第6章连续型随机变量的分布

第六章

连续型随机变量的概率分布正态分布卡方分布t分布F分布第一节正态分布一、正态分布的定义和性质在自然、社会和经济等领域内，有许多现象服从一定的分布规律，例如身高、体重、一片森林的高度、学生成绩、人的智商、测量误差、海浪高度等等随机变量，我们将这类分布叫做正态分布(Normaldistribution)，又叫常态分布、高斯分布。正态分布是参数估计和假设检验的理论基础。不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，其样本平均数的抽样分布也必然接近正态分布，这就是有名的中心极限定理。可以说，在各类分布中，正态分布居于首要的地位。正态分布的图形与数学形式从数学表达式可以看出，当

确定之后，正态曲线的图形也就唯一的被确定了。一般正态分布记为正态分布的性质：P109二、正态曲线下的面积可见，对于所有的正态分布而言，约三分之二的个案散落在

一个标准差的范围内，而超过95％的个体聚集在两个标准差的范围内。【例1】班里语文考试成绩服从正态分布，平均成绩80分，标准差10分，学生甲70分，学生乙得60分，问分别有百分之多少的学生比甲、乙分数低？【解】对于甲学生而言，与平均成绩的差距＝10分＝S则有34.13%的同学在70分－80分之间，因为只有50％的同学低于80分，所以低于70分的同学的百分比为：50％－34.13％＝15.87%同理，乙离开平均分的差距＝20分＝2S则有47.72%的同学在60分到80分之间，因为只有50％的同学地域80分，所以低于60分的同学的百分比为：50％－47.73％＝2.27％【例2】高考在山东和甘肃是统一命题考试的。某高校计划在山东、甘肃各录取前0.13％的考生。假设考生的成绩在两个省都呈正态分布，山东平均分＝75分，标准差＝6分，甘肃平均分＝65分，标准差＝8分。如果一名考生靠了90分，那么他会被录取吗？【解】录取前0.13%的学生，即录取位于高于平均分3个标准差的考生。则山东：75＋18=93甘肃：65＋24=89在山东不会被录取，在甘肃则会被录取。三、标准正态分布在上个例题中，我们发现，要确定变量值的相对位置，要先确定这个值到均值的距离可以换算为几个标准差。标准正态分布的变量值的单位是标准差，是以距离均值的标准差的比例数来衡量。所有的变量值都可以通过这个公式转换成标准正态分布的变量值。这里的变量X变成了Z。标准差就是Z的单位。Z可以称之为标准分（StandardScores）。标准正态分布的公式为：比较原来的正态分布公式，我们可以看出，标准正态分布的均值等于0，标准差＝1，简单记作Z～N(0,1)。标准正态分布是没有参数的，永远是一个已知的分布。对于任何一个正态分布而言，只要知道均值和标准差，都可以和标准正态分布之间来回转化。p(-1≤z≤1)=0.6827p(-2≤z≤2)=0.9545p(-3≤z≤3)=0.9973【讨论】将取值转换成标准分，关键在于保留原取值的“相对位置”的因素，当然标准分无法描述绝对水平的高低。以考试成绩为例，标准分无法直接描述考试成绩，而是描述该成绩的相对位置。换句话说，甲学生比乙学生标准分高1分，只是说明甲在分数分布中的位置比乙高出一定的百分数，并不表示甲的绝对成绩就比乙高1分，而是高一个标准差。如果原分布的标准差小，1分表示一个比较大的差距，如果原分布的标准差大，则1分表示一个相对小的差距。对于两个不同的原初分布，比如不同学科，标准分相同，不代表原始分相同。因为在标准分中，只要是第一名就是100分，而不管原始分是多少。【例2】高考在山东和甘肃是统一命题考试的。某高校计划在山东、甘肃各录取前0.13％的考生。假设考生的成绩在两个省都呈正态分布，山东平均分＝75分，标准差＝6分，甘肃平均分＝65分，标准差＝8分。如果一名考生靠了90分，那么他会被录取吗？【解】我们先计算标准分：山东：甘肃：查标准正态分布表，p325，因为每一个Z值都可以直接找到正态分布表中的面积。查表得，山东的考生位于前0.62%的位置，而甘肃的考试位于高于0.13％的位置，所以在山东不会被录取，在甘肃则会被录取。四、正态分布表在各种统计学教科书的附录中以及数学手册中，都列有正态分布表，表中以某种形式详细给出了服从标准正态分布的变量Z的各种值的分布频率，即给出了变量Z小于各待查值的频率，但是具体的又不尽相同，比如卢淑华的教材Z分布表是指负无穷到Z的概率分布，而张彦教材是从0－Z。正态分布的计算方式（1）负值概率P(－Z0)＝0.5－F(Z0)

如P（Z≤－1.3）=1－P(1.3)=1-0.9032=0.0968(2)任意区间：P(Z1≤Z≤Z2)=F(Z2)-F(Z1)(3)P(Z≥Z0)=0.5-F(Z0)(4)P(Z≥-Z0)=0.5+F(Z0)【例题1】【例2】

首先求0.5－0.05＝0.45然后查表可得对应的Z值，介于1.6到1.7之间。【例3】或者0.05的一半为0.025，0.5－0.025＝0.975查表，得Z0＝1.96【例4】根据统计，济南市初婚年龄服从正态分布，其均值是25岁，标准差为5岁，问25到30岁之间结婚的人，其百分数是多少？【解】为了使用正态分布表，首先必须将年龄换算为标准分：

查表得

所以济南市25岁到30岁之间结婚的人百分比是34.13％。五、二项分布的正态近似法二项分布的应用受到了样本n的很大限制，只有当n很小的时候我们才能方便的使用公式计算二项分布。所幸的是，二项分布是以正态分布为极限的。当n很大（≥30）时，只要p或q不近于零，（np，nq都不小于5）我们都可以用正态分布近似的解决二项分布的计算问题。令

，将B（n，p）视为N（np，npq）来计算。参见张彦教材的例题，P114－115页，【7.3.4】【7.3.5】【例7.3.4】在抛掷一枚硬币10次的二项实验中，试以二项分布与二项分布的正态近似法，求成功3到6次的概率。

【例7.3.5】铁路部门预计在有车票的旅客中有5%赶不上该列车，该列车有座位600个，但却售出了620张票，求每位旅客都有座位的概率。

第二节卡方分布

（Chi-squaredistribution）

第三节t分布（t-distribution）1900年左右，统计学家开始觉得标准正态分布并不总是用来寻找概率的正确分布。WilliamGosset是一名为爱尔兰的都柏林一家啤酒厂GuinnessBreweries工作的化学家，数学是他的副科；他是对此感到怀疑的人之一。他决定经验地检验在概率问题中使用标准正态分布是否总是对的。有些不可思议地，Gosset以收集3000个犯人的身高和左手中指长度来开始他的探索。从这两个数据集（身高和手指长度），他对每一个变量各选择了四个观察值，因此他有了750个不同的样本。对于每一个样本他都计算了一个叫做t的值。然后他制作了两个直方图，想看一看每一个样本的所有的t值的分布是什么样的？它们与标准正态分布有多类似？Gosset发现他的两个直方图的形状非常接近，但是与标准正态分布有很大不同。他将这个新分布叫作t分布（t-distribution），他计算得出的值也叫t值。他在发表这个结果时，因为他们公司的老板不愿意让员工发表文章，害怕他们会将酿造啤酒的秘密泄露出去，所以他署了一个假名叫做“学生”，因此t分布有时也叫做学生分布(Student'st)，后来，Fisher将Gosset的经验结论进行了数学化；他对t分布的曲线导出了相应的数学函数。今天，这个分布已经是迄今最常用的分布了。

下图是自由度为10的t分布图。t曲线下的总面积是1.00，与正态分布相同。分布是单峰和对称于t=0的。这看起来和正态分布类似，并且我们很难看出t图与正态分布图有什么不同。但实际上它们确实是有区别的。正态分布和t分布这两个曲线的基本形状相同，但是正态分布的中部较高，t分布在水平轴上的收敛不像正态分布那么快。这个区别表明t分布在其均值周围的聚集程度比正态分布要差一些。例如，z变量大于2.5的概率等于0.0062，但自曲度为10的t变量大于2.5的概率等于0.0152。换句话说，10000个z值中只有62个比2.5大，但是在10000个t值中有152个大于2.5。仍然，自由度为10的t值有95％落在－2.228和+2.228的区间内。这就意味着，和正态分布相比，我们必须到离中点更远的地方去获得95%的t值。而回顾正态分布，有95%的取值落在一1.96和+1.96的区间内。

t分布的自由度越大，则该t分布的曲线就越接近正态分布。在自由度大于30以后就很难说出这两种曲线的差异了。在自由度等于50时这两种曲线就几乎相同了。这就是为什么统计表中列出的t分布的自由度只到120的原因；此后就可以使用正态分布表来代替了。第四节F分布（FDistribution）F分布族的命名是为了纪念伟大的英国统计学家RonaldFisher爵士。F分部是一种常见的连续型随机变量的概率分布，被广泛应用于似然比率检验，特别是ANOVA中。定义设X1服从自由度为k1的卡方分布，X2服从自由度为k2的卡方分布，且X1和X2相互独立，则称变量

服从F分布，用F(k1,k2)来表示，其中第一自由度是k1，第二自由度是k2。一个F分布的随机变量是两个卡方分布变量的比率。还是设想一些装满了写有数字纸片的桶。每一个桶都代表一种F分布并且有一对标号，例如4和40。则这个桶代表了自由度为4和40的F分布。

一个比较详细的F分布表应有1000个不同F分布的信息。所以我们教材后面用了厚厚几页纸列出了常用的F统计量值。下图是自由度为4和40的F分布的图形。

从图上我们知道和卡方变量一样，F变量也是非负的，F分布中的取值大部分在0到5之间变化。在自由度小时，F值要大些。对这个特定的F分布，大多数F变量的取值看来都小于3。由F分布表，5%的F值大于2.45，而只有1%的F值大于3.83。因此，随机选择一个自由度为4和40的F分布