热点探究四猜想推理型中考试题的归纳与预测

热门研究四猜想推理型中考试题的概括与展望热门一、旋转型试题.例1（2004河北课改）用两个全等的等边三角形（△ABC和△ACD）拼合成了菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的极点与点A重合，夹60角的两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD订交于点E,F时（如图1（1））,经过察看或丈量BE,CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延伸线订交于点E,F时（如图1（2））,你在（1）中获得的结论还成立吗？简要说明原因.简析：（

1）经过察看或丈量，能够得出

BE=CF，要证明线段相等这一结论，能够想

到多种方法，但依据本题的条件与图形特色，能够看出

△ABE

绕点

A逆时针旋转

60

获得ACF（或△ADF绕点A顺时针旋转60获得△ACE）,利用△ABE◎△ACF（或ADFACE）实现BE=CF较好.（2）同（1）.简解：（1）BE=CF.证明：在△ABE和△ACF中，.BAE.EAC二.CAF.EAC=60；,BAE"CAF.AB=AC,B—ACF=60〃,△ABEACF（ASA）.?BE二CF.2）BE=CF仍旧成立.说理略.简评：本题经过三角板的旋转来结构研究性问题，

学生在研究过程中，

能够表现出自己在从事察看、实验、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力，本题关注了学生认识数

学对象的过程和方法

?本题经过察看或丈量等实验操作，猜想出实验结果，再对实验结果进

行推理证明，此后对操作的结果进前进一步猜想证明

.

本题用三角形全等进行证明，

对学生来说，比较常例，也简单做对

.例2(2006河北课改)如图2(1),一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一同.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图2(2),当EF与AB订交于点M,GF与BD订交于点N时，经过察看或测量BM,FN的长度，猜想BM,FN知足的数目关系，并证明你的猜想；(2)若三角尺GEF旋转到如图2(3)所示的地点时，线段FE的延伸线与AB的延伸线订交于点M，线段BD的延伸线与GF的延伸线订交于点N,此时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不可立，请说明原因.简析：这又是一道经过察看和丈量进行猜想，此后进行推理证明猜想的试题?第(1)问经过丈量易获得BM=FN

.要证明线段相等这一猜想，由本题条件与图形特色，易证明含有线段FN的三角形和含有线段BM的两个三角形全等，即证AOBMOFN,进而获得BM=FN.第(2)问思想方法同(1).简解：(1)

BM=FN.证明：???△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，ABD=.F=45,OB=OF.又???BOM二FON,.△OBMOFN..BM二FN.(2)BM二FN仍旧成立.证明：???△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，..DBA—GFE=45,OB=OF...MBO=/NFO=135；.又???MOB=NOF,.△OBMOFN.???BM二FN.简评：本题作为几何题，一悔悟去图形复杂、推理繁琐的特色，以较为一般、简单、动向的图形为背景，让学生操作(旋转)图形，经过察看、实验、概括、类比等活动商议图形运动中的变量和不变量，并对自己的猜想进一步追求凭证，给出证明，较好的考察了学生对几何图形的掌握水平?本题与例1解法近似，与例1不同样的是，把30°,60°,90°的三角板换成一个等腰直角三角板，把菱形换成正方形，绕极点旋转变为绕三角形斜边中点旋转.这两个试题也提示学生与老师在学习与教课中，多注意三角板在几何图形中旋转的题目，掌握找寻变化中的不变数目关系的思路和方法.热门二、平移型试题例

3(2007

河北课改

)在△

ABC

中，AB=AC,CG_BA

交BA

的延伸线于点

G

.

一等腰直角三角尺按如图

3(1)所示的地点摆放，该三角尺的直角极点为

F,

—条直角边与

AC

边在一条直线上，另一条直角边恰巧经过点

B

.(1)在图3(1)中请你经过察看、丈量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG知足的数目关系，此后证明你的猜想；(2)AC方向平移到图3(2)所示的地点时，一条直角边仍与直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE

丄

BA

于点

E.此时请你经过察看、

当三角尺沿AC边在同一丈量DE、DF

与

CG

的长度，猜想并写出

DEDF

与

CG

之间知足的数目关系，此后证明

你的猜想；(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向持续平移到图3(3)所示的地点(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想能否仍旧成立？(不用说明原因)简析：(1)是课本一道习题的变形，加了三角尺这一背景?丈量BF,CG的长度，可得BF=CG,既可经过△FBA=△GCA获得BF=CG,也可经过△BCF=△CBG获得BF=CG.(2)是课本这道习题经典变形(即等腰三角形底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高)后加了三角尺这一背景.丈量DE、DF与CG的长度，可得出DE?DF二CG这一数目关系?要证明这一数目关系，可用截长补短的方法?本题波及三条垂线，也可用等面积法；有直角三角形，也还能够用锐角三角函数解决?由(2)易获得(3)的结论.解：(1)BF=CG;证明：在△ABF和△ACG中，????F=?G=90：,■FAB=GAC,AB二AC,???△ABFACG(AAS),???BF=CG.(2)DEDF=CG;证明：方法一：过点D作DH丄CG于点H(如图3(4)).?/DE_BA于点E,ZG=90°,DH丄CG,?四边形EDHG为矩形，?DE=HG,DH//BG.GBC"HDC.???AB二AC，二FCG=GBC二HDC.又???F=/DHC-90,CD=DC,△FDC◎△HCD(AAS),???DF=CH.GHCH=DEDF=CG，即DEDF=CG.方法二：连结AD，利用SAABDSAACD二SAABC，获得DEDF二CG?方法三：ED二BD[jsinB,DF二CDLsinFCD,CG二B[sinB,???B—FCD,?EDDF=(BDCD)[SinB=BC(inB,?DEDF=CG?(3)仍旧成立.简评：本题是把等腰三角形部分一道经典题目加上三角尺平移这一背景，原题还有一问，若点D在CB延伸线上，ED，DF，CG又有何关系(DF-DE二CG)?相信初三学生都做过本题，但不必定会做改编后的试题，这就要修业生能从复杂图形中提炼出熟习的基本图形，便于解决问题，这也要讨教师在教课中要着重把典型的例、习题进行改编训练.本题(2)问解法二，解法三与解法一不同样点是：利用了面积不变与角的不变；同样之处是：都抓住了平移过程中的不变关系.热门三、非变换型图形运动试题例4(2005河北课改)如图4(1),4(2),四边形ABCD是正方形，M是AB延伸线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角极点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合)，另一条直角边与/CBM的均分线BF订交于点F.如图4(1),当点E在AB边的中点地点时：①经过丈量

DE,

EF

的长度，猜想

DE

与

EF

知足的数目关系是

______________;②连结点

E与

AD

边的中点

N,

猜想

NE

与

BF

知足的数目关系是

________________;③请证明你的上述两个猜想

.(2)如图

4(

2),

当点

E在

AB

边上的随意地点时，请你在

AD

边上找到一点

N,

使得

NE=BF，进而猜想此时

DE

与

EF

有怎样的数目关系

.简析：本题第一问为了降低难度，连结了

NE,

BF，同时也是示意经过证明含有

DE,NE的△DNE与含有EF,BF的△EBF全等，证明DE二EF沿着第一问的证明思路，能够经过全等三角形，做出符合条件的点，同时的数目关系便如数家珍了.

,

NE

二BF

这两个猜想.DE

第二问，与EF简解：

(1)①

DE

二

EF

?，②

NE

二

BF

.③证明：

???四边形

ABCD

是正方形，点

N，E

分别为

AD，AB

的中点，二

DN=EB

.???BF均分/CBM，AN=AE，???.DNEEBF=90：45=135°.???.NDE?DEA=90：，.BEF.DEA=90：，NDE"BEF.?△DNEEBF.DE=EF，NE=BF.(2)在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE)，连结NE，点N就使得NE=BF成立(图略).此时，DE=EF.简评：本题的问题由易到难，有条不紊，合适于各样学习程度的学生

.题目考察了学生用运动的看法研究图形中的数目关系的能力，让学生经历了“问题情境-----成立模型一一—解说、应用与拓展”的解决问题的过程；本题也是一道经典试题的变式和引申，把它改为了素来角三角形的两直角边，这就隐含了垂直关系

.例3,例4两道试题的出现表现了经典题目的价值，也再一次提示教师在教课中应重视经典题目的变形、改编、挖掘，实现贯通融会，一题多能的收效.热门展望从近几年河北省中考数学试卷中的几何证明试题来看，预计

2008

年的几何证明题很有

可能持续沿用将特别几何图形的变化作为背景，

利用平移、旋转、翻折或综合变换的形式呈

现问题，综合考察学生合情推理和演绎推理能力互订交融的题目.模拟练习1.

如图

5(1),

四边形

ABCD

是正方形，等腰直角三角尺

AMN

的非直角极点

A与正方形的极点A重合，斜边

AN与正方形对角线重合

.(1)如图5(2),三角尺绕点A逆时针旋转，AM与BC交于点E,AN与CD交于点F，连结EF.NBAE+NDAF=_________'.②经过丈量BE,EF,FD③请证明你的上述猜想

.

的长度，猜想

BE

十

DF

与

EF

知足的数目关系是

______________;(2)如图

5(3),

三角尺绕点

A持续逆时针旋转，

AM

与

BC

的延伸线交于点

E,

AN

与CD

的延伸线交于点

F，连结

EF.经过丈量

BE,

EF,

FD

的长度，猜想

BE,

DF

与

EF

知足的数目关系是______________________.2?如图6,已知：Rt△ABC中，.C=90,AC二BC=2，将一块三角尺的直角极点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边一直保持分别与边BC,AC交于D,E两点(D,E不与B,A重合).经过察看或丈量MD与ME的长度，猜想MD与ME知足的数目关系是_______;并证明你的猜想.求四边形MDCE的面积；(3)当三角尺绕着点

M

持续旋转时，两直角边分别与边

CB

,AC

的延伸线交于

D,

E

两点.经过察看或丈量

MD

与

ME

的长度，

猜想MD

与

ME

知足的数目关系是

___________________.(4)若只将原题目中的“

AC=BC=2

”改为“

BC=a

,

AC=b

(

a^b)”其余

都不变，请你研究：

MD

和

ME

还相等吗？假如相等，请证明；假如不相等，恳求出

MD:ME

的值.3.

取一副三角板按图

7(1)拼接，固定三角板

ADC，将三角板

ABC

绕点

A

依靠时针方向旋转一个大小为

:的角(0；：：：

:

<45

)获得△

ABC

?，如图

7(2)所示.

试问：(1)当〉为多少度时，能使得图7(2)中AB//DC?(2)当旋转至图7(3)地点，此时:又为多少度？图7(3)中你能找出哪几对相像三角形，并求此中一对的相像比；(3)连结BD,当0「：：:<45时，探访.DBC'.CA^BDC值的大小变化情况，并给出你的证明.4?已知四边形MBN=60,

ABCD中，AB_AD,BC_CDMBN绕B点旋转，它的两边分别交

,ABAD,

二BC,■ABC=120DC(或它们的延伸线)于

,E

,(1)当?MBN绕B点旋转到AE=CF时(如题图8(1)),经过察看或丈量与EF的长度，猜想AE+CF与EF知足的数目关系是______________.(2)当.MBN绕B点旋转到AE=CF时，在图8(2)状况下，猜想AE,

AECFCF与EF的数目关系是

_______

，并请证明你的猜想；(3)在图

8(

3)状况下，猜想

AE,

CF

与

EF

的数目关系，请写出你的猜想，不需证明.5?有一个等腰直角三角尺ABC和一把足够长的直尺MN，直尺MN经过直角极点C,且AD_MN于D,BE_MN于E；(1)当直尺MN绕点C旋转到图9(1)的地点时，经过察看或丈量AD-BE与DE的长度，猜想AD+BE与DE知足的数目关系是_________?并请证明你的猜想；(2)________________________________________当直尺MN绕点C旋转到图9(2)的位置时，经过察看或丈量AD_BE与DE的长度，猜想AD-EB与DE知足的数目关系是?并请证明你的猜想；(3)________________________________________当直尺MN绕点C旋转到图9(3)的地点时，经过察看或丈量DE