第2章正弦交流电路

第2章正弦交流电路2.3电阻元件的交流电路2.4电感元件的交流电路2.5电容元件的交流电路2.7交流电路的复数计算2.8电路中的谐振现象2.1正弦交流电的基本物理量2.9功率因数的提高2.2正弦交流电的相量表示法2.6RLC串联交流电路返回正弦交流电路的概述

电路外加的电源为正弦电源,电路中产生的电压与电流都按正弦规律变化。正弦电源交流发电机信号发生器（强电领域）（弱电领域）信号发生器交流发电机返回正弦交流电的优越性

1.便于传输（升压与降压）2.便于运算（电路中的响应规律仍然是正弦量）

3.有利于电器设备的运行交流电动机与直流电动机比较，交流电器设备体积小，寿命长。

返回正弦电压与电流的波形如图所示+_Tut+-+-o+-+-+_正半周负半周正弦量：正弦电压、电动势、电流。2.１正弦交流电的基本物理量返回正弦量的特征：变化快变化慢toto大小、快慢、初始值to大小初始值返回正弦量的特征大小快慢初始值频率（或周期）幅值（或有效值）初相位周期：正弦量变化一次所用的时间称为周期T。Tuto频率：每秒内变化的次数称为频率。单位：Hz2.1.1频率、周期和角频率三要素我国电网的频率为50HZ返回角频率ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒Tuo

瞬时值：任一瞬间的值。用表示。to2.1.2瞬时值、幅值和有效值返回幅值：瞬时值中的最大值。用表示。to数学表达式有效值：(均方根值)

在工程应用中用有效值表示正弦量的大小。常用的交流电表指示的电压、电流值就是有效值。常说的照明电压220V就是指有效值。用表示。是电流的幅值（最大值）返回有效值概念:交流直流发热量相等返回则有（均方根值）可得当

时，交流直流返回正弦电压的有效值为：

同理：返回【例2.1】试求其幅值和有效值。解:幅值为有效值为返回确定正弦量的大小和行程需从计时起点开始。计时起点的选择:

2.1.3相位、初相位和相位差返回正弦量变化的进程用相位表示。相位uωtoωtoωto1.相位（或相位角）返回2.初相位t=0时的相位初始值:t=0时的值uωtoωtoωto返回t=0时计时起点不同，初相位角不同，正弦量的初始值不同。结论：初始值返回3.相位差两同频率正弦量的初相位角之差。返回正弦量的同相与反相返回oi1i2ωto若改变计时起点的位置：oωt试求两个正弦量的相位差。【例2.2】从上例中得出结论：计时起点的位置改变，初相位角随之改变，但两正弦量之间的相位差仍保持不变。返回瞬时值表达式相量前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图i

正弦量的表示方法：相量表示法包括相量图和相量式。2.2正弦交流电的相量表示法返回

一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。有向线段的长度

=

有向线段与横轴夹角

=

初相位ω有向线段以角速度

按逆时针方向旋转ω2.2.1相量图表示法返回3.相量符号

包含大小与相位。有效值1.表示正弦量的有向线段称为相量。其幅度用最大值表示，即最大值相量图的画法:2.在实际应用中，正弦量的大小更多采用有效值，即返回

滞后于

相位：大小：有效值大小设将u1、u2

用相量图表示。【例2.3】返回【例2.4】用相量图求两电压之和。返回ab+1将相量放到复平面上，表示如下：2.2.2相量式的表示法返回尤拉公式

代数式

指数式

极坐标式ab+1返回在第一象限设a、b为正实数在第四象限返回相量的运算:1.加、减运算设则返回2.乘法运算设则返回3.除法运算设则返回设任一相量则+j和-j称为90°旋转因子。+j逆时针转90°，-j顺时针转90°。2.2.3旋转因子返回解：已知

已知瞬时值，用相量式和相量图表示。【例2.5】返回AV220100+1j返回波形图瞬时值相量图相量式正弦量的四种表示法Tu返回注意大小写符号的意义u、i瞬时值小写有效值大写U、I相量（复数）

大写，头上加“.”最大值

大写带下标返回伏-安特性iu常用单位：、k、MRiu＋－由欧姆定律得出：电阻是耗能元件2.3电阻元件的交流电路2.3.1电阻元件返回根据欧姆定律

设则uiR+_2.3.2电压与电流的关系返回

频率相同，相位相同。

有效值关系：从两数学表达式可以看出:ωtui返回返回1.瞬时功率

p

瞬时电压与瞬时电流的乘积uiR+_

2.3.3功率与能量的转换关系(1)（耗能元件）结论：(2)随时间变化ωtuipωt其波形如图所示2.平均功率

PP其中U,I是正弦量的有效值。返回电阻元件的交流电路波形与相量图返回（单位：H,mH,H）单位电流产生的磁链线圈匝数磁通uiL＋－2.4电感元件的交流电路2.4.1电感元件返回电流与电压关系式的推导：当(直流)时,所以,在直流电路中电感相当于短路。uei+-+-因为所以返回

基本关系式：设则uLi+-

2.4.2电压与电流之间的关系返回

频率相同

相位相差

90°

（u

超前

i

90

°）iu设：返回

有效值

感抗（Ω）定义则返回

XL=ωL

是频率的函数，表示感抗随着频率变。ωXLf

=0时XL=0e+_LRE+_R电感相当短路返回uLi+-

2.4.3功率与能量的转换关系返回

瞬时功率储存能量P<0释放能量+P>0P<0能量转换过程可逆uiuiuiui+PP>0ui返回

平均功率

P

（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。返回无功功率Q：单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。返回单位电压下存储的电荷单位：F,F,nF,pF符号有极性无极性++++----+q-qui＋－+_2.5电容元件的交流电路2.5.1电容元件返回当(直流)时,电容在直流电路中相当于断路。uiC+_电流与电压关系式的推导：返回基本关系式：设则：uiC＋－

2.5.2电压与电流之间的关系返回

频率相同，相位相差90°（u滞后

i

90°

）iu从两数学表达式可以看出:返回有效值或

容抗（Ω）定义则Im返回E+-ωe+-

是频率的函数，表示容抗随着频率变。容抗ω＝0时E+-ω＝∞时返回瞬时功率p:uiC＋－

2.5.3功率与能量的转换关系返回充电p放电放电P<0释放充电P>0储存uiuiuiuiiuωt返回

平均功率P返回无功功率Q瞬时功率达到的最大值。解：uiC＋－

C＝1μF。求I

，i。【例2.6】返回小结电路参数L电路参数C电路参数R若则uRLCi＋－＋＋＋－－2.6RLC串联交流电路

2.6.1电压与电流的关系返回若RLC＋－＋＋＋－－则利用相量图求U和先画出参考相量电压三角形返回也可以写为：其中，电压与电流的有效值之比为：它的单位也是欧姆，具有阻碍电流变化的性质。求U:返回所以，我们称它为电路的阻抗模，用表示，即可见，也满足一个直角三角形，即阻抗三角形返回当

时，表示u

超前i

－－电路呈感性当时，

表示u

、i同相－－电路呈电阻性当

时，表示u

滞后i

－－电路呈容性求由电压三角形与阻抗三角形一定时电路性质由参数决定：返回

1.平均功率

P

（有功功率）

uRLCi＋－＋＋＋－－－2.6.2功率返回总电压总电流u与i

的夹角平均功率P与总电压U、总电流I

间的关系：

——功率因数其中：返回2.无功功率

返回3.视在功率S

总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安PQS注：S＝UI

可衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）

视在功率4.功率三角形无功功率有功功率返回电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形uRLCi＋－＋＋＋－－－返回【例2.7】在RLC串联的交流电路中，已知R=4

，（1）感抗,容抗，阻抗模和阻抗角；（2）电流的有效值和瞬时值；（3）有功功率，无功功率和视在功率；（4）画出电压和电流的相量图。返回试求：解：（1）感抗，容抗，阻抗模和阻抗角返回（2）电流的有效值和瞬时值；返回（3）有功功率，无功功率和视在功率；（4）画出电压和电流的相量图。2.7交流电路中的复数运算返回

2.7.1单一元件的复电压和复电流1.电阻元件电路返回2.电感元件电路电压超前电流3.电容元件电路电压滞后电流返回返回2.7.2复阻抗uRLCi＋－＋＋＋－－－RLC＋－＋＋＋－－＋－返回RLC＋－＋＋＋－－＋－返回2.7.3复阻抗的串联返回2.7.4复阻抗的并联返回2.7.5交流电路的复数运算【例2.8】在RLC串联的交流电路中，已知R=4

，试求i。解：返回【例2.9】试求解返回返回【例2.10】已知电路如图所示，电压表的读数为50V,电流表的读数为1A，功率表的读数为30W，电源的频率为50Hz。试求R、L的数值、无功功率、视在功率。解：1返回返回2.3.

在含有电感和电容的电路中，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于1，即u与

i

同相位，则此电路处于谐振状态。谐振串联谐振：L与C串联时u、i

同相。并联谐振：L与C并联时u、i

同相。谐振概念：2.8电路中的谐振现象返回RLC若则串联谐振条件2.8.1串联谐振的条件返回谐振频率1.4.当时，2.当电源电压一定时，

2.8.2串联谐振的特征返回3.串联谐振又被称为电压谐振。当时返回5.品质因数Q

值谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。6.串联谐振特性曲线谐振电流谐振频率返回收音机接收电路。【例2.11】e1和e2是来自2个不同电台的电动势信号，L和C组成串联谐振电路，选出所需的电台。返回解：结论：当C调到150pF时，可收听到

的节目。已知L=250μH,R=20Ω，如果要收听电台的节目，C应多大？试求：1.返回解：信号被放大64倍。信号在电路中产生的电流有多大？在电容C

上产生的电压是多少？返回已知L=250μH,R=20Ω，2.

日常生活中常用的负载多为感性的，其等效电路及相量关系如下图。uiRLP=PR=UICOS其中，负载消耗的有功功率为2.9功率因数的提高

2.9.1功率因数不高的原因返回结论：

由负载性质决定，与电路的参数和频率有关，而与电路的电压、电流无关。功率因数和电路参数的关系：RZP=PR=UICOSuiRL返回纯电阻负载电动机负载

日光灯负载常用负载的功率因数：P=PR=UICOS由于工业生产中使用大量的感性负载，所以电路的功率因数不高。返回1.电源设备的容量不能充分利用40W白炽灯

40W日光灯

负载的功率因数低，对发电与供电设备的容量要求就比较大。2.9.2功率因数