第五章频率特性法(11)(过控课件)

1控制工程基础中国矿业大学化工学院授课教师：李海生E－mail：lhscyh@163.com2007.112第五章频率特性法（I）引言5.1频率特性5.2典型环节的频率特性

5.2.1幅相特性曲线

5.2.2对数频率特性曲线5.3控制系统开环频率特性曲线的绘制3频率特性（又叫频率响应）

频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。

系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。

频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。4引言1.为什么要对系统进行频率分析？时域分析法从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应和性能指标。不利于工程研究之处：计算量大，且随系统阶次的升高而增加很大；对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；难以确定影响系统总体性能的主要因素；不能直观地表现出系统的主要特征。5引言1.为什么要对系统进行频率分析？频率分析法是一种间接的研究控制系统性能的工程方法。它研究系统的依据是频率特性，频率特性是控制系统的又一种数学模型。r(t)=Rsinty(t)=Csin(t+)62.频率响应、频率特性和频率分析法

频率响应正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成频率特性系统频率响应和正弦输入信号之间的关系。

控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。频率分析法利用系统频率特性分析和综合控制系统方法。

73.频率分析法的优点

(1)物理意义明确。性能指标明确的对应关系。

(2)可用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。

(3)根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无需求解高次代数方程。

(4)采用作图方法，计算量小，且非常直观。85.1频率特性引例——RC电路对于所示的RC电路，其传递函数为式中，τ=RC

。9设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为所以有将其进行部分分式展开后再拉氏反变换10uo(t)表达式中第一项是暂态分量，第二项是稳态分量。显然上述RC电路的稳态响应为结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号相同。但幅值和相角发生了变化，其变化取决于ω。11若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求其复数比，可以得到

式中122.控制系统在正弦信号作用下的稳态输出对于n阶闭环传递函数其中为n个互异的闭环特征根。设输入正弦信号为13因此有，拉氏反变换得ct(t)和cs(t)分别为系统的暂态分量和稳态分量。14对于稳定的系统，其极点均具有负实部，有则系统在正弦信号作用下的稳态输出为其中，因为G(s)是实系数有理函数，则有15从而有式中，稳态输出的振幅和相位分别为由此可见，系统在正弦输入下，输出的稳态值是和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅的|G(jω)|倍，输出相位与输入相位相差∠G(jω)度。163.频率特性的定义幅频特性：系统在正弦输入作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用(ω)表示。幅频A(ω)和相频

(ω)统称幅相频率特性。17如果将输入、输出的正弦函数分别表示为和,则输出与输入的复数比为频率特性：系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比（也就是幅相频率特性，简称幅相特性）。频率特性与传递函数之间的关系：可见，将传递函数中s用jω代替即得频率特性表达式。18关于频率特性的几点说明：频率特性只适用于定常模型，否则不能用拉氏变换求解，也不存在这种稳态对应关系。前面在推导频率特性时假设系统稳定。尽管频率响应是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统的全部动态结构参数。稳定系统的频率特性可由实验方法确定。稳定系统的频率特性为输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换之比，这是频率特性的物理意义。19关于频率特性的几点说明：稳定系统的频率特性可由实验方法确定。20控制系统微分方程传递函数频率特性s=ps=jωjω=p频率特性、传递函数和微分方程三种系统描述之间的关系频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数。

214.频率特性的几何表示法在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，再运用图解法进行研究。常用的频率特性曲线:幅频特性曲线相频特性曲线幅相特性曲线对数频率特性曲线225.2典型环节的频率特性研究目的：用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常由若干典型环节的频率特性组成。本节介绍几种常用的典型环节。根轨迹呢，从开环着手！235.2.1幅相特性曲线

A、幅频特性曲线以频率ω为横坐标，以幅频A(ω)为纵坐标，画出A(ω)随频率ω变化的曲线。

B、相频特性曲线以频率ω为横坐标，以相位(ω)为纵坐标，画出(ω)随频率ω变化的曲线。24RC电路的幅频和相频特性ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-9025C、幅相特性曲线（极坐标图）——Nyquist图幅相特性曲线是将频率ω作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复数平面上。图上实轴正方向为相角零度线，逆时针旋转为正。将G(jω)分为实部和虚部(代数表示)，即X(ω)和Y(ω)分别称为实频特性和虚频特性。取横坐标X(ω)，纵坐标表示Y(ω)，也可得到系统的幅相曲线(实虚频图)。26RC电路的乃氏图ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-9027一、比例环节比例环节的频率特性为显然，它与频率无关。相应的幅频特性和相频特性比例环节的Nyquist图28二、积分环节积分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性积分环节的Nyquist图幅频特性与角频率ω成反比，相频特性恒为－90°29三、微分环节

微分环节的频率特性为其幅频特性和相频特性为微分环节的幅频特性等于角频率ω，而相频特性恒为90°。30四、惯性环节

惯性环节的频率特性写成实部和虚部形式，即幅频特性和相频特性惯性环节的Nyquist图是圆心在(0.5,0)，半径为0.5的半圆。31惯性环节的Nyquist图32五、一阶微分环节

频率特性幅频特性和相频特性一阶微分环节的Nyquist图33六、二阶振荡环节

频率特性

幅频特性和相频特性34六、二阶振荡环节

35二阶振荡环节的Nyquist图频率特性的端点取值36七、延迟环节频率特性幅频特性和相频特性Nyquist图是一个以坐标原点为中心，半径为1的圆375.2.2对数频率特性曲线——Bode图在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形式，这种对数频率特性曲线又称Bode图，由对数幅频特性和对数相频特性组成。Bode图的横坐标按lgω分度（10为底的常用对数），即对数分度，单位为弧度/秒（rad/s）。对数幅频曲线的纵坐标按线性分度，单位是分贝（dB）。对数相频曲线纵坐标按(ω)线性分度，单位是度。由此构成的坐标系称为单对数坐标系。38对数分度和线性分度39单对数坐标纸123456789123456789123456789140

几点说明：对数频率特性采用ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。ω=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由频率范围确定；只标注ω的自然对数值。41一、比例环节比例环节的频率特性为显然，它与频率无关。对数幅频特性和相频特性K>1时，分贝数为正；K<1时，分贝数为负。幅频曲线升高或降低相频曲线不变改变K42二、积分环节积分环节的频率特性为对数幅频特性和相频特性为对数幅频特性为一条斜率为－20dB/dec的直线，此线通过ω=1，L(ω)=0的点。43积分环节Bo

de图画法-20dB/dec十倍频程20dB十倍频程20dB斜率为－20dB/dec44三、微分环节微分环节的频率特性为对数幅频特性和相频特性为其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，它与0dB线交于ω=1点。45对称特点:

微分环节

积分环节46四、惯性环节惯性环节的频率特性对数幅频特性和相频特性为低频段：高频段：ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、转角频率。4748MATLAB绘制的惯性环节的Bode图49两点说明：惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差12510－0.04－0.17－0.97－3.01－0.97－0.17－0.04由表可知，在交接频率处误差达到最大值。50两点说明：(ω)是关于ω＝1/T,(ω)=-45°点中心对称的。0.250.330.512345810-6-7-11-14-18-27-45-63-72-76-79-83-84510°-45°-90°0dB-20dB-40dB-20dB/dec20lg|G(j)|高频衰减相位滞后52与惯性环节奈氏图的对比1.00.5高频衰减相位滞后,相频特性0～-90°ReIm0=0∞53五、一阶微分环节频率特性对数幅频特性和相频特性为低频段：高频段：ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、转角频率。54关于横轴对称。55惯性环节一阶微分频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。56六、二阶振荡环节

频率特性

对数幅频特性和相频特性

57六、二阶振荡环节对数幅频特性和相频特性

低频段：高频段：

二阶振荡环节Bode图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。二阶振荡环节的对数幅频特性可作如下简化：58高频衰减，阻尼比小时有谐振峰。相位滞后，相频特性0~-180° 59低频段和高频段的两条直线相交处的交接频率为ω=1/T，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。在交接频率附近，对数幅频特性与渐近线存在一定的误差，其值取决于阻尼比ζ的值。阻尼比越小，则误差越大。60z

wT0.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.08-0.47-1.41-2.92-1.41-0.470.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.30-6.20-4.30-2.76-1.29-0.34-0.086二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差（dB）61七、二阶微分环节对数幅频特性和相频特性

二阶振荡环节的对数幅频特性可作如下简化：62七、二阶微分环节对数幅频特性低频段：高频段：

低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。6364八、迟后环节

频率特性对数幅频特性和相频特性65PleaseReview!6667二阶微分环节二阶振荡环节685.3控制系统开环频率特性曲线的绘制控制系统开环频率特性的典型环节分解开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图）69一、控制系统开环传递函数的典型环节分解

设其开环传递函数由若干个典型环节相串联其开环频率特性70系统的开环对数频率特性为系统的开环幅频和相频：71二、开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）绘制Nyquist图有时并不需要绘制得十分准确只需要绘出Nyquist图大致形状和几个关键点的准确位置就可以。绘制依据开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制开环幅相曲线的基础。721.几种开环传函的Nyquist图(1)开环传函中不包括积分环节和微分环节，即ω=0ω=∞n=1G(j0)=K∠0°G(j∞)=0∠－90°n=2G(j0)=K∠0°G(j∞)=0∠－2×90°73特点：当开环传函由n个惯性环节与比例环节串联时，Nyquist从正实轴开始，随ω从0→∞变化时，顺时针转过n个象限。74(2)开环传函中含有一阶微分环节即例如m=1,n=3ω=0G(j0)=K∠0°ω=∞G(j∞)=0∠(90°-3×90°)＝0∠(-2×90°)75可见，开环传函中分子含有一阶微分环节，其开环Nyquist图可能出现凹凸。但起点仍从正实轴开始。OKω=∞ω=0ωjm=1,n=3，且T1,T2>τ1>T3时，系统开环Nyquist曲线。76若开环传函中分子含有m个一阶微分环节，分母含有n个惯性环节，其Nyquist图随ω的变化趋势为ω=0G(j0)=K∠0°ω=∞G(j∞)=0∠(m×90°-n×90°)

＝0∠(m-n)90°77终止点：ω=∞G(j∞)＝0∠(m-n)90°78(3)开环传函中含有积分环节即

Ⅰ型系统（ν＝1）

II型系统（ν=2）79只包含惯性环节的I型系统Nyquist图只包含惯性环节的II型系统Nyquist图开环传递函数含有积分环节时，零频时的幅值无穷大！802.系统开环幅相特性的特点当频率ω=0时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。ν＝0G(jω)曲线从正实轴开始G(j0)=K∠0°ν＝1G(jω)曲线从负虚轴方向开始G(j0)=∞∠－90°ν＝2G(jω)曲线从负实轴方向开始G(j0)=∞∠－180°ν＝3G(jω)曲线从正虚轴方向开始G(j0)=∞∠－270°81当ω=∞时，若n>m，G(j∞)=0∠(m-n)90°G(jω)的模为零，相角为(m-n)90°开环幅相曲线与实轴的交点是一个关键点，确定方法:

A.利用G(jω)的虚部Im[G(jω)]=0的关系式求出；

B.利用∠G(jω)=n·180°(其中n为整数)求出。82

若G(s)分子中含有s因子的环节时，其G(jω)曲线将随ω变化可能发生凹凸弯曲。不含s因子的环节时，将是一条平滑曲线。开环幅相曲线与实轴的交点是一个关键点，确定方法

OKω=∞ω=0ωj83

增加n个有限负实极点后，ω=0→∞时，GH的奈氏的曲线顺时针转nπ/2。84

增加n个有限负实零点后，ω=0→∞时，GH的奈氏的曲线逆时针转nπ/2。853.Nyquist图绘制方法写出A(ω)和(ω)的表达式；分别求出ω=0和ω=+∞

时的G(jω)；求Nyquist图与实轴的交点；如果有必要，可求Nyquist图与虚轴的交点，交点可利用G(jω)实部Re[G(jω)]=0的关系式求出，也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n为正整数)求出；必要时画出Nyquist图中间几点；勾画出大致曲线。86例：已知系统的开环传递函数，绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。Nyquist图与实轴相交时87例：已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。88例：试绘制开环传递函数Nyquist图。如何求解与实轴的交点坐标呢？8990三、开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图）

1.Bode图绘制的概述

回顾前面的讨论可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和；系统开环相频等于各环节相频之和。将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以很容易绘制出开环对数频率特性。912.绘制对数幅频特性的步骤(1)将开环频率特性分解为典型环节相乘形式；(2)求出各典型环节交接频率（各环节时间常数的倒数），将其从小到大排列为ω1，ω2

ω3…，并标注在ω

轴上；(3)绘制低频渐近线（ω1左边的部分），这是一条斜率为-20νdB/dec

的直线，它或它的延长线应通过(1，20lgK)点；(对于微分环节ν取负值)；92(4)随着ω的增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就按上述方法改变一次斜率；(5)必要时可用渐近线和精确曲线的误差表，对交接频率附近的曲线进行修正，求得更精确曲线。(6)对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得，也可以利用相频特性函数(ω)直接计算。93例：绘制开环传递函数的零型系统的Bode图。

解：系统开环对数幅频特性和相频特性分别9495例:已知开环传递函数，绘制系统的开环Bode图。系统开环包括了五个典型环节ω2=2rad/sω4=0.5rad/sω5=10rad/s96Doyouknow？实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，不必先一一画出各环节的特性，然后相加，而可以采用更简便的方法。由上例可见，零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线，随着ω的增加，每遇到一个交接（转折）频率，对数幅频特性就改变一次斜率。97例:试绘制Ⅰ型系统的开环传递函数的Bode图。

解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为9899不难看出，此系统对数幅频特性的低频段斜率为－20dB/dec，它（或者其延长线）在ω=1处与L1(ω)=20lgK的水平线相交。在交接频率ω=1/T处，幅频特性斜率由－20dB/dec变为－40dB/dec。1003.系统开环对数幅频特性有如下特点低频段的斜率为－20νdB/dec，ν为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。低频段直线（若存在小于1的交接频率时则为其延长线）在ω

＝1处的对数幅值为201gK。在典型环节的交接（转折）频率处，对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化，变化的情况取决于典型环节的类型如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的环节，交接频率处斜率改变±20dB/dec；如遇二阶振荡环节，在交接频率处斜率就要改变－40dB/dec。101已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。例技术难点多环节组成的复杂传递函数分母存在重极点频率大小不同，则亦不同102103104例题：已知系统的开环传递函数试绘制系统开环幅相特性与对数频率特性。解：105惯性环节的交接频率为找渐近线106

乃氏图107Bode图108四、最小相位系统

1.定义最小相位对象：复平面右半平面既无零点也无极点的传递函数所表示的对象。否则，称为非最小相位对象。注意：最小相位的概念是根据传递函数的零极点分布情况定义的，而不限定系统是开环还是闭环。含有延时环节的传递函数，以及不稳定的传递函数都不是最小相位对象。最小相位——零极点分布——稳定性1092.有关结论对幅频特性相同的系统，最小相位系统的相频特性函数的绝对值是最小的，即输出正弦信号相当于输入正弦信号的相移量最小。对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯—地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。但是，对于非最小相位系统，就不存在上述的这种关系。在响应开始阶段，非最小相位系统的启动性能不好，所以该系统的响应缓慢。110例:设有一最小相位系统，其频率特性为另有一非最小相位系统，其频率特性绘制两者的Bode图111最小相位系统和非最小相位系统的Bode图最小相位唯—对应112例：绘制开环传递函数的Bode图。解系统的幅频特性和相频特性分别为可见，此系统的幅频特性与惯性环节相同，而其相频特性却比惯性环节多了一项-τω

。显然，它