电路分析 第八章阻抗及导纳

本章重点:阻抗和导纳、两类约束的相量形式、相量法本章难点：相量模型第八章阻抗和导纳变换方法的概念§8-1振幅相量§

8-3相量线性性质和基尔霍夫定律相量形式§8-4三种基本元件VCR的相量形式§8-5阻抗和导纳§8-6相量模型(phasormodel)§8-7正弦稳态电路的分析§8-8相量模型的网孔分析法和节点分析法§8-9相量模型的等效§8-10有效值有效值相量§8-11两类特殊问题相量图法§8-12基本思路8-1变换方法的概念原来的问题变换域中较易的问题原来问题的解答变换域中问题的解答变换反变换求解直接求解8-3振幅相量1.正弦稳态电路正弦波

u(t)=Umcos(ωt+θu)i(t)=Imcos(ωt+θi)三特征:振幅，角频率ω，初相角θ正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅正弦量复数变换的思想2.振幅相量欧拉恒等式:ejθ=cosθ+jsinθ正弦波:u(t)=Umcos(ωt+θ)u(t)=Re[Umej(ωt+

θ)]=Re[Umejθ

ejωt

]在确定频率下,正弦波都有唯一与其对应的复数-----相量。Ùm=Umejθ=Um

∠θ相量：能够表征正弦时间函数的复值常数Úm电压振幅相量，Ím电流振幅相量Úm⇔u(t)则u(t)=Re[Úm∠ωt]Ím⇔i(t)则i(t)=Re[Ím∠ωt]相量是与t无关的复值常数，模为正弦波振幅，幅角为初相相量只能代表正弦波，并不等于正弦波正弦激励下动态电路中求微分方程特解的方法：相量法8-11有效值有效值相量1.有效值(effectivevalue)U，I从平均做功能力，这两个电流是等效的周期电流(压)有效值的定义式:正弦波的有效值RRi(t)I2.有效值相量例求正弦波的振幅相量和有效值相量(1)5sin(ωt+30º);(2)–8cos(ωt-45º);(3)-6sin(ωt-120º)思路：正弦波的振幅和初相解(1)5cos(ωt-60º);5∠-60º2.5∠−60°

(2)8cos(ωt+135º);8∠135º4∠135°

(3)6cos(ωt-30º)6∠-30º3

∠−30°相量图为6∠-30º8∠135º5∠-60º+1+j8-4相量线性性质和基尔霍夫定律相量形式(1)KCL在任一节点，Σik(t)

=0

在单一频率正弦激励下的线性非时变电路,Σik

(t)

=Σikm

cos(ωt+θk)=ΣRe(Í

kme

jωt

)=0KCL相量形式：在任一节点，(2)KVL沿任一回路，Σuk(t)

=0

KVL相量形式：沿任一回路，正弦稳态电路中基尔霍夫定律可直接用电压电流相量表示。在相量图中，电流(电压)的相量和构成闭合多边形。注意例8-5图8-9所示为电路中的一个节点，已知：i1(t)=10cos(ωt+600)Ai2(t)=5sin(ωt)A求i3(t)。i1i3i2解1、电流i1和i2的振幅相量为：Í1m=10∠600A，Í2m=5∠-900A2、由KCL的相量形式可得i3的振幅相量：Í3m=Í1m+Í2m=10∠600+5∠-900

=5+j8.66-j5=5+j3.66=6.2∠36.20

A3、由i3的振幅相量写出i3(t)i3(t)=6.2cos(ωt+36.2)A10∠6005∠-9006.2∠36.20

+1+j例8-6已知：uab=-10cos(ωt+600)V，ubc=8sin(ωt+1200)V求uac。解：由于各电压为频率相同有正弦波，且uac=uab+ubc故其电压相量关系为：Úacm=Úabm+Úbcm其中：Úabm=10∠600+1800=10∠2400=10∠-1200V，

Úbcm=8∠1200-900=8∠300V故得：Úacm=10∠-1200

+8∠300

=-5-j8.66+6.93+j4=1.93-j4.66=5.04∠-67.50VÚ=RÍ8-5三种基本元件VCR的相量形式1.电阻元件时域关系u(t)=Ri(t)Umcos(ωt+θu)=RImcos(ωt+θi)相量关系Re(Úm

e

jωt

)=RRe(Íme

jωt)=Re(R

Ím

e

jωt

)其中：Úm=Um∠θu

Ím=Im∠θi且θu=θi；即电阻两端的正弦电压与流过的正弦电流同相Úm=RÍm此为电阻元件VCR的相量形式，表明电压、电流的幅度和相位关系。即:Um∠θu=RIm∠θiUm=RIm,θu=θi+-Riu-+RÍmÚmÚmÍm+1+jθu=θi2.电容元件时域关系Imcos(ωt+θi)=－CωUmsin(ωt+θu)=CωUmcos(ωt+θu+90º)Im=ωCUmθi=θu+900相量关系Re(Í

m

ejωt)=Re(jωCÚ

m

ejωt

)Í

m=jωCÚ

mÍ

=jωCÚ

Im∠θ

i=ωCUm

∠(θu

+90°)Im=ωCUm

电流超前电压90ºθ

i=θu+90°电容元件VCR相量形式ÚmÍm+1+j+-Ciu+-CÍmÚm2.电感元件时域关系由此根据电路的对偶关系，可得到电感谢的VCR相量形式：Ú

m=jωLÍ

mÚ

=jωLÍ

Um∠θ

u=ωLIm

∠(θi

+90°)Um=ωLIm

电流滞后电压90ºθ

u=θi+90°电感元件VCR相量形式ÚmÍm+1+j例8-8流过0.5F电容的电流为A。试求电容的电压u(t)，并绘相量图。用相量关系求解，应注意如下几个步骤解（a）写出已知正弦量i(t)的相量（b）利用相量关系进行运算V（c）根据算得的相量写出对应的正弦量V（d）画出相量图+j+1ÍmÚmO8-6VCR相量形式的统一——

阻抗和导纳在关联参考方向下，三种基本元件VCR相量形式分别为：电阻元件：Úm

=RÍm电容元件：Ú

m=1/jωCÍm电感元件：Ú

m=jωLÍ

m1、阻抗和导纳阻抗(impedance)：元件在正弦稳态时电压相量与电流相量之比。用Z表示，单位欧姆Ω。或正弦稳态下三种元件VCR相量统一形式为：Úm=ZÍm

电阻阻抗ZR=R电容阻抗电感阻抗ZL=jωL欧姆定律的相量形式导纳(admittance)：阻抗的倒数，用Y表示，单位西门子S。Y=1/Z=Í/Ú(在关联参考方向下)电阻导纳YR=1/R=G电容导纳YC=jωC电感导纳由上面分析研究可知，电容电感的阻抗和导纳均为虚数，即：Z=jX故X为：X=Im[Z]称为电抗。容抗：感抗：XL=Im[ZL]=ωL同理：Y=jB

B=Im[Y]称为电纳。容纳：BC=Im[YC]=ωC感纳：2单口网络的阻抗和导纳无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳输入阻抗：(在关联参考方向下)输入导纳：(在关联参考方向下)N0ωÍ+-ÚRX|Z|φZ阻抗三角形8-7相量模型(phasormodel)电路模型N：以R、L、C等参数来表征元件的模型

相量模型Nω：运用相量对正弦电路进行分析计算的假想模型和原电路有相同的拓扑结构，各元件用阻抗或导纳表示

电阻R⇒R；电容C⇒-j/(ωC)；电感L⇒jωL；

电压电流用相量表示，其参考方向仍与原电路相同+----+++ustuLuRuCRLCi(t)原电路时域模型N-j/(ωC)+----+++ÚsmÚLmÚRmÚCmÍmjωLR相量模型Nω8-8正弦稳态混联电路的分析相量分析法：以相量模型为分析对象，两类约束相量形式为基本依据，仿照直流电阻电路的分析方法分析正弦稳态电路。（1）时域变频域时域模型N(原电路图)⇒相量模型Nω（2）频域分析参考电阻电路分析方法。基于相量阻抗，分析正弦稳态电路（3）频域变时域把相量化为正弦波表示8-9相量模型的网孔分析和节点分析1.网孔分析法回顾：电阻电路的网孔分析法Rii：网孔自电阻Rkj：(k≠j)网孔k与j的互电阻Usii：网孔i中电源电压升代数和相量模型的网孔分析法Zii：网孔自阻抗Zkj：(k≠j)网孔k与j的互阻抗Úsii：网孔i中电源电压相量的代数和，电压升为正。2.节点分析法回顾：电阻电路的节点分析法Gii：节点i自电导Gkj：(k≠j)节点k与j的互电导isii：流入节点i电流源电流代数和，流入为正相量模型的节点分析法Yii：节点i自导纳Ykj：(k≠j)节点k与j的互导纳Ísii：流入节点i电流源电流相量的代数和，流入为正。注意：如相邻节点1、2间电导为G1，则G12=G21=-G18-10相量模型的等效N0ωÍ+-等效概念也可用于相量模型。1、对于给定不含源单口网络N0ω，其VCR为：Ú=ZÍZ为单口网络的输入阻抗，一般为复数，即：Z=R+jXRjXÍ+Ú-X>0,RL串联感性电路X<0,RC串联容性电路B>0,RC并联容性B<0,RL并联感性感性电路：电压超前电流容性电路：电压滞后电流ÚYjB+-Í或：Í=YÚY=G+jBR,X,G,B均为频率ω的函数,等效电路是指某一频率下的等效。注意：2、正弦稳态含源单口网络的等效给定正弦稳态含独立电源的单口网络Nω，可以运用戴维南定理和诺顿定理求得它的等效相量模型。NωÍ+-Z0+-ÚOC+-Z0ÍSC8-12两类特殊问题相量图法二类特殊问题:只需计算有效值和相位差相量图法：先定