2021高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课时作业含解析新人教B版

PAGE导数的概念及运算课时作业1．y＝lneq\f(1,x)的导函数为()A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)答案A解析∵y＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．(2020·人大附中月考)曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线的斜率是()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析y′＝eq\f((x＋1)′(x－1)－(x＋1)(x－1)′,(x－1)2)＝－eq\f(2,(x－1)2)，故曲线在(3,2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－eq\f(2,(3－1)2)＝－eq\f(1,2)，故选D．3．(2019·海南三亚模拟)曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0答案B解析y′＝eq\f(2x－1－2x,(2x－1)2)＝－eq\f(1,(2x－1)2)，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.故选B．4．函数f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0的值为()A．e2 B．1C．ln2 D．e答案B解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2020＋lnx，故由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，则lnx0＝0，解得x0＝1.故选B．5．若f′(x0)＝－3，则eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h),h)＝()A．－3 B．－6C．－9 D．－12答案B解析f′(x0)＝－3，则eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h),h)＝eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0)＋f(x0)－f(x0－h),h)＝eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0),h)＋eq\o(lim,\s\do4(－h→0))eq\f(f(x0－h)－f(x0),－h)＝2f′(x0)＝－6.6．若曲线f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝xα在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则实数α的值为()A．－2 B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案A解析因为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝αxα－1，所以曲线f(x)，g(x)在点P处的切线斜率分别为k1＝eq\f(1,2)，k2＝α，因为l1⊥l2，所以k1k2＝eq\f(α,2)＝－1，所以α＝－2.故选A．7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(e)x＋lnx，则f′(e)＝()A．eq\f(1,e) B．eC．－eq\f(1,e) D．－e答案C解析由f(x)＝2f′(e)x＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，则f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)⇒f′(e)＝－eq\f(1,e).故选C．8．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3,3),3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3,9),3)答案D解析y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－eq\f(1,2)x2⇒y′＝－x，由题意得3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，解得xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,3)，即x0＝eq\r(3,\f(1,3))＝eq\f(\r(3,9),3).故选D．9．已知函数f(x)在x＝1处的导数为－eq\f(1,2)，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx B．f(x)＝xexC．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) D．f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(x)答案D解析A中f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－lnx))′＝x－eq\f(1,x)，B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex，C中f′(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))′＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，D中f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\r(x)))′＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(1,2\r(x)).分别将x＝1代入检验，知D符合．10．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝()A．0 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．2答案C解析如图所示，直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝eq\f(1,x)，令eq\f(1,x)＝1，得x＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).故选C．11．(2019·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0答案B解析设直线l的方程为y＝kx－1，直线l与f(x)的图象的切点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx0－1＝y0，,x0lnx0＝y0，,lnx0＋1＝k.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝0，,k＝1.))所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.12．(2019·大连模拟)已知f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝lnx－3x，则曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于()A．1 B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)答案C解析设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝ln(－x)－3(－x)＝ln(－x)＋3x.因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，f′(x)＝eq\f(1,x)＋3，于是曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线斜率k＝f′(－1)＝2，因此切线方程为y＋3＝2(x＋1)，即y＝2x－1，故切线与两坐标轴围成图形的面积S＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故选C．13．已知f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，则f′(1)＝________.答案－e解析因为f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，所以f′(x)＝－e2－x＋f′(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))，令x＝1，得f′(1)＝－e＋f′(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－1))＝－e.14．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))解析由题意，知方程f′(x)＝－eq\f(1,e)有解，即ex－m＝－eq\f(1,e)有解，即ex＝m－eq\f(1,e)有解，故只要m－eq\f(1,e)>0，即m>eq\f(1,e)即可．故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).15．(2020·咸阳模拟)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________.答案－2y＝1解析因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.16．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.答案(e,1)解析设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝eq\f(1,m)(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝eq\f(1,m)(m＋e)．再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e,1)．17．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．解对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直．所以(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，即4xeq\o\al(2,0)－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(2,0)－2x0＋2，,y0＝－x\o\al(2,0)＋ax0＋b))⇒2xeq\o\al(2,0)－(a＋2)x0＋2－b＝0.②由①②消去x0，可得a＋b＝eq\f(5,2).18．已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．解(1)f′(x)＝1－eq\f(a,ex)，因为曲线y＝f(x)在点(1，