简单多面体课件北师大版必修

1．2简单多面体学习导航学习目标重点难点重点：棱柱、棱锥及棱台的结构特征．难点：准确运用多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念作出判断．新知初探思维启动1.多面体的概念若干个平面多边形围成的_________叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．几何体做一做判断下列说法是否正确．(1)多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，多面体只有棱柱、棱锥、棱台三类，没有其他情况(

)(2)多面体可以有2个面，3个面，4个面，5个面(

)答案：(1)×

(2)×2.几种简单多面体的比较名称图形结构特征侧面的形状分类棱柱两个面___________，其余各面是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行平行四边形三棱柱四棱柱五棱柱⋮n棱柱正棱柱底面是____________的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)矩形互相平行正多边形名称图形结构特征侧面的形状分类棱锥有一个面是_________，其余各面是______________的三角形的多面体三角形三棱锥四棱锥五棱锥⋮n棱锥正棱锥底面是__________，且各侧面_______的棱锥_______的等腰三角形多边形有一公共顶点正多边形全等全等名称图形结构特征侧面的形状分类棱台用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的几何体，上、下底面是相似图形梯形三棱台四棱台五棱台⋮n棱台正棱台由_________截得的棱台全等的_________平行于正棱锥等腰梯形想一想棱柱一定有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形，反之，是否正确？为什么？提示：不正确．如图所示中的几何体，是由两个等底面的四棱柱组合而成的，它有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但相邻两个侧面的公共边并不都平行，因而这个几何体不是棱柱．典题例证技法归纳

下列说法：(1)棱柱的侧面都是平行四边形；(2)棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；(3)棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；题型探究例1题型一简单多面体的概念(4)各侧面都是全等的等腰三角形的三棱锥必是正三棱锥；(5)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥．其中，正确的有__________．【解析】根据棱柱、棱锥的定义，可以判断(1)(2)正确；对于(3)，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，因此(3)是正确的；正三棱锥必须满足两个条件：一是底面是正三角形，二是各侧面是全等的等腰三角形，二者缺一不可，因此(4)(5)是错误的，只有(1)(2)(3)正确．【答案】

(1)(2)(3)【名师点评】只有理解并掌握好各种简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才能不被各个命题的表面假象所迷惑，从而对问题做出正确的判断．变式训练1.(2012·西安交大附中月考)下列说法：(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；(2)四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；(3)棱锥的各侧棱长相等；(4)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；(5)多面体至少有四个面．其中，错误的是(

)A．(2)(5)

B．(1)(3)(5)C．(1)(3)(4) D．(2)(3)(5)解析：选C.由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，则这个几何体就不是棱锥，故(1)错．四面体就是由四个面所围成的几何体，因此，四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故(2)对．棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，故(3)错．对(4)，如图，当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．对(5)，显然一个图形要成为空间几何体，至少需要四个顶点，而三个顶点能围成一个三角形，当有四个顶点时，易知它围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必为三角形，故(5)是正确的．综上可知，(2)(5)是正确的，而(1)(3)(4)是错误的，故选C.例2题型二空间几何体的识别与辨认

下题中的各图是不是棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、圆锥等几何体？请说明原因．【解】图(1)中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图(2)也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点；图(3)不是圆柱，因为上、下两底面不平行(或不是由一个矩形旋转而成的)；图(4)不是由一个直角三角形旋转而成，故不是圆锥；图(5)截圆锥的平面与底面不平行，故截面与底面之间的几何体不是圆台．【名师点评】在识别空间几何体时，要全面抓住概念及几何体的结构特征，而不要仅根据概念的某一个结论去判断几何体，判断的依据不充分，被假象所迷惑，作出错误的判断．变式训练2.观察下列各图的结构特征，指出其中的棱柱、棱锥和棱台，并进行分类和符号表示．解：图中(1)(2)(3)均为棱柱，其中(1)为四棱柱，记作四棱柱ABCD－A1B1C1D1；(2)为六棱柱，记作六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1；(3)为五棱柱，记作五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1.图中(4)(5)(6)均为棱锥，其中(4)为三棱锥，记作三棱锥P－ABC；(5)为四棱锥，记作四棱锥P－ABCD；(6)为五棱锥，记作五棱锥P－ABCDE.图中(7)(8)均为棱台，其中(7)为四棱台，记作四棱台ABCD－A′B′C′D′；(8)为三棱台，记作三棱台ABC－A1B1C1.例3题型三空间几何体的计算问题

【解】将三棱锥V－ABC沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则AE＋EF＋FA＝AE＋EF＋FA1，3分因为AE＋EF＋FA≥AA1，则线段AA1(即A，E，F，A、四点共线时)的长即为所求△AEF周长的最小值.7分过点V作VD⊥AA1，垂足为D，由VA＝VA1，知D为AA1的中点．名师微博沿侧棱VA剪开展平如图，即将空间问题转化为平面问题解决是立体几何的基本思想方法.【名师点评】求几何体表面上两点间最小距离的步骤(1)将几何体沿着某条棱剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果．互动探究3．本例中的条件“∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°”变为“∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°”，此时截面△AEF周长是否存在最小值？若有，请求出；若没有，请说明理由．解：将三棱锥V－ABC沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示：由于∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，所以展开图中A，V，A1在一条直线上，因为AE＋EF＋FA1≥AA1，当等号成立时，E，F都与V点重合，但此时A，E，F都在棱VA上，形不成三角形．所以，此时截面△AEF的周长不存在最小值．1.如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的是(

)备选例题A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1解析：选C.根据提供的数据，A、B中对应边不成比例，D中对应边相等，故A、B、D一定不是棱台，C中对应边成比例，可能是棱台，故应选C.2.正方体的截面可能是什么形状的图形？解：可能有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形．截面三角形是锐角三角形，但不能是直角三角形、钝角三角形；②截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形，截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行．截面不能是直角梯形；③截面可以是五边形，截面五边形必有平行的边，同时有两个角相等．截面五边形不可能是正五边形；④截面可以是六边形，截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等．截面六边形可以是等角的六边形，特别地，可以是正六边形．对应截面图形如图所示．方法技巧方法感悟1．柱体、锥体、台体之间的关系2.识别简单几何体的步骤3.要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实