第十五章2位移法b

第十五章位移法

1主要内容1位移法基本概念2位移法的基本结构和基本未知量3等截面直杆的转角位移方程4位移法典型方程5直接利用平衡条件建立位移法方程6位移法与力法联合应用2§15.6直接利用平衡条件建立位移法方程

我们知道位移法典型方程反映了原结构在结点处的静力平衡条件，因此我们也可以不通过基本结构，而直接利用转角位移方程和静力平衡条件建立位移法方程。下面举例说明。例4如图示刚架，做M图。图(a)2ll=4mq=3kN/mABCD2iii解：(1)基本未知量2个，如图(b)所示。图(b)ABCDZ1Z2MABMBAABFQABFQBAxyAB杆：

，，(2)利用转角位移方程写出杆端力(a)两端为固定

3CDxMDCFQDCFQCDyBCyFQBCFQCBMBCxDC杆：

，(B端铰支)BC杆：

，(B端铰支)图(b)ABCDZ1Z2(b)A端为固定，B端铰支

(3)建立位移法方程MBAMBCB由B结点力矩平衡得4FQBABCFQCD由BC横梁得把有关表达式代入上式整理得解之得；(4)回代求出杆端弯矩M图如图(c)所示。图(c)M图(kN.m)5.684.424.4213.8965.684.424.4213.896图(c)M图(kN.m)5例5如图示刚架，做M图。2iqABCDEF4i4i5i2i图(a)llll解：(1)本题为无侧移刚架，基本未知量2个Z1Z2图(b)如图(b)所示。(2)杆端弯矩AB杆：B=Z1，AB=0，A端铰支(b)A端为固定，B端铰支

CD杆：A=Z2，AB=0，B端铰支BC杆：A=Z1，B=Z2

，AB=0(a)两端为固定

6BE杆：A=0，B=Z1

，AB=0；CF杆：A=0，B=Z2，AB=02iqABCDEF4i4i5i2i图(a)llllZ1Z2图(b)(a)两端为固定

(3)建立位移法方程BMBAMBEMBC由MB=0得CMCBMCFMCD由MC=0得将有关表达式代入上式整理得7解之得；(4)回代求出杆端弯矩M图如图(c)所示。图(c)M图(ql2)0.1250.1250.0020.0040.0080.0160.0230.0390.1140.118图(c)M图(ql2)0.1250.1250.0020.0040.0080.0160.0230.0390.1140.1188

例：如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设4、位移法基本方程（平衡条件）916.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列杆端转角位移方程4、位移法基本方程5、各杆端弯矩及弯矩图M图(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；(2)物理条件:即刚度方程；(3)平衡条件:即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件:10例、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）杆端弯矩Mi

j计算线性刚度i，设EI0=1，则梁11柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。12(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图131、基本未知量θB、θC2、列杆端力表达式令EI=1mkN=.40mkN-=.7.41CCCFMqq=·=25.04BBEBMqq=·=5.175.02CBCBMqq++=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=·=5.02CCDMq=33、列位移法方程0=++=åCFCDCBCMMMM0=++=åBEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=++CBqq4、解方程θB=1.15θC=－4.89=43.5=－46.9=24.5=－14.7=－9.78=－4.89=1.7MBAMBCMBE用直接平衡法计算超静定结构4I4I5I3I3I5m4m4m4m2mCABDEF20kN/m1110.750.5i=1110.750.5BBBEMqq=·=375.04=3.45、计算杆端弯矩146、画M图43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)CABDEF15MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例.用位移法分析图示刚架。[解]（1）基本未知量B、（2）单元分析BC8m4mii2iABCD3kN/m16MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程QBA+QCD=0…………...(2a)QBAQCD（4）解位移法方程17（4）解位移法方程（5）弯矩图MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mQBA=-1.42kNQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）18小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC19§15-9对称结构的计算PPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。NQ20一、单数跨(1)对称荷载Δ1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11Δ1+F1P=0(2)反对称荷载PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反弯点ABZ3Δ1ABEl/2q21二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM=Q=0PPIN=0PP反弯点P无限短跨+PP(2)反对称荷载22↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI24242472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)4823↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mX1444M196MP↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEIEI4m4m24

2472M反对称↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m等代结构2472=124↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEI4m4m等代结构ACBMMMACABA0=+=åiA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=qiMABA162-=q=－20kN.m=8kN.m=－8kN.m=－4kN.m2084208M对称25↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m↓↓↓↓↓↓↓12kN/mi=1i=1ACBACAM2q=AACMq=4ABAMq+=162Aq-=164AABMq×-=12412420=+=åACABAMMM20168==-AAqqMABMACA=－8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M图(kN.m)1）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同水平跨度同荷载的水平梁弯矩图相同。2）对称结构在对称荷载作用下，与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。26力法、位移法对比基本未知量：多余约束力基本结构：一般为静定结构。作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。建立力法方程（协调）基本未知量：结点独立位移基本结构：单跨梁系作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）

解方程求多余未知力迭加作内力图用变形条件进行校核

解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核不能解静定结构可以解静定结构力法位移法27§17.7位移法与力法联合应用

前面介绍了求解超静定问题的两种基本方法，力法和位移法，在实际问题中，应采用哪种方法比较方便，要根据实际情况，计算工作量的大小，选择最简单的方法进行计算。

如图(a)所示对称结构，受一般荷载作用。利用对称性可将荷载分解成两组：对称荷载和反对称荷载两种情况。2Fp图(a)=FpFp图(b)+FpFp图(c)Fp图(d)正对称荷载部分：力法分析时有两个基本未知量，位移法分析时有一个基本未知量，因此采用位移法计算较为方便。Fp图(e)反对称荷载部分：力法分析时有一个基本未知量，位移法分析时有两个基本未知量，因此采用力法计算较为方便。若横梁的EI=时，正对称荷载作用部分采用位移法求解时的基本未知量是多少呢？28

象这样利用结构的对称性，把荷载分解为正对称和反对称两种情况，分别采用位移法和力法求解，可使计算得到简化，这样的分析问题方法称为联合法。

上述联合法是分别应用于不同的结构，也可以把位移法和力法混合在一起分析一个结构。如图(g)所示结构图(g)AB

左半部分用力法分析时基本未知量数目较少（力法分析时一个基本未知