第八章-随机解释变量问题

◆学习目的了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果、克服的方法。◆基本要求1)认识到随机解释变量问题是计量经济学建模经常会遇到的问题;2)了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果;3)掌握存在随机解释变量问题时的计量经济学建模方法及应用。第八章随机解释变量问题主讲人：杨君

一、线性回归模型的基本假设

假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布i~N(0,2)i=1,2,…,n回顾

1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;2、如果假设4满足，则假设2也满足。注意：

以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

回顾

普通最小二乘估计量（ordinaryleastSquaresEstimators）称为最佳线性无偏估计量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）

高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。回顾◆随机解释变量问题及其产生原因◆随机解释变量的影响◆随机解释变量问题的修正第八章随机解释变量问题第一节随机解释变量问题及其产生原因—、随机解释变量问题

在很多情况下，我们不能假定解释变量全部是确定性变量，而实际上它们有的是随机变量，我们把违背这一基本假设的问题称为随机解释变量问题。对于模型

其基本假设之一是解释变量X1，X2，…，Xk都是确定性变量。如果存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问题。例:为讨论方便，假设(8-1)式中X2为随机解释变量。

1.随机解释变量与随机误差项独立(Independence)

2.

随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneouslyuncorrelated)，但异期相关。

3.随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneouslycorrelated)。

实际经济问题中的随机解释变量问题

在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。于是随机解释变量问题主要表现于：用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。但是，并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来“随机解释变量问题”二、随机解释变量问题产生的原因耐用品存量调整模型。著名的“耐用品存量调整模型”可表示为例8-1:

该模型表示，耐用品的存量

由前一个时期的存量

和当期收入

共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不

只与

相关，与

不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。

存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量

（2）合理预期的消费函数模型

合理预期理论认为消费Ct是由对收入的预期Yte所决定的：

预期收入Yte与实际收入Y间存如下关系的假设

容易推出Ct-1是一随机解释变量，且与(t-t-1)高度相关（Why?）。属于上述第3种情况。第二节随机解释变量的影响

计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机干扰项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。以一元线性回归模型为例进行说明。图8-1

从图形(图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate)了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。对一元线性回归模型在第二章曾得到如下最小二乘估计量：随机解释变量X与随机干扰项的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会不同。分三种不同情况：而,所以同理，所以参数OLS估计量,仍然是无偏一致估计量1、如果X与相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。

2、如果X与同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。

kt的分母中包含不同期的X；由异期相关性知：kt与t相关，因此，但是

注意：

如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，OLS估计量是有偏的、且是非一致的。即使同期无关，其OLS估计量也是有偏的，因为此时肯定出现异期相关。

3、如果X与同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。

第三节随机解释变量问题的修正工具变量的选取工具变量的应用工具变量法估计量的性质

模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计量是有偏的。如果随机解释变量与随机干扰项异期相关，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的方法是工具变量(instrumentvariables)法。一、工具变量的选取——在模型估计过程中被作为工具使用的变量，

用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下条件：1.工具变量Z与所替代的随机解释变量X高度相关，即2.工具变量Z与随机干扰项不相关，即3.工具变量Z与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。

工具变量二、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）

记一元线性回归模型如下：用普通最小二乘法估计模型得正规方程组：

按照工具变量的选择条件选择z为X的工具变量得正规方程组：于是于是

然而，如果Xi与i相关，即使在大样本下，也不存在

(xii)/n0

，则在大样本下也不成立，OLS估计量不具有一致性。由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味着大样本下

(xii)/n0

表明大样本下成立，即OLS估计量具有一致性。

采用工具变量法得到的正规方程组为二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）

其矩阵形式为采用参数估计量得到的正规方程组为（4-22）其中通常，对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。于是Z称为工具变量矩阵。三、工具变量法估计量的性质1．工具变量法估计量是有偏估计量2．工具变量法估计量是一致估计量1．工具变量法估计量是有偏估计量

用工具变量法所求的参数估计量

与总体参数真值

之间的关系为于是因Z和X都是随机变量，在一般情况下，故

上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。这说明工具变量法估计量具一致性。2．工具变量法估计量是一致估计量如果工具变量Z选取恰当，则有

因此，对式（4-23），两边取概率极限得随机解释变量的Eviews操作实例1，已知1978-1998年中国国内生产总值GDP、宏观消费CONS、资本总额CAPI数据。假设最初建立模型为：

CONS=β0+β1GDP+μGDP为随机解释变量，必定与随机误差项相关。——采用工具变量法进行修正操作步骤：１、建立工作文件e4-4-2，建立数据组并输入数据

2、计算CONS=β0+β1GDP+μ的回归结果3、生成残差序列e=resid4、用残差序列e和CAPI做相关分析

E与CAPI的相关系数为-0.0328，说明两者不相关，所以选择CAPI作为GDP的工具变量5、用工具变量进行修正引入工具变量后得到的回归方程为：引入工具变量前得到的回归方程为：(1)在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。注意：几个重要的概念

(2)工具变量并没有替代模型中的解释变量，只是在估计过程中作为“工具”被使用。(3)如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果。(4)OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。

(5)要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事

可以用Xt-1作为原解释变量Xt的工具变量。

案例2：居民总消费模型以居民消费总额JMXF为被解释变量；以GDP和JMXF(-1)为解释变量；进行OLS估计。JMXF(-1)为随机解释变量，且与随机误差项相关；以政府消费ZFXF作为工具变量，进行IV估计。数据OLS估计IV估计估计结果OLS:JMXF=1001.164757+0.1367699684*GDP+0.7238178139*JMXF(-1)IV:JMXF=1059.996753+0.1584492759*GDP+0.6655810226*JMXF(-1)

IV案例：居民总消费模型以居民消费总额JMXF为被解释变量；以GDP和JMXF(-1)为解释变量；进行OLS估计。经分析，GDP可能为随机解释变量，且与随机误差项相关；以政府消费ZFXF作为工具变量，进行IV估计；以政府消费ZFXF和资本形成ZBXC作为工具变量，进行GMM估计。数据解释变量的内生性检验——Hausman检验如果δ显著为0→v与Y同期无关→v与μ同期无关→X与μ同期无关→X是同期外生变量；如果δ显著不为0→v与Y同期相关→v与μ同期相关→X与μ同期相关→X是同期内生变量。Z1外生，与μ不相关选择Z2作为X的工具变量解释变量的内生性检验——Hausman检验如果δ显著为0→v与Y同期无关→v与μ同期无关→X与μ同期无关→X是同期外生变量；如果δ显著不为0→v与Y同期相关→v与μ同期相关→X与μ同期相关→X是同期内生变量。JMXF(-1)外生，与μ不相关分别选择ZFXF与ZBXC作为GDP的工具变量选择ZFXF作为GDP的工具变量检验GDP是否为内生变量做如下方程，求残差项V把残差项V代入方程DependentVariable:JMXFMethod:LeastSquaresDate:09/23/11Time:08:13Sample:19792005Includedobservations:27VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1216.304280.01904.3436500.0002GDP0.3308590.0683944.8375410.0001JMXF(-1)0.2047140.1828071.1198400.2743V0.2977150.0963913.0886270.0052R-squared0.998346Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.998130S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression945.5075Akaikeinfocriterion16.67727Sumsquaredresid20561641Schwarzcriterion16.86925Loglikelihood-221.1432F-statistic4627.565Durbin-Watsonstat1.048512Prob(F-statistic)0.000000由分析结果中的V检验，可知GDP是内生性变量IV估计用ZFXF作为GDP的工具变量进行分析软件操作：EVIEWS-----Quick------EstimateEquationDependentVariable:JMXFMethod:Two-StageLeastSquaresDate:09/23/11Time:08:27Sample(adjusted):19792005Includedobservations:27afteradjustingendpointsInstrumentlist:CZFXFJMXF(-1)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C972.6883321.30333.0273220.0058GDP0.1208470.0419822.8785290.0083JMXF(-1)0.7658610.1114746.8703320.0000R-squared0.997635Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.997437S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression1106.898Sumsquaredresid29405335F-statistic5056.138Durbin-Watsonstat0.517847Prob(F-statistic)0.000000ZFXF作为GDP的工具变量的分析结果：GMM估计用ZFXF和ZBXC作为GDP的工具变量进行分析软件操作：EVIEWS-----Quick------EstimateEquationZFXF和ZBZC作为GDP的工具变量的分析结果：DependentVariable:JMXFMethod:GeneralizedMethodofMomentsBandwidth:Fixed(2)Kernel:BartlettConvergenceachievedafter:2weightmatricies,3totalcoefiterationsInstrumentlist:CZFXFZBXCJMXF(-1)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C975.1255382.97082.5462140.0177GDP0.1218420.0353963.4422640.0021JMXF(-1)0.7631300.0902668.4542180.0000R-squared0.997638Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.997441S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression1106.190Sumsquaredresid29367767Durbin-Watsonstat0.516445J-sta