初中数学沪科版九年级上册第23章　解直角三角形【全国一等奖】

视角在解直角三角形中的应用课后作业：方案（B）一、教材题目：P126练习T2，P128练习T11．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山另一侧的E处同时施工.如果从AC上取一点B，使∠ABD=140°，BD=520m,∠D=50°，那么开挖点E离点D多远，才能使点A，C,E正好在一条直线上？（精确到1m)如图，某直升机于空中A处测得正前方地面控制点C的俯角为30°；若航向不变，直升机继续向前飞行1000m至B处，测得地面控制点C的俯角为45°，求直升机再向前飞行多远，与地面控制点C的距离最近（结果保留根号）.二.补充:部分题目来源于《点拨》3．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点间的距离是()A．200mB．200eq\r(3)mC．220eq\r(3)mD．100(eq\r(3)＋1)m〈湖北随州，实际应用题，易错题〉如图，在一次暑期旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45°.游船向东航行100m后(B处)，测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°，60°.试问：太婆尖、老君岭的高度分别为多少米？(eq\r(3)≈，结果精确到1m)〈山东潍坊，易错题〉今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040m，斜坡BC的长为400m，在C点测得B点的俯角为30°，已知A点海拔121m，C点海拔721m.(1)求B点的海拔；(2)求斜坡AB的坡度．〈四川宜宾，方案设计题〉如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山．为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)．请设计一个求距离MN的方案．要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．答案教材1．解：∠BED＝∠ABD－∠D＝140°－50°＝90°.因为在Rt△BED中，∠BED＝90°，∠D＝50°，cosD＝eq\f(DE,BD)，所以DE＝BD·cosD＝520×cos50°≈334(m)．答：开挖点E离点D334m远，才能使点A，C，E正好在一条直线上．2.解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝90°.因为tanA＝eq\f(CD,AD)，tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，所以AD＝eq\f(CD,tanA)，BD＝eq\f(CD,tan∠CBD).所以eq\f(CD,tanA)－eq\f(CD,tan∠CBD)＝AD－BD，即CDeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanA)－\f(1,tan∠CBD)))＝AB.所以CD＝eq\f(AB,\f(1,tanA)－\f(1,tan∠CBD))＝eq\f(1000,\f(1,tan30°)－\f(1,tan45°))＝eq\f(1000,\r(3)－1)＝500eq\r(3)＋500(m)．所以BD＝CD＝(500eq\r(3)＋500)m.答：直升机再向前飞行(500eq\r(3)＋500)m，与地面控制点C的距离最近．点拨D点拨：由题意知∠A＝30°，∠B＝45°.在Rt△ACD中，∵tan30°＝eq\f(100,AD)，∴AD＝eq\f(100,\f(\r(3),3))＝100eq\r(3)(m)．在Rt△BCD中，DB＝CD＝100m．∴AB＝BD＋AD＝100＋100eq\r(3)＝100(eq\r(3)＋1)(m)．解：设太婆尖高h1m，老君岭高h2m，依题意，有eq\f(h1,tan30°)－eq\f(h1,tan45°)＝100，eq\f(h2,tan45°)－eq\f(h2,tan60°)＝100.∴h1＝eq\f(100,\r(3)－1)＝50(eq\r(3)＋1)≈137(m)．h2＝eq\f(100,\f(3－\r(3),3))＝50(3＋eq\r(3))≈237(m)．答：太婆尖的高度约为137m，老君岭的高度约为237m.方法规律：本题运用数形结合思想和方程思想解题，有的同学由于找不出h1，h2与100之间的关系而导致错误，此外还有的同学因为解错方程而造成求解错误．5.解：(1)如图所示，过C点作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，垂足分别为E，D.∵在C点测得B点的俯角为30°，∴∠CBD＝30°.又BC＝400m，∴CD＝400×sin30°＝400×eq\f(1,2)＝200(m)．∴B点的海拔为721－200＝521(m)．(2)∵BE＝DF＝CF－CD＝721－121－200＝400(m)，AB＝1040m，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(10402－4002)＝960(m)，∴斜坡AB的坡度为eq\f(BE,AE)＝eq\f(400,960)＝eq\f(1,，故斜坡AB的坡度为1∶.点拨：本题只有正确理解了“俯角”“海拔”和“坡度”的含义，才能将所求问题转化到某直角三角形中应用锐角三角函数求解．本题是易错题，容易忽视海拔高度的含义而造成错误．解：(1)如图所示，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连接AM，BM.(2)第一步：在Rt△AMN中，tanα＝eq\f(MN,AN)，∴AN＝eq\f(MN,tanα).第二步：在Rt△BMN中，tanβ＝eq\