第二章-随机变量及其概率分布(复习)教学教材

一、重点(zhòngdiǎn)与难点二、主要(zhǔyào)内容第二章随机变量(suíjībiànliànɡ)及其分布三、往年考题第一页，共100页。一、重点(zhòngdiǎn)与难点1.重点(zhòngdiǎn)(0-1)分布(fēnbù)、二项分布(fēnbù)和泊松分布(fēnbù)的分布(fēnbù)律正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算2.难点连续型随机变量的概率密度函数的求法第二页，共100页。随机变量(suíjībiànliànɡ)随机变量(suíjībiànliànɡ)通常用Ｘ，Ｙ，Ｚ，．．．来表示二、主要(zhǔyào)内容第三页，共100页。随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有(jùyǒu)一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.随机变量的取值具有一定(yīdìng)的概率规律第四页，共100页。随机变量(suíjībiànliànɡ)的分类离散(lísàn)型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限(wúxiàn)可列个,叫做离散型随机变量.随机变量连续型非离散型其它(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.第五页，共100页。离散型随机变量(suíjībiànliànɡ)的分布律(1)定义(dìngyì)第六页，共100页。(2)说明(shuōmíng)第七页，共100页。设随机变量X只可能(kěnéng)取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(fúcóng)(0-1)分布或两点分布.两点分布(fēnbù)第八页，共100页。称这样(zhèyàng)的分布为二项分布.记为二项分布两点分布(fēnbù)二项分布第九页，共100页。泊松分布(fēnbù)第十页，共100页。第十一页，共100页。二项分布的泊松逼近泊松定理设>0是常数，n是任意(rènyì)正整数，且=np，则对于任意(rènyì)取定的非负整数k，有由泊松定理(dìnglǐ)若n很大p很小时，且=np，则有第十二页，共100页。利用(lìyòng)概率分布律的性质解例1典型(diǎnxíng)例题第十三页，共100页。解例1典型(diǎnxíng)例题因此(yīncǐ)X的分布律为第十四页，共100页。X的分布(fēnbù)律为而第十五页，共100页。例2袋子中有５个同样大小(dàxiǎo)的球，编号为１~５，从中同时取出３个球，记Ｘ为取出的球的最大编号，求Ｘ的分布律.解Ｘ的可能(kěnéng)取值为３，４，５则Ｘ的分布(fēnbù)律为第十六页，共100页。例3对一目标连续进行射击，直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数(cìshù)X的分布律。解Ｘ的可能(kěnéng)取值为１，２，３，…..事件{X=k}表示“前k-1次射击(shèjī)未中，第k次命中”又每次射击命中与否是相互独立的，则X的分布律为第十七页，共100页。例4设

解得第十八页，共100页。例5设随机变量Ｘ服从(fúcóng)泊松分布，且已知

求解设Ｘ服从参数(cānshù)为λ的泊松分布．则由已知得解得则第十九页，共100页。(2)说明(shuōmíng)随机变量的分布(fēnbù)函数(1)定义(dìngyì)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.第二十页，共100页。即任一分布函数(hánshù)处处右连续.(3)性质(xìngzhì)第二十一页，共100页。(4)重要(zhòngyào)公式第二十二页，共100页。例6设随机变量(suíjībiànliànɡ)X的分布函数为其中(qízhōng)为常数，求常数解则又由此得到又F(x)右连续(liánxù)，得到典型例题第二十三页，共100页。例7设随机变量X的分布(fēnbù)函数为求解：第二十四页，共100页。分布函数分布律离散型随机变量(suíjībiànliànɡ)分布律与分布函数的关系说明:分布函数本质上是一种(yīzhǒnɡ)累计概率.第二十五页，共100页。当X<-1时，例8已知离散(lísàn)型随机变量Ｘ的分布律为求X的分布(fēnbù)函数。解：-10120.20.10.30.4F(x)=P{Xx}=0当-1X<0时，F(x)=P{Xx}=P{X=-1}=0.2当0X<1时，F(x)=P{Xx}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3当1X<2时，F(x)=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6当2X时，F(x)=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1第二十六页，共100页。[思路]首先利用分布函数(hánshù)的性质求出常数a,b,再用已确定的分布函数(hánshù)来求分布律.解例9第二十七页，共100页。第二十八页，共100页。从而(cóngér)X的分布律为第二十九页，共100页。连续型随机变量(suíjībiànliànɡ)的概率密度(1)定义(dìngyì)第三十页，共100页。(2)性质(xìngzhì)第三十一页，共100页。注意对于任意(rènyì)可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即由此可得连续型随机变量取值落在某一区间(qūjiān)的概率与区间(qūjiān)的开闭无关第三十二页，共100页。例10解第三十三页，共100页。解:由概率密度的性质(xìngzhì),故例11第三十四页，共100页。解:当x<0时,当0x<1时,当1x<2时,当x2时,例12第三十五页，共100页。所以(suǒyǐ)X的分布函数为第三十六页，共100页。例13设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具有(jùyǒu)以下的概率密度现有(xiànyǒu)一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问（1）任取1件，其寿命(shòumìng)大于1500小时的概率是多少？（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命(shòumìng)大于1500小时的概率是多少？（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命(shòumìng)大于1500小时的概率是多少？第三十七页，共100页。例13设某种型号(xínghào)的电子元件的寿命X（以小时计），具有以下的概率密度现有一大批此种元件（设各元件工作(gōngzuò)相互独立），问（1）任取1件，其寿命(shòumìng)大于1500小时的概率是多少？解第三十八页，共100页。（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率(gàilǜ)是多少？各元件工作相互独立，令Y表示(biǎoshì)4个元件中寿命大于1500小时的元件个数，则

所求的概率(gàilǜ)为（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？所求的概率为第三十九页，共100页。均匀分布(1)定义(dìngyì)第四十页，共100页。(2)分布(fēnbù)函数均匀分布的概率计算(jìsuàn)中有一个概率公式:设即则第四十一页，共100页。分布(fēnbù)函数指数分布第四十二页，共100页。例14设随机变量X在[2,5]上服从(fúcóng)均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的分布密度(mìdù)函数为设A表示(biǎoshì)“X的观测值大于3”,解即A={X>3}.第四十三页，共100页。因而至少(zhìshǎo)有两次观测值大于3的概率为设Y表示3次独立(dúlì)观测中观测值大于3的次数,则第四十四页，共100页。例15设某类日光灯管的使用寿命X服从参数(cānshù)为λ=1/2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布(fēnbù)函数为解第四十五页，共100页。例15设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为λ=1/2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常(zhèngcháng)使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常(zhèngcháng)使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.第四十六页，共100页。正态分布第四十七页，共100页。正态概率密度函数的几何(jǐhé)特征第四十八页，共100页。第四十九页，共100页。第五十页，共100页。(2)分布(fēnbù)函数无法(wúfǎ)计算原函数正态分布下的概率计算方法:转化(zhuǎnhuà)为标准正态分布查表计算第五十一页，共100页。标准(biāozhǔn)正态分布的概率密度表示为标准正态分布(fēnbù)的分布(fēnbù)函数表示为(3)标准(biāozhǔn)正态分布第五十二页，共100页。(4)重要(zhòngyào)结论第五十三页，共100页。正态分布与标准(biāozhǔn)正态分布之间的关系（1）设其分布函数为F(x)，则第五十四页，共100页。(5)分位数定义(dìngyì)：设，若满足条件则称点为标准(biāozhǔn)正态分布的上侧分位数。第五十五页，共100页。例16

设X~N(1.5,4),求解第五十六页，共100页。解例16

设X~N(1.5,4),求第五十七页，共100页。解例16

设X~N(1.5,4),求第五十八页，共100页。(1)所求概率(gàilǜ)为解例170.01第五十九页，共100页。第六十页，共100页。随机变量(suíjībiànliànɡ)的函数的分布(1)离散(lísàn)型随机变量的函数的分布第六十一页，共100页。Y的可能(kěnéng)值为即0,

1,

4.解例180.20.10.30.4第六十二页，共100页。故Y的分布(fēnbù)律为第六十三页，共100页。例19

，令，求解第六十四页，共100页。(2)连续型随机变量的函数(hánshù)的分布第六十五页，共100页。第一步先求Y=2X+8的分布(fēnbù)函数解例20第六十六页，共100页。第二步由分布(fēnbù)函数求概率密度.第六十七页，共100页。解例21再由分布(fēnbù)函数求概率密度的概率密度。第六十八页，共100页。解例例21的概率密度。第六十九页，共100页。定理(dìnglǐ)第七十页，共100页。例22解第七十一页，共100页。四、往年(wǎngnián)考题第七十二页，共100页。第七十三页，共100页。第七十四页，共100页。第七十五页，共100页。第七十六页，共100页。第七十七页，共100页。第七十八页，共100页。第七十九页，