河南理工大学材料力学五弯曲应力

材料力学第五章弯曲应力2023年2月7日§5–1

概述

§5–2

纯弯曲时的正应力§5–3横力弯曲时的正应力§5–4弯曲切应力§5–5

提高梁强度的主要措施第五章弯曲应力§5–1

概述

一、平面弯曲纵向对称面P1P25.1

概述二、纯弯曲

图示梁AB段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为纯弯曲。

CA与BD

段横截面上即有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为横力弯曲。FFaaCD++FF+F.a图5-1AB5.1

概述§5–2

纯弯曲时的正应力⒈实验现象一、变形几何关系5.2

纯弯曲时的正应力abcdMMbdac

⑴纵向直线代表一层纤维，变形后为平行曲线。每层变成曲面，同层纤维变形相同。下层纤维受拉伸长，上层纤维受压缩短；层间变形连续，中间必有一层即不伸长也不缩短，称为中性层。

⑵横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。5.2

纯弯曲时的正应力⒉基本假设⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形后的轴线正交；

⑵层间纤维无挤压。5.2

纯弯曲时的正应力

纵向线bb变形后的长度为:

bb变形前的长度等于中性层

纵向线bb的应变为即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。

中性层长度不变,所以3、变形几何关系

5.2

纯弯曲时的正应力2、物理关系

因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。5.2

纯弯曲时的正应力3、静力学关系

对横截面上的内力系，有:根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M，

即：

yyxzdAzC5.2

纯弯曲时的正应力由:

z

轴通过形心即：中性轴通过形心。由:因为y轴是对称轴，上式自然满足。5.2

纯弯曲时的正应力EIz

梁的抗弯刚度将上式代入由:将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。5.2

纯弯曲时的正应力在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。令:式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。CzdCzbh/2h/2zdCD5.2

纯弯曲时的正应力观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论

(1)应用公式时,一般将M,y

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处则公式改写为引用记号——抗弯截面系数（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdyzy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力§5–3

横力弯曲时的正应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为5.3

横力弯曲时的正应力一、公式的应用范围

1、

在弹性范围内3、平面弯曲4、直梁2、具有切应力的梁二、强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力5.3

横力弯曲时的正应力强度条件的应用(2)设计截面(3)确定许可载荷(1)强度校核对于铸铁等

脆性材料制成的梁,由于材料的且梁横截面的中性轴

一般也不是对称轴,所以梁的(两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力5.3

横力弯曲时的正应力例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解

(1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa(2)求惯性矩，抗弯截面系数(3)求许可载荷5.3

横力弯曲时的正应力80y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为[t]=30MPa,抗压许用应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m5.3

横力弯曲时的正应力RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kNm2.5kNm解最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z5.3

横力弯曲时的正应力例3:图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的容许正应力[]=10MPa，容许切应力[]=2MPa。试校核该梁的强度。AB3m1mFA=5kNdFB=10kN解：求支座反力；画剪力图和弯矩图；

最大正应力发生在距A端1.25m截面的上下边缘； Fs图⊕⊕○－5kN3kN7kN1.25m5.3

横力弯曲时的正应力AB3m1mFA=5kNdFB=10kN此梁满足正应力强度条件。Fs图⊕⊕○－5kN3kN7kN1.25m5.3

横力弯曲时的正应力一、梁横截面上的切应力1、矩形截面梁

§5–4

梁的切应力及强度条件

(1)两个假设(a)切应力与剪力平行(b)切应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处切应力相等)

q(x)F1F2mnnmxyzobdxm’m’hn(2)分析方法(a)用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等.(b)假想地从梁段上截出体积元素mB1在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1dxmnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’(c)在纵截面上必有沿x

方向的切向内力dFs’.故在此面上就有切应力τ,ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’根据假设横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’(3)公式推导假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM.两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积式中：为面积A*对中性轴的静矩.dx化简后得由平衡方程A*ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩(4)切应力沿截面高度的变化规律沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定y1nBmAxyzOyA1B1m1可见,切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处)τ=0y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值式中,A=bh,为矩形截面的面积.z截面静矩的计算方法A*为截面面积为截面的形心坐标A*2、工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为HoyBxbzhd

——腹板的厚度Ozydxy——距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.τminozyτmaxτmax(a)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.(b)最大剪应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大剪应力.ozyτminτmax式中——中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.ydzo假设(a)沿宽度kk’上各点处的剪应力均汇交于o’点.(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3、圆截面梁最大剪应力发生在中性轴上ydzo式中为圆截面的面积4、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为,环的平均半径为r0,由于

«r0故可假设(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化.(b)剪应力的方向与圆周相切.zyr0δ式中A=2r0为环形截面的面积横截面上最大的剪应力发生中性轴上,其值为zyr0δ二、强度条件三、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短,M

较小,而FS较大时,要校核剪应力.（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核切应力.（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力.F例题4一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁力P在梁中间位置时有最大正应力.(a)正应力强度校核由型钢表查得20a工字钢的所以梁的最大正应力为+FSmax5mABFC(b)切应力强度校核在计算最大剪应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中,20a号工字钢,有d=7mm据此校核梁的剪应力强度以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.解(1)计算支反力做内力图.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例题5简支梁AB如图所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的载荷为q＝10kN/m,F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,试选择工字钢型号.(2)根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表,选用22a工字钢,其Wz＝309cm3（3）校核梁的切应力腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN查表得τmax超过[τ]很多，应重新选择更大的界面.现已25b工字钢进行试算查表得d=1cm所以应选用型号为25b的工字钢.例题6对于图中的吊车大梁,现因移动荷载F增加为50kN,故在20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力[]=152MPa,许用剪应力[]=95MPa.试校核此梁的强度.2.2m200z22012010解加强后的梁是阶梯状变截面梁.所以要校核(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力(2)F靠近支座时支座截面上的剪应力(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力(1)校核F位于跨中时截面时的弯曲正应力查表得20a工字钢F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大弯矩值为跨中截面对中性轴的惯性矩为200z22012010略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.抗弯截面系数(2)校核突变截面处的正应力,也就是校核未加强段的正应力强度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA50.4kN.m该截面上的弯矩为最大从型钢表中查得20a工字钢梁不能满足正应力强度条件.为此应将加强板适当延长.(3)校核阶梯梁的切应力F靠近任一支座时,支座截面为不利荷载位置请同学们自行完成计算.§5–5提高梁强度的主要措施一、降低梁的最大弯矩值1、合理地布置梁的荷载按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件FlFl/4Fl/8Fl/4l/4l/22、合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动a=0.207l

时aalq0.0214ql2lqql2/2二、增大Wz1、合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaaa12a1z工字形截面与框形截面类似.0.8a2a21.6a22a2z2、合理的放置Fbhbh2、对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧.三、根据材料特性选择截面形状1、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面zy1y2σcmaxσtmax要使y1/y2接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力四、采用等强度梁梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力,则称为等强度梁.例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁,若设计成等强度梁,则其高度随截面位置的变化规律h(x),可按正应力强度条件求得.bh(x)zFl/2l/2梁任一横截面上最大正应力为求得但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度求得bh(x)zFl/2l/2按上确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.F例题4

Dd直径为d的钢丝绳缠绕在直径为D的圆柱上，已知钢材料的屈服极限为，若使钢丝绳缠绕后不产生塑性变形，D的最小值应为多少？解：5.3

横力弯曲时的正应力例5

简支梁由两块木板组成（未粘接），两板光滑接触，求梁的应力。解:各板平面假设成立即解得5.3

横力弯曲时的正应力如，则粘接后，5.3

横力弯曲时的正应力思5—1.图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。思5—2.简支梁受均布荷载，求梁下边缘的伸长量。5.3

横力弯曲时的正应力思5—3.图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E=10GPa，求载荷F的大小。思6—4.我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。目录5.3

横力弯曲时的正应力§5–4

弯曲切应力横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。一、矩形截面切应力基本假设：⑴截面上各点切应力与剪力同向；⑵切应力沿截面宽度均匀分布。q(x)F1F25.4

弯曲切应力在梁上截一微段dx，再在微段上用水平截面mn截一微元。FsFsMM+dM1122dxmnq(x)F1F2mmnnxdx1‘dx2mnzyh/25.4

弯曲切应力1‘dx2mnzyh/212‘yy1bdAFN1FN212dxmnyxz平衡条件：5.4

弯曲切应力‘yy1bdAN1N212dxmnyxz同理得因于是得得代入平衡方程得5.4

弯曲切应力式中为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。C*byy*h/2h/2zmax横截面各点切应力沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。5.4

弯曲切应力5.4

弯曲切应力假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为hoybxb0zh0翼缘腹板二、工字形截面的切应力腹板的切应力5.4

弯曲切应力b——腹板的厚度Ozydxy——距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.5.4

弯曲切应力Bzb5.4

弯曲切应力假设(a)沿宽度kk’上各点处的剪应力均汇交于o’点.(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切.3、圆截面梁最大剪应力发生在中性轴上式中为圆截面的面积ydzo5.4

弯曲切应力4、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为,环的平均半径为r0,由于

«r0故可假设(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化.(b)剪应力的方向与圆周相切.式中A=2r0为环形截面的面积横截面上最大的剪应力发生中性轴上,其值为zyr0δ5.4

弯曲切应力二、强度条件三、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短,M

较小,而FS较大时,要校核剪应力；（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核剪应力；（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力。5.4

弯曲切应力实心矩形截面梁正应力与切应力的比较所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。5.4

弯曲切应力F例题6图示简易起重设备，F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成，许用正应力[]=170MPa,许用剪应力[]=100MPa，试校核梁的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁力F

在梁中间位置时有最大正应力.(a)正应力强度校核由型钢表查得20a工字钢的所以梁的最大正应力为5.4

弯曲切应力+FSmax5mABFC在计算最大剪应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中,20a号工字钢,有d=7mm据此校核梁的剪应力强度以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.5.4

弯曲切应力解(1)计算支反力做内力图.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例题7简支梁AB如图所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的载荷为q＝10kN/m,F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,试选择工字钢型号.(2)根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表,选用22a工字钢,其Wz＝309cm35.4

弯曲切应力（3）校核梁的切应力腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN查表得τmax超过[τ]很多，应重新选择更大的界面.现已25b工字钢进行试算查表得d=1cm所以应选用型号为25b的工字钢.5.4

弯曲切应力例8(书例5.4)已知：由木板胶合而成的梁。解：求：胶合面上沿