（课标专用）天津市高考数学二轮复习 专题四 数列 4.1 等差数列与等比数列

专题四

数列整理ppt-2-整理ppt4.1等差数列与等比数列整理ppt-4-突破点一突破点二突破点三突破点四等差数列与等比数列的基本量的求解【例1】(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(

)A.-12 B.-10 C.10 D.12(2)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(

)BD整理ppt-5-突破点一突破点二突破点三突破点四分析推理(1)根据已知,直接设公差d,然后根据等差数列前n项和公式表示已知,列出方程求解,然后再代入通项公式求项;(2)首先根据已知确定十二平均律中单音的频率依次排列构成等比数列,然后确定公差和首项,代入通项公式即可求项.解析:(1)因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.故选D.整理ppt-6-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其基本解题过程为(1)设基本量:首项a1和公差d(公比q);(2)列、解方程组:把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体代换,以减少运算量.整理ppt-7-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固1(1)(2019辽宁丹东高三质量测试(一))我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”意思是:九节竹的盛米容积成等差数列,其中的“三升九”指3.9升,则九节竹的中间一节的盛米容积为(

)A.0.9升 B.1升

C.1.1升 D.2.1升(2)(2019山东聊城一模)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若2S3=S4+S5,a1=1,则a6=(

)A.1 B.32

C.64

D.-32BD整理ppt-8-突破点一突破点二突破点三突破点四即a2+5d+a2+6d=2a2+11d=2.6+11d=1.5,解得d=-0.1,故a5=a2+3d=1.3-0.3=1(升).故选B.(2)设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1.∵2S3=S4+S5,a1=1,化简得q2+q-2=0,解得q=-2.则a6=(-2)5=-32.故选D.整理ppt-9-突破点一突破点二突破点三突破点四等差数列与等比数列的判定与证明【例2】(1)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意列{cn}是等差数列.(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.①求{an}的通项公式;②求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.分析推理(1)首先根据已知用an表示bn,进而表示出cn,然后检验cn+1-cn是否为常数即可证明;也可以先写出数列{an}的通项公式,再根据已知求出数列

的通项公式进行判断.(2)①首先根据已知列出方程组求出首项与公比,进而求出数列的通项公式;②根据①问,求出Sn,然后利用等差中项检验三项是否构成等差数列.整理ppt-10-突破点一突破点二突破点三突破点四因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差数列.方法二(通项法)

由已知可知数列{an}是公差为d的等差数列,设首项为a1,则an=a1+(n-1)d.由已知,d为常数,所以数列{cn}是首项为2d(a1+d),公差为2d2的等差数列.整理ppt-11-突破点一突破点二突破点三突破点四故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.整理ppt-12-突破点一突破点二突破点三突破点四该题中的(2)中,是否对所有的等比数列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列”都成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请求出成立的条件.解:并不是对所有的等比数列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列”都成立.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.(1)当q=1时,Sn=na1.此时Sn+1+Sn+2=(n+1)a1+(n+2)a1=(2n+3)a1.由Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列可得,Sn+1+Sn+2=2Sn,即(2n+3)a1=2na1.因为a1≠0,显然该等式不成立,所以此时Sn+1,Sn,Sn+2不能构成等差数列.整理ppt-13-突破点一突破点二突破点三突破点四整理得qn+2+qn+1-2qn=0,即q2+q-2=0,解得q=1(舍),q=-2.所以q=-2.综上,只有公比q=-2的等比数列{an},上述结论才能成立.整理ppt-14-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法:整理ppt-15-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固2(1)(2019天津河北区二模)已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),设bn=

.①求b1,b2,b3的值;②证明数列{bn}是等差数列.(2)(2019河北唐山一模)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1,记bn=an+n.①求b1,b2,b3;②判断{bn}是否为等比数列,并说明理由;③求{an}的前n项和Sn.整理ppt-16-突破点一突破点二突破点三突破点四解:(1)①将n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.②证明:将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),得

整理ppt-17-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)①因为a1=1,所以a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5,从而b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8.②{bn}是等比数列.理由如下:因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),所以{bn}是等比数列,且首项b1=2,公比为2.③由②知bn=2n,故an=bn-n=2n-n.整理ppt-18-突破点一突破点二突破点三突破点四等差数列与等比数列性质的应用【例3】(1)(2019陕西榆林三模)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且满足若a3+S5=12,a4+S7=24,则a5+S9=(

)A.24 B.32 C.40 D.72分析推理(1)根据等差数列的性质与前n项和公式,将S5,S7,S9用a3,a4,a5表示,然后再结合已知和所求,利用等差中项求解;(2)根据等比数列的性质,结合已知将所求代数式进行化简,然后整体代入已知求值即可.C整理ppt-19-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:(1)∵a3+S5=6a3=12,a4+S7=8a4=24,∴a3=2,a4=3,∴a5=4,∴a5+S9=10a5=40,故选C.(2)(方法一)设等比数列{an}的公比为q,整理ppt-20-突破点一突破点二突破点三突破点四整理ppt-21-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用.(1)等差数列的性质:①an=am+(n-m)d(n,m∈N*);②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*);③设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(2)等比数列的性质:①an=amqn-m(m,n∈N*);②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);③若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等比数列.整理ppt-22-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固3(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=-2018,A.-2016 B.-2018 C.2018 D.2016(2)(2019四川南充第二次高考适应性考试)已知等比数列{an}中AC整理ppt-23-突破点一突破点二突破点三突破点四所以S2=2×(-2017)=-4034.所以a2=S2-a1=-4034-(-2018)=-2016.故选A.(2)因为等比数列{an}中的各项都是正数,设公比为q,即a1q2=a1+2a1q.因为a1≠0,所以q2-2q-1=0,整理ppt-24-突破点一突破点二突破点三突破点四等差数列与等比数列的综合问题【例4】设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),①求Tn;分析推理(1)设等比数列的公比以及等差数列的公差,然后根据已知建立两者的方程求解即可.(2)①根据等比数列前n项和公式求出Sn,根据其结构特征,利用分组求和法求解Tn;②根据前面所求化简证明.整理ppt-25-突破点一突破点二突破点三突破点四(1)解:设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=n.整理ppt-26-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.整理ppt-27-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固4(1)(2019河北邯郸一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a7=5,S5=-55,则nSn的最小值为(

)A.-343 B.-324 C.-320 D.-243(2)(2019广东六校第三次联考)设数列bn=ancos的前n项和为Sn,已知S2017=5710,S2018=4030,若数列{an}为等差数列,则S2019=

.

A666

整理ppt-28-突破点一突破点二突破点三突破点四∴nSn=2n3-21n2.设f(x)=2x3-21x2(x>0),f'(x)=6x(x-7),当0<x<7时,f'(x)<0,当x>7时,f'(x)>0,故nSn的最小值为f(7)=-343.故选A.整理ppt-29-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)设数列{an}是公差为d的等差数列,

由S2017=5710,S2018=4030,

则an=a2018+(n-2018)×4=4n-4712,可得S2019=4030-a2019=4030-(4×2019-4712)=666.故答案为666.整理ppt-30-核心归纳预测演练整理ppt-31-核心归纳预测演练1.(2019安徽安庆二模)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a4+a6=12,则S7=(

)A.20 B.28 C.36 D.4B解析:在等差数列{an}中,a2+a4+a6=3a4=12,a4=4,整理ppt-32-核心归纳预测演练2.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(

)A.21 B.42 C.63 D.84B∴a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.整理ppt-33-核心归纳预测演练3.(2019广东潮州质检)在等比数列{an}中,已知a4=8a1,且a1,a2+1,a3成等差数列,则{an}的前5项和为(

)A.31 B.62 C.64 D.128B解析:设等比数列{an}的公比为q,∵a4=8a1,∴a1q3=8a1,a1≠0,解得q=2.又a1,a2+1,