第3章自动控制系统的数学模型

第3章自动控制系统的数学模型3.1线性自动控制系统的微分方程3.2微分方程的线性化方法3.3传递函数与脉冲响应函数3.4典型环节的传递函数3.5方框图3.6控制系统的传递函数3.7应用MATLAB求解串联、并联与闭环传递函数3.8建立与简化控制系统数学模型实例学习目标了解数学模型的基本概念掌握建立系统数学模型的基本方法掌握传递函数的概念和求解方法掌握典型环节的传递函数掌握方框图的变换与简化引言数学模型——描述控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。经典控制理论中常用的数学模型是：微分方程、结构图、信号流图等。建立自动控制系统数学模型的方法：解析法——根据系统和元件所遵循的有关定律来建立；实验法——根据实验数据来建立，即人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构、阶次和参数，也称为系统辨识。3.1线性自动控制系统的微分方程微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称为控制系统时域内的运动方程。用解析法建立线性自动控制系统微分方程的步骤如下：（1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输入量和输出量，并根据需要引入一些中间变量。（2）一般从输入端开始，分别列写微分方程，建立初始微分方程组。（3）消去中间变量，得到描述输出量与输入量关系的微分方程。（4）将该微分方程整理成标准形式。例3-1如图3-1所示弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)和位移x(t)之间的微分方程。例3-2如图3-2所示的RLC串联电路，输入为ur(t)，输出为uc(t)，试写出该网络的微分方程。例3-3如图3-3所示的电枢控制直流电动机的原理图，电枢电压ua为输入量，电动机转速ω为输出量，试写出微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。比较弹簧阻尼系统与RLC串联电路的微分方程可以看出，两个微分方程式很相似。说明看似完全不同的系统，却具有相同的运动规律，可以用相同的数学模型来表示。定义：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。作用：利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。3.2微分方程的线性化方法定义：将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程，称为非线性微分方程的线性化。线性化的方法有：（1）忽略弱非线性环节；（2）微偏法（小偏差信号法，切线法，增量线性化法）—假设控制系统在整个调节过程中各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近做微小变化。注意：这两种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性不能作线性化处理。（1）首先确定系统输入与输出之间的函数关系y(x)；（2）在工作点x0邻域将y(x)展开成泰勒级数略去二阶以上高次项，得到近似等式（3）当x-x0很小时，有

y(x)-y(x0)很小，写出增量式如下令，即在工作点x0邻域，将曲线斜率视为常数。则上式写出增量方程形式，结果为以普通变量表示，得到线性化方程：具有连续可导的非线性函数的线性化，可采用微偏法，其步骤如下：例3-4如图3-4所示的三相全桥整流调速装置图，控制角a为输入量，整流电压UD为输出量，试建立其线性化模型。在处理线性化问题时，要注意以下几点：（1）工作点不同时，其线性化系数是不同的，因此其线性化方程也是不同的。因此在线性化时，一定要先确定其工作点。（2）一个非线性系统在工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是在小范围内的，否则，误差将会很大。（3）线性化后得到的微分方程是增量方程，但为了简化方程，一般略去增量符号。（4）本质非线性系统不可以采用上述方法进行线性化。3.3传递函数与脉冲响应函数线性定常系统的微分方程，是一种时域描述，以时间t为自变量。求解微分方程的时间解，也就获得了系统的运动规律，但微分方程在使用上有诸多不变，如系统内部结构不明确、微分方程求解麻烦等。传递函数是基于拉氏变换而得到的。拉氏变换将时域函数变换为复频域函数，简化了函数；将时域的微分、积分运算简化为频域的代数计算。定义：初始条件为零时，线性定常系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。即若系统的输入为r(t)，输出为c(t)，并有下列微分方程描述于是传递函数如下：3.3.1传递函数的定义及其说明关于传递函数的几点说明（1）传递函数只适用于线性定常系统；（2）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，与微分方程一样，包含了系统有关动态方面的信息；（3）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点；（4）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入无关；关于传递函数的几点说明（5）传递函数是关于s的有理真分式，m≤n，且所有系数均为实数；（6）传递函数的极点就是系统的特征根，决定系统响应的形式；（7）传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息；（8）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出响应，以便掌握系统的性质。3.3.2脉冲响应函数脉冲函数的数学表达式为A=1，ε→0的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为δ(t)，即为如下函数：单位脉冲函数的性质（1），表明，单位脉冲函数的面积（或称脉冲强度）等于1；（2），表明，单位脉冲函数是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数。反之，单位脉冲函数的积分便是单位阶跃函数；（3）L[δ(t)]=1，表明，单位脉冲函数的拉氏变换等于1。定义：在零初始条件下，线性定常系统对单位脉冲δ(t)输入的响应，称为该系统的脉冲响应。脉冲响应的函数表达式为脉冲响应函数。3.4典型环节的传递函数控制系统通常是由若干基本部件组合构成的，这些基本部件又称为典型环节。常用的典型环节包括：比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节延迟环节3.4.1比例环节的传递函数比例环节的微分方程为：

c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为：式中，K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器、齿轮、电阻（电位器）、感应式变送器等。3.4.2积分环节的传递函数积分环节的微分方程为：积分环节的传递函数为：式中，T为积分时间常数。特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的函数、模拟计算机中的积分器。3.4.3微分环节的传递函数微分环节的微分方程为：微分环节的传递函数为：式中，T为微分时间常数。特点：输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数。3.4.4惯性环节的传递函数惯性环节的微分方程为：惯性环节的传递函数为：式中，T为惯性环节的时间常数，K为惯性环节的放大系数。特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：RL网络，直流伺服电动机的励磁回路。3.4.5一阶微分环节的传递函数一阶微分环节的微分方程为：一阶微分环节的传递函数为：式中，T为微分时间常数。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：PD控制器。3.4.6振荡环节的传递函数振荡环节的微分方程为：振荡环节的传递函数为：式中，T为时间常数，为无阻尼自然振荡角频率，ξ为阻尼比。特点：环节中有两个独立的储能元件，可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械阻尼系统的传递函数。3.4.7延迟环节的传递函数延迟环节的微分方程为：延迟环节的传递函数为：式中，为延迟时间。特点：输出量能准确复现输入量，但需延迟一段固定的时间间隔。延迟环节的存在对系统的稳定性不利。实例：管道压力、流量等物理量的控制。3.5方框图下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。方框图也是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能更形象直观的表明输入信号在系统或元件中的传递过程。3.5.1方框图的定义定义：把组成系统的各个环节用方框图表示，在方框图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示，这种图形称为方框图或结构图。用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影响；因此，它是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法，也就是对系统数学模型的图解表示。3.5.2方框图的构成——四要素（1）信号线——带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（2）引出点——表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。x(t),X(s)x(t),X(s)x(t),X(s)x(t),X(s)（3）比较点——对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算。“+”可以省略，但“-”必须标明。（4）函数方框——表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系，方框内填写元件或环节的传递函数。方框中的传递函数是单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系：C(s)=X(s)G(s)X(s)C(s)=X(s)

B(s)B(s)+G(s)C(s)X(s)结构图的基本作用简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，表示的是动态特性。结构图的绘制步骤（1）列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。（2）设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。（3）将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。例：画出下图所示RC网络的结构图。解：(1)列写各元件的原始方程式

R

C

u1

u2

i(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)3.5.3环节之间的连接

（1）串联方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联。由图可知：C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积。G1(s)R(s)G2(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)（2）并联两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式称为并联。并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)±3.5.4闭环系统的方框图一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分，这种连接方式叫反馈连接。由图可见C(s)=E(s)G(s)=[R(s)±B(s)]G(s)=R(s)G(s)±H(s)C(s)G(s)即如果反馈环节H(s)=1时，称为单位反馈。3.5.5方框图的简化与变换变换的原则：变换前后应保持信号等效。1.引出点前移2.引出点后移GRCRGRC1/GRGRCCGRCGC4.比较点后移3.比较点前移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F5.比较点互换或合并R1CR2++R3R1CR2++R3对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。6.相加点和分支点一般不能变位表3-1方框图变换表3-1方框图变换（续）例3-5化简图3-10所示的系统结构图，并求闭环传递函数。解：（1）将比较点a后移，得到下图（a）（2）再与b点交换，得到下图（b）（3）因G4(s)与G1(s)G2(s)并联，G3(s)与G2(s)H(s)负反馈连接，所以进行简化得到等效图如图c所示。（4）再将图中的两个串联环节合并，得到最后化简的结果如图d所示。例：试化简如下系统方框图例：试化简如下系统方框图例：试化简如下系统方框图3.6控制系统的传递函数

3.6.1开环传递函数与前向传递函数开环传递函数：系统反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。假设D(s)=0，则开环传递函数如下：其中，G(s)=G1(s)G2(s)。前向传递函数：系统输出信号C(s)与误差信号E(s)之比。假设D(s)=0，则前向传递函数如下：3.6.2闭环传递函数（1）给定信号R(s)单独作用下的系统闭环传递函数假设D(s)=0，则系统的闭环传递函数为：（2）扰动信号D(s)单独作用下的系统闭环传递函数假设R(s)=0，则系统的闭环传递函数为：3.6.3误差传递函数（1）给定信号R(s)单独作用下的系统误差传递函数假设D(s)=0，则系统的误差传递函数为：（2）扰动信号D(s)单独作用下的系统误差传递函数假设R(s)=0，则系统的误差传递函数为：方框图化简步骤小结（1）确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。（2）如果结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。（3）对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即可得到所求的传递函数。注意两点：有效输入信号所对应的比较点尽量不要移动 尽量避免比较点和引出点之间的移动3.7应用MATLAB求解串联、并联与闭环传递函数求串联传递函数用series [num,den]=series(num1,den1,num2,den2) G=tf(num,den)求并联传递函数用parallel [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)求闭环传递函数用feedback [num,den]=series(numg,deng,numh,denh,-1)举例：应用MATLAB求解传递函数输入传递函数和化简结构图输入传递函数：conv(),tf(),zpk()；

用于传递函数输出：printsys().

用于结构图化简：series(),parallel(),feedback()例：对传递函数：

（1）输入两个传递函数，求零极点形式；

（2）分别串联和并联两个传递函数；

（3）将串联和并联获得的两个传函分别放在前向通络和反馈通路形成负反馈。>>num1=[7,1];%输入G1分子系数>>den1=[1,3,5];%输入G1分母系数>>num2=[1];%输入G2分子系数>>den2=conv([1,2,3],[1,1]);

%输入两个多项式因子的乘积作为G2分母系数>>G1=tf(num1,den1);>>G2=tf(num2,den2);%输入两个传递函数>>Gzp1=zpk(G1);Gzp2=zpk(G2);

%求零极点形式>>[nums,dens]=series(num1,den1,num2,den2);

%将两个传递函数串联方法一>>Gs=G1*G2;

%将两个传递函数串联方法二>>[nump,denp]=parallel(num1,den1,num2,den2);

%将两个传递函数并联方法一>>Gp=G1+G2;

%将两个传递函数并联方法二>>Gf=feedack(G1,G2,-1);

%反馈连接,负反馈为-1，正反馈为+13.8建立与化简控制系统数学模型实例【例3-9】已知两级RC网络如图3-13所示，画出该系统的方框图并化简。解：设一个中间变量为电容C的电压Ux，采用复数阻抗法顺序写出各算子代数方程和方框图如下：将各基本环节的方框按照信号流通方向连接起来，得到如下图所示的系统方框图。化简系统方框图（1）向左移除比较点，向右移除引出点，如图(a)所示（2）化简两个内部回路，合并反馈支路的方框如图(b)所示（3）令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R3C3，作反馈回路化简如图(c)所示所以，该网络的传递函数为：练习：画出如下系统的方框图并化简补充信号流图信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。设一线性方程组为由拉氏变换可变为补充信号流图用信号流图表示上述方程组各变量之间的关系。设一系统为输入信号输出信号增益2.6信号流图设一系统的运动方程如右所示，画出它的信号流图。信号流图的定义：由若干节点以及连接这些节点的有向线段构成的图形，是一组信号（变量）线性关系的图解表示。与结构图一样，信号流图也是用图形表示的系统数学模型。信号流图的优点：既能方便地进行代数运算，又能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。（对复杂系统而言尤为突出）

补充：信号流图节点：节点代表系统中的一个信号（变量），其符号为“o”。支路：支路是连接两个节点的有向线段，其中的箭头表示信号的传送方向，用符号“”表示。传输：两个节点之间的增益叫传输，增益即为两个节点所代表的两个信号之比，支路的传输标在支路旁边。GXY单元结构图信号流图的三要素信号流图的有关术语1）输入节点或源点：只有输出支路的节点，叫输入节点或源点，一般置于信号流图的左面，图中的x1、x4。2）输出节点或阱点：只有输入支路的节点，叫输出节点或阱点。一般放在信号流图的右面，x5

3）混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点称为混合节点，x2，x3信号流图的有关术语通路：沿支路箭头的方向穿过各相连支路的途径叫通路，如图中x1x2x3x5。开通路：如果通路与任一节点相交不多于一次就叫开通路，如图中x4x3x5。回路：如果通路的起点就是通路的终点，且与其它节点相交不多于一次的闭合通路，叫回路，如图中x2x3x2。信号流图的有关术语前向通路：输入节点到输出节点且通过其他节点不多于一次的通路，称为前向通路，如图中x1x2x3x5。不接触回路：没有任何公共节点的回路，称为不接触回路或互不接触回路，图中只有一个回路x2x3x2，是不接触回路的一个特例。信号流图的绘制信号流图的运算1．串联支路的合并运算:由x2=ax1和x3=bx2得x3=abx1。2．并联支路的合并运算:分别有x2=ax1和x2=bx1，故x2=(a+b)x1。3．回路的消除运算：由x3=bx2和x2=ax1cx3得x3=abx1bcx3。信号流图的运算4．混合节点的消除运算由x3-cx3=ax1+bx2得x3=(ax1+bx2)/(1-c),x4=dx3.信号流图与结构图的对应关系信号流图的节点：传递函数中的信号传输：传递函数。信号流图与结构图的对应关系信号流图的简化法则梅逊公式及其应用Pk—从输入节点与输出节点的第k条前向通道的传输；—信号流图的特征式，定义见式（后页）。k—在中除去所有与第k条前向通路相接触的回路增益项后剩下的余因子。

—对输入节点与输出节点间所有可能的k条通路求和。梅逊公式：梅逊公式及其应用最常遇见的情况是系统的所有反馈回路都互相接触，而所有前向通路也都与所有反馈回路接触，常用公式：例：用梅逊公式求解下图中的系统传递函数该系统有1条前向通路和3个回路，它们