第二章一维势场中的粒子

（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。第二章一维势场中的粒子

在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger方程来处理一类简单的问题—一维粒子的定态问题。其好处有四：本章要求1.

掌握求解一维定态Schrödinger方程的基本步骤;2.掌握能量量子化，束缚态，宇称，隧道效应，零点能，分立谱，连续谱等概念;第二章一维势场中的粒子本章内容第二章一维势场中的粒子§1一维无限深势阱§2势垒贯穿§3一维谐振子§1§2§3§1

一维无限深方势阱(1)一维无限深方势阱中的粒子A.物理背景

金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒子的运动被限制（束缚）在一定的空间范围内。

为了便于分析，可以对被束缚粒子提出一种简化的理想模型。例如，电子在金属晶格中的运动。对于各向同性的晶体，三维可作一维研究。第一次简化：一维晶格中电子的势能曲线

如果直接用此曲线表示的势能带入薛定谔方程中，就形成一个相当困难的数学问题。第二次简化：用平均势能代替晶格势能(这一步的实质是不考虑电子间、电子与晶格离子间的相互作用，这样的电子就相当于理想气体分子－自由电子气。)第三次简化：将平均势能作为零势能将表面势能视为无限大(势能零点的选取有任意性)无限深势阱

求解步骤：①列出各区域的一维定态Schrödinger方程②解方程③使用波函数标准条件、边界条件定解④用归一化条件定归一化系数V(x)0a……x（a

势阱宽度）B.无限深势阱中粒子的势能函数以及薛定谔方程求解①

列出各区域的定态Schrödinger方程

势阱内（0<x<a）

势阱外（x<0；x>

a）②求解定态Schrödinger方程方程(2)的解方程(1)中，令，则方程(1)写为

理由：因势阱壁无限高(V)，粒子不能穿透势壁，故势阱外的波函数必定为0。其解(A、待定常数)③使用波函数标准化条件确定方程的定解根据波函数连续性条件，阱壁上波函数应连续：(n=0，≡0；n取负值不给出新解，因为与取正值给出的波函数描述同一量子态)(3)

即势阱中粒子的能量（本征值）只能取离散值，所得到的波函数才满足物理上的要求。对应本征值En的波函数（能量本征函数）④

确定归一化系数归一化条件(取实数)最后,势阱中粒子的波函数(能量本征函数)：能量本征值：（4）（3）

总的定态波函数应乘上时间部分

由(3)式，处于束缚态的粒子，其能量(本征值)是量子化的，n是量子数，其能谱(能级)呈分立结构。(2)讨论

(4)式表明，粒子束缚于有限空间中(即势阱内)运动，在无限远处找到粒子的概率为0（无限远处波函数

=0)。这样的状态，称为束缚态(boundstate)。能级间隔，当势阱宽度越窄，能级间隔越大，量子化越显著；反之，宽度越大，能级间隔越小，当a，E0，其能谱可视为连续。因此量子性显著表现于空间很小的微观现象中（量子小尺寸效应）。基态(n=1)：能量最低的基态能量称为零点能，不等于零，与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现

能量最低的态称为基态(n=1)，其上为第一激发态(n=2)、第二激发态(n=3)，依次类推。

除端点(x=0,a)外，基态波函数无节点，第一激发态有一个节点，第二激发态有二个节点，第m激发态（量子数n=m+1）有m个节点。(节点即波函数的零点)驻波！

粒子在阱中的概率分布经典力学的结果：粒子在阱内作匀速运动(阱内势场为0)，E、p不变，粒子在阱内各点将均匀分布。量子力学的结果：

n=1，粒子出现在阱底中部的概率最大，两端的概率为零。当系统处于激发态，n=2,3…粒子在阱中的分布出现起伏节点n=1n=2n=3ax

随着量子数的增大（激发能级高），概率密度曲线的峰值增多，同时峰值间距缩小。

当量子数n

很大时，相邻峰值间距很小，几乎连成一片，就非常接近均匀分布了。(量子效应消失，趋近经典结果)n=7n=8n=9ax量子性显著表现在低能现象中。

若取无限深方势阱的中心为坐标原点，即。（a

势阱宽度）0a/2V(x)……x-a/2可以证明粒子的能量仍为(3)式但波函数表示为合并为：【对比(4)式，相当于坐标右平移a/2】

波函数具有这种确定的宇称是由势能对原点的对称性决定的（偶宇称）（奇宇称）宇称(Parity)定义空间反射(反演)算符

：(空间坐标r－r)称波函数具有正宇称（或偶宇称）称波函数具有负宇称（或奇宇称）坐标反演后，若则波函数没有确定的宇称P

又称宇称算符宇称算符的本征值？－＋－＋－＋－＋＋＋－－－npEcEv空间电荷区势垒区势垒高度图：p-n结的空间电荷区及能带图n区的电子要到达p区，必须越过空间电荷区，克服其中的内建电场；从能带图上，电子必须爬过一势能“高坡”才能到达p区，这一势能高坡就称为p-n结的势垒。§2

势垒贯穿(1)势垒的例子外加偏压小于结势垒时，电子能过去吗？V00

aⅠⅡⅢ粒子能量E(2)势垒函数（数学模型）p-n结势垒可简化为一维方势垒模型：（a

势垒宽度；V0

势垒高度）深势阱不同的是，对于势垒问题，其势能在无限远处有限(这里取0)，此时粒子可以在无限远处出现，即波函数在无限远处不为0，因此粒子的状态不属束缚态，其能量可取任意值，组成连续谱。这类问题属粒子被势场散射问题，即粒子由无穷远来经势场散射后又回到无穷远。所以本节讨论的是粒子的散射态。考虑粒子由左侧射入势垒。与无限

按经典理论（对于方势垒）若E<V0，粒子不能越过势垒，全部被反射回去；若E>V0，粒子能穿越势场，全部透射而无反射；V00

aⅠⅡⅢ粒子能量E

按量子力学的结论若E<V0，粒子既能透射也能反射(有一定的概率)；若E>V0，粒子既能透射也能反射(有一定的概率)；V00

aⅠⅡⅢ粒子能量E散射效应（波粒二象性之体现）A.先考虑E<V0

的情况(3)求解定态薛定谔方程Ⅲ区Ⅰ区Ⅱ区电子在各区域所满足的定态薛定谔方程为

因为0<E<V0，所以k1、k2均为正实数。Ⅲ区Ⅰ区Ⅱ区三个区域的波函数分别为而Ⅲ区只可能存在透射波，故V00

aⅠⅡⅢE定态波函数1,

2,3分别乘以含时因子exp[-iEt/]

即可看出1、3两式中：

代表右行平面波，代表左行波(反射波)根据势垒边界（x=0及x=a）上波函数及其导数连续性条件确定系数：在x=0处(5)(6)x=a处类似地(7)(8)联立(5)~(8)，可以解出反射波振幅B1、透射波振幅A3（其中，入射波振幅A1

视为参量）：不管能量为多少,方程总有解,故能谱为连续谱（k1、k2连续取值）。概率流密度矢量：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~则入射波概率流密度（入射波函数）（反射波函数）透射波概率流密度（透射波函数）反射波概率流密度(负号表示与入射波方向相反)定义透射系数T透射波概率流密度与入射波概率流密度之比反射系数R反射波概率流密度与入射波概率流密度之比T的意义：与x垂直的单位面积上，单位时间内贯穿到x>a(III区)的粒子数目与射入x<0(I区)的粒子数目之比，即粒子穿透势垒的概率。R的意义：粒子被势垒反弹的概率。透射系数反射系数（9）显然（10）（9）式表明，在E<V0时，透射系数T不为0。隧道效应（tunneleffect）粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象。它是粒子具有波动性的表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。0axV0入射波+反射波透射波势垒穿透的波动图象经典量子隧道效应讨论：⑴如果粒子的能量E较小，导致k2a>>1则(9)式近似为其中显然，粒子的透射系数(隧道概率)T随势垒的宽度a、高度V0以及粒子质量m的增加而迅速减小。（11）粒子类型粒子能量势垒高度势垒宽度透射系数电子0.5eV0.7eV10×10-10m0.5eV0.7eV5×10-10m质子0.5eV0.7eV5×10-10m0.0320.329.2×10-43注：硅基PN结的导通电压~0.7V0a

bV(x)Ex可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。（2）任意形状的势垒对每一小方势垒透射系数则贯穿势垒区(ab)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积dxB.再考虑E>

V0

的情况此时为虚数，只需k2ik3前面的推导依然有效。（注意到sh(ik3a)=isink3a）讨论：⑴以上三式表明，粒子能量大于势垒高度时，粒子一部分贯穿势垒，一部分被势垒反弹回去。(2)共振透射物理理解:

若入射粒子能量合适,在两势垒壁经过多次反射后透射出去的波相位相同，彼此相干叠加，使透射波幅大增，从而出现共振透射。若有（势垒中粒子波长）

隧道二极管（江崎二极管）npEcEv－势垒区EF热平衡下隧道结能带图隧道效应是1958年日本江崎玲於奈在研究重掺杂锗PN结时发现的，故隧道二极管又称江崎二极管。其掺杂必须浓度大，以使p-n结能带图中费米能级进入n区导带和p区价带；p-n结的厚度还必须足够薄（150埃左右），使电子能够直接从n区穿透势垒进入P区。这样的结又称隧道结。(4)隧道效应的应用EcEv小正向电压下隧道结能带图－EF

隧道二极管的主要特点是它的正向电流－电压特性具有负阻现象。这种负阻是基于电子的量子力学隧道效应，所以隧道二极管开关速度达皮秒量级,工作频率高达100吉赫。隧道二极管还具有小功耗和低噪声等特点。隧道二极管可用于微波混频、检波（这时应适当减轻掺杂，制成反向二极管），低噪声放大、振荡等。由于功耗小，所以适用于卫星微波设备。还可用于超高速开关逻辑电路、触发器和存储电路等。(4)隧道效应的应用

p-n结隧道击穿（齐纳击穿）lx0(b)p-n结的三角形势垒p-n结加反向偏压时，势垒区能带发生倾斜。反向偏压越大，能带越倾斜，甚至出现n区导带底低于p区价带顶的情况，此时A、B两点能量相同，为电子穿越势垒创造条件。npEcEv－势垒区E(a)大反向偏压下p-n结能带图ABlx

隧道长度lxEg

随著能带的倾斜，隧道长度lx越来越薄，当反向偏压达到一定值，lx

短到一定程度时，隧道概率大增，p区价带中大量的电子将通过隧道效应穿越势垒(禁带)到达n区的导带（i.e.AB），使得反向电流激增，于是p-n结发生隧道击穿。依据(11)式，隧道概率为假定E=0，结果(4)隧道效应的应用扫描隧道显微镜（STM）

由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。只要将具有原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近（<1nm）时，它们的表面电子云就可能重叠。扫描隧道显微镜（STM）装置示意图U0U0U0样品针尖dE电子云重叠

这时，若在样品与针尖之间加一微小电压Ub，电子在外电场作用下就会穿过两极间的绝缘层流向另一极，产生隧道电流，并通过反馈电路传递到计算机上表现出来。隧道电流iABUbd探针样品A—常量—样品表面平均势垒高度（~eV）d~1nmd

变i

变，反映表面情况。d变~0.1nm

隧道电流

i变几十倍，非常灵敏。反馈电路

如果控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏；

如果控制针尖的高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。

STM具有原子级分辨率，可分辨出单个原子；具有直接观测的性能，有利于对表面反应、扩散等动态过程的研究；还可得到单原子层表面的局部结构，直接绘出表面的三维图象，直接观测到局部的表面缺陷、表面重构、表面吸附体的形态和位置，以及由吸附体引起的表面重构等。竖直分辨本领可达约102nm；

横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关，在真空中可达0.2nm。STM在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。被国际科学界公认为20世纪80年代世界19大科技成就之一。STM显示的生物DNA分子表面图像用STM得到的神经细胞象硅表面77重构图象中国科学院科学家的“原子书法”

在石墨表面上刻蚀的出来最小的中国地图（纳米量级）

在硅单晶表面上提走硅原子形成宽度为2纳米的线条字样操纵原子已不是梦“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米

用STM移动48个Fe原子到Cu表面上构成的“量子围栏”§3

一维谐振子(1)一维谐振子的势能函数一维运动的简谐振子（线性谐振子）其势能（m

振子质量；ω

固有频率）代表在其平衡位置(稳定平衡点)附近的简谐振动。

谐振子模型在很多问题中有重要应用，例如，分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似看成在其平衡位置附近作简谐振动的谐振子。

作谐振动的粒子就称谐振子

双原子分子中两个原子之间的势能V是两原子之间距离x的函数（如图）。其中x=x0处

在x=x0处，势能有一极小值，这是个稳定平衡点。在这点附近，V(x)可以展成(x－x0)的幂级数进一步有（取平衡点为原点和势能零点）

经典物理中，谐振子的能量E(=p2/2m+V)可以具有任意连续的值。那么，量子力学的结果又如何呢？

其实，物理上任何复杂的振动体系都可看成许多谐振子的集合（叠加），因此讨论谐振子问题十分重要。(2)定态薛定谔方程及其求解线性谐振子的Hamilton量：定态薛定谔方程引入无量纲变量可将薛定谔方程改写为这是一个变系数的二阶微分方程。求解策略：“抓两头，带中间”“抓两头”指先看方程在“两头”的渐进行为。3维情况下是看在零点和无穷远点的渐进行为；1维则看正负无穷远点的渐进行为。“带中间”指对波函数做变换，使之在两头有渐进行为规定的形式。（12）“抓两头”

考察方程(12)在时，解的渐进行为。此时<<2，方程(12)近似为其解方程(12)的渐进解（时的解）由于波函数标准化条件要求时，应有限，故方程(12)的渐进解应取“带中间”对波函数做变换使波函数具有渐进行为规定的形式。函数H()应满足①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证(ξ)→0上式代人方程(12)，得到H()满足的方程下面只需确定函数H()的形式。使用级数解法，将H()展开成的幂级数：可以证明，这个级数必须在某项处中断为有限项，才能保证解的渐进行为：（13）而级数为有限项（多项式）的条件就是相应的多项式称为厄米(Hermite)多项式。（n项后面的项中断）~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~厄米多项式的性质1.Hn()可以表示成2.正交性3.递推公式4.最低阶的几个厄米多项式H0=1H1=2ξH2=4ξ2-2H3=8ξ3-12ξ这正是普朗克在解释黑体辐射时的观点！表明谐振子的能量是分立的（量子化的）！且相邻两能级间隔谐振子