题3.平面运动刚体的动能刚体做平面运动时，其上任一点的速度为vi

，平面运动刚体的角速度是，速度瞬心在P点，刚体对瞬轴的转动惯量是JP

。设刚体的质心C

到速度瞬心

P

的距离是rC

，刚体的质量是m。§13-2动能AviCvCPrcriP对平行于瞬轴的质心轴的转动惯量是JC

,则该刚体的动能为根据转动惯量的平行轴定理有因为质心C

的速度大小vC=rC。由上式得§13-2动能即,平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。平面运动刚体的动能AviCvCPrcriP例题13-1（习题13-7）已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2,AB杆的长度为l、不计质量，以角速度ωAB绕A点转动，滑块的速度为vA。求系统的动能。§13-2动能Am1Oxx'y'θm2BlvAyωAB例题13-1Am1Oxx'y'θm2BlvAyvAvBA1.运动分析与速度分析滑块作直线运动，速度为vA；杆AB作平面运动。以A为基点，质点B的速度为§13-2动能例题13-1

解：2.计算系统动能滑块的动能质点B的动能系统的总动能§13-2动能Am1Oxx'y'θm2BlvAyvAvBA例题13-1

已知滑块A的质量为m1；匀质杆AB的长度为l、质量为m2，以角速度ωAB绕A点转动。圆盘B的质量为m3,半径为r，与杆固连；滑块的速度为vA，求系统的动能。§13-2动能Am1Oxx´y´θm2BlvAyωABCr

思考题§13-2动能系统如图所示，轮Ⅰ的质量为m1，纯滚动，AO杆的质量为m，角速度为ω

，求系统的动能。ωⅠⅡOACr1r2ω1vAC是轮Ⅰ上的点，JC是绕C点的转动惯量，是否成立？练习题

以质点系的质心C

为原点,取平动坐标系Cxyz,它以质心的速度vC

运动。设质点系内任一质点A在这平动坐标系中的相对速度是vir,则该点的绝对速度vi

=vc+vir,

故得质点系在绝对运动中的动能§13-2动能四、柯尼西定理OAvixyzvCz'y'x'CvCvirrCrir四、柯尼西定理上式右端第一项即，质点系在绝对运动中的动能,等于它随质心一起平动时的动能,加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能。这就是柯尼西定理。

§13-2动能柯尼西定理第三项等于∑mivir2/2=Tr

是质点系在相对运动中所具有的动能。记为Tr第二项是质点系随质心一起平动时的动能.所以质点系的动能例题13-2

坦克或拖拉机履带单位长度质量为ρ，轮的质量为m，半径为r，轮轴之间的距离为d，轮心前进的速度为v0。求：系统的总动能。§13-2动能例题13-2C2C1drv0C2C1drv0解：在C1C2杆上建立动系Cx´y´。

牵连运动为水平平移，牵连速度为v0；

相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮及其上履带的运动。圆轮的角速度为ω＝v0/r,履带上各点的相对速度均为v0。§13-2动能例题13-2

x'y'C应用柯希尼定理，全部履带的总动能为§13-3动能定理§13-3动能定理质点系动能定理质点动能定理§13-3动能定理

动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的数量关系。

设质量为m的质点A，在力作用下F沿曲线由A1运动到A2，它的速度由v1变为v2。两边点乘速度v

,得mv

dv

=

F

vdt一、质点动能定理一、质点动能定理1.微分形式由牛顿第二定理即，质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功，这就是质点动能定理的微分形式。将上式沿路程A1A2积分，得左端可改写成mv

dv=md(v

v)/2=d(mv2/2)从而得mv

dv=F

dr式中W

表示力F在路程A1A2中的功。可见，质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质点的各力在该路程中所做的功。这就是质点动能定理的积分形式。§13-3动能定理质点动能定理2.积分形式即，质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和，这就是质点系动能定理的微分形式。dT=∑

Wi对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得因故上式可写成§13-3动能定理由质点动能定理的微分形式1.微分形式二、质点系动能定理式中T1，T2

分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量,等于作用于质点系的各力在该路程中的功的代数和。这就是质点系动能定理的积分形式。T2T1=∑Wi将上式积分，得§13-3动能定理质点系动能定理由微分形式

dT=∑Wi2.积分形式

例题13-3运送重物用的卷扬机如图(a)所示。已知鼓轮重W1,半径是r,对转轴O

的回转半径是。在鼓轮上作用着常值转矩MO,使重W2的物体A

沿倾角为的直线轨道向上运动。已知物体A与斜面间的动摩擦系数是f

。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承O

的摩擦都忽略不计。试求物体A沿斜面上升距离s时物体A的速度和加速度。§13-3动能定理(a)sA2AA1OMOα例题13-3用v表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角速度大小=v/r，从而有系统从静止开始运动的，初动能T1=0。在重物上升的单向路程为

s

时，系统的动能T2

可计算如下。取鼓轮、绳索和物体A组成的系统为研究对象。解：§13-3动能定理(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例题13-3

(a)sA2AA1OMOα●

由此求出物体A的速度根据T2T1=∑W，有根号内必须为正值，故当满足MO≥W2r(sin+fcos)时，卷扬机才能开始工作。§13-3动能定理在物体A上升

s路程中，作用在系统上的力的总功为T1=0,(b)AOM0W2FNFFOxFOyW1av例题13-3

●

物体

A

的加速度把式(1)中的s看作变值，并求两端对时间

t

的导数，有考虑到在直线运动中

dv/dt=a，ds/dt=v，故物体A的加速度§13-3动能定理AOM0W2FNFFOxFOyW1av例题13-3

(1)OM0AθAm2gFNFsθFTa如何求绳子拉力和物体A与斜面间的摩擦力？

思考题例题13-3

m2a=FT－Fs

－

mgsinθ0=FN－m2gcosθθOM0PArAs若将重W2的物体A改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A沿斜面上升距离s时物体A的速度和加速度。

思考题例题13-3

θOM0Am1gFOxFOym2gFNFsPωvAaωA若将重W2的物体A改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A沿斜面上升距离s时物体A的速度和加速度。

思考题例题13-3

θOM0Am1gFOxFOym2gFNFsPωvAaωA动能:力的功:sωAθAm2gFNFsPOM0m1gFOxFOyωvAsBOM0θPArAs若将重W2的物体A改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子上，试求滚子A沿斜面上升距离s时物体A的速度和加速度。

思考题例题13-3ωAθAm2gFNFsPOM0m1gFOxFOyωvAsB若将重W2的物体A改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子上，试求滚子A沿斜面上升距离s时物体A的速度和加速度。

思考题例题13-3动能:力的功:例13-4均质细杆AB长l=1.0m，重Q=30N，圆柱重P=20N，半径R=0.4m，纯滚动。(1)当图示=45o时，系统由静止开始运动，求该瞬时A点的加速度；(2)若在=45o时，圆柱中心A以速度vA=1.0m/s向左运动，求该瞬时A点的加速度。解：用微分形式的动能定理求解。设为任意角，系统的动能为由运动学知代入得注意到于是代入该式两边被dt除，注意其中、vA均为变量且于是，改写为整理运算，得将代入式，得将代入式，得

例题13-5

系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量为m，长度为l，当仰角1=60º时，系统由静止释放。求当仰角减到2=30º时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。§13-3动能定理ABDFEmgmgα1α1(a)BAFEmgmgα2α2(b)例题13-5例题13-5

例题13-5

系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量为m，长度为l，当仰角1=60º时，系统由静止释放。求当仰角减到2=30º时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。§13-3动能定理ABDFEmgmgα1α1(a)例题13-5例题13-5

系统开始是处于静止，初动能T1=0。§13-3动能定理取整个系统为研究对象，其中杆AB作定轴转动，而杆BD做平面运动。考虑系统由静止开始运动到2=30º

这个过程。解:而末动能等于由于PB=BD=AB，代入上式，得ωAB=ωBDAB·ωAB=PB·ωBD由图(b)知，杆BD的速度瞬心在P点，BADFEvBvDα2α2ωBDωAB(b)60º60ºPmgmgFAxFAyF

D分析点B的速度有例题13-5而将以上结果代入上式，得vE

=PE·ωBD§13-3动能定理ωAB=ωBD杆BD质心E的速度=PE

·ωAB=PB·sin(22)

·ωAB=l

·sin60º

·ωABBA