2023年概率统计试题库及答案

概率论与数理记录试题库一、填空题（一）第一章设A、B、C表达三个随机事件，试用A、B、C表达下列事件：①三个事件都发生________________；②A、B发生，C不发生_____________；③三个事件中至少有一个发生________________________。（，，）设A、B、C为三个事件，则这三个事件都发生为；三个事件恰有一个发生为。（）。设A、B、C为三个事件，则这三个事件都不发生为；三个事件至少有一个发生为。（）设A、B、C表达三个事件，则事件“A、B、C三个事件至少发生一个”可表达为，事件“A、B、C都发生”可表达为，事件“A、B、C三事件中至少有两个发生”可表达为。（，，）设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”可表达为_____________;事件“A、B、C不都发生”可表达为_______________；事件“A、B、C都不发生”可表达为______________。（,;）___________；_____________；____________。（，，）设事件A、B、C，将下列事件用A、B、C间的运算关系表达：（1）三个事件都发生表达为：_____________；（2）三个事件不都发生表达为：_____________；（3）三个事件中至少有一个事件发生表达为：___________。（，，）用A、B、C分别表达三个事件，试用A、B、C表达下列事件：A、B出现、C不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（）当且仅当发生、不发生时，事件______________发生。（）以A表达事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件表达。（甲种产品滞销或乙种产品畅销）有三个电子元件，用分别表达事件“元件正常工作”，试用表达下列事件：三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作；至少有一个元件正常工作。()若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B_________事件A。（包含）若A为不也许事件，则P(A)=；其逆命题成立否。（0，不成立）设Ａ、Ｂ为两个事件，P(A)＝０.5,P(A－B)=0.2，则。（0.7）设，，若互不相容，则__________；若互相独立，则___________。（0.3，0.5）设为二事件，且，，则_______。（0.16）已知，，与互相独立，则=_______。（0.58）已知，，则___________。（）已知，P(，则____________.（）已知。（0.6）设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞P（B）＞0，则。（1）已知P（A）=4/15，P（B）=7/15，P（A|B）=1/15则P（AB）=____________。（）随机事件A、B满足_________。（0.7）=_________;_______________;若A与B互不相容，则_______________。（0，1，）A,B为两事件，假如且，则A与B______________。（互相独立）若且，则称事件与事件互为___________事件。（逆）设A，B是两个随机事件，P(A∪B)=0.7,P(A)=0.4,当A,B互不相容时，P(B)=;当A，B互相独立时，P(B)=。（0.3，0.5）已知，，，则____________。（0．60）计算下列算式：（1）=_________；（2）=_________；（3）若A,B独立,P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P(B-A)=_________。（，，0.14）设Ａ、Ｂ是两个事件，若，则有_______________。（）设，，且与互相独立，则____________。（0.65）若，则称事件与是_____________的。(互斥)设A、B为两事件，已知，若当A、B互不相容时，；若当A、B互相独立时，。（0.9，0.7）设A、B为两事件，已知，则当A与B互不相容时，；当A与B独立时，。（0.4，0.5）对于任意两个事件与有___________________________。()100件产品中有两件次品，任取三件至少有一件正品的事件是事件，其发生的概率是。（必然，1）100件产品中有两件次品，任取三件均是次品的事件是事件，其发生的概率是。（不也许，0）10件产品中有2件次品，从中任取3件，“至少有1件正品”是_________事件，其概率为_____________；“全是正品”是________事件，其概率为_________。（必然，1；不也许，0）100件产品中有3件次品，任取5件全是次品是__________事件，其概率为________________。（不也许、0）10件产品中有5件次品，从中随机抽取2件，一次一件，已知第一件是次品，则第二件也是次品的概率为________________。（）将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为。（）某人连续向一目的射击，每次命中目的的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是。（）100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算式）。（）某楼有供水龙头5个，调查表白每一龙头被打开的概率为，则恰有3个水龙头同时被打开的概率为____________（只写算式）。（）古典概型的重要特点是：______________________________和______________________________。（样本空间中基本领件总数是有限的，每一基本领件发生是等也许的）100件产品中有5件次品，任取10件，恰有2件为次品的概率为_____________________（只写算式）。（）12件产品中有2件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，则第二次取到次品的概率为____。（）某人射击时，中靶的概率为，假如射击直到中靶为止，则射击次数为３的概率为_____________。一盒中装有5个白球，2个黑球，从中任取两个球，恰有一个黑球的概率是____________。（）在书架上任意放置8本不同的书，其中指定3本放在一起的概率为__________。（）在二级产品中任取一件，取到一级品是：__________事件；取到二级品是：__________事件，其概率为__________。（不也许，必然，1）某车间有5台互相独立运营的设备，开工率均为1/4，则有3台同时开工的概率为__________。（只写算式）（）5人排成一排照相，其中a.,b两人不能相邻照相的概率为_________。（）4.3个人选等也许地选择五条不同的道路，则至少有两人选择同一条道路的概率为：_________。（）两人在1到10个号码中允许反复地各选取一个,则最大号码为5的概率为_________。（）甲乙两人赌博约定五局三胜,设两人每局的胜率相等.在甲已胜二场,乙已胜一场的情况下,乙最终获胜的概率为_________。（）设，是两个事件，且，则___________________。（）当事件，，两两独立时，则有________________。（）设，为事件，且，则有________________。（）已知，，，则____________。（0.5）已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B|A)=0.8,则P(A∪B)=。（0.7）已知P（A）=0﹒6，P（B）=0﹒4，P（A︱B）=0﹒45，则P（AB）=。（0.82）某车间有5台互相独立运营的设备，开工率均为p，若至少有3台设备同时开工生产才干正常进行,则生产能正常进行的概率为_________。（只写算式）（）设实验的样本空间为，为的事件，为的一个划分，且，则____________。（）设实验的样本空间为，为的事件，，为的一个划分，且，，，则________________________。()（二）第二章100件产品中有3件次品，任取5件，设为5件中所含次品数，则的也许取值为_________________。从装有5个白球和2个黑球的盒中，从中随机地取两个球的，其样本空间有_______个样本点;若每次取一个，无放回地取两次，其样本空间S又有_______个样本点.。（）设随机变量可取三个值，且，，则_________。（0.3）随机变量的分布函数为，则=。设随机变量ξ可取0，1，2三个值，且P{ξ=1}=0.3,P{ξ=2}=0.2,则P{ξ=0}=_____________。（0.5）已知连续型随机变量X的分布函数为则P{0.5<X<1.5}=____________,P{X>2/3}=______________。（0.75,）设随机变量X的分布律为。（0.9）设是一个随机变量，是任意实数，则的分布函数______________。()设连续型随机变量服从上的均匀分布，则的概率密度________________。()设某随机变量X的分布律为，，则C=___________。()在上均匀投点，点落在上的概率为_________________。(0.5)设为随机变量的概率密度，则__________________。(1)若连续型随机变量，则，服从______________________分布。()若连续型随机变量，则，服从______________________分布。()某车间有5台互相独立运营的设备，开工率均为，则恰有2台同时开工的概率为_____________（只写算式）。()10件产品中有3件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为____。()设随机变量服从参数为的泊松分布，则_____________。()设随机变量的分布律为为常数，则_____________。()设随机变量具有概率密度则A=___；____________。(，)设连续型随机变量的分布函数为，则c=，密度函数f(x)=,数学盼望_________________。()随机变量的分布函数为，则=__________。(0.1)连续型随机变量X的密度函数为f(x),则=。(1)设随机变量X~N（0,1），φ（x）为其分布函数，则φ（x）+φ（-x）=。（1）.已知随机变量的分布函数为，则P(X=1)=__，P(X=2)=__,P(X=3)=__。（P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.1,P(X=3)=0.5）设，则X的函数Y=~N(0,1)。（）设，且，则=__________。（0.05）。（）设随机变量的分布函数为，则对于任意实数，有____________。（）设连续型随机变量服从区间上的均匀分布，则的分布函数___________________。（）设随机变量具有概率密度，，则常数_____________________。（3）设连续型随机变量服从正态分布，则的概率密度为__________________。（）设正态随机变量密度函数，则；。（）设随机变量的分布函数为,则随机变量的概率密度函数为。（）已知随机变量X的概率密度为，令，则的概率密度=。（）设随机变量，且，则___________________。（）设，（用表达）。（）(,)。（N(3,42)）（三）第三章设二维随机变量的联合分布律为，，则____________。设二维随机向量（X，Y）的联合分布列为YX0120120则P{X＝0}＝。（）设（ξ，ζ）是二维随机变量，分别表达(ξ,ζ)的联合概率密度及边沿概率密度，若ξ,ζ互相独立，则三者关系为_______________________。设的联合分布律，则。（）设二维随机变量与的联合概率密度为，则关于的边沿概率密度为________________；关于的边沿概率密度为__________________。（，）设二维随机变量和的联合概率密度为，则____________；X和Y的联合分布函数_________________。（1，=）设离散型随机变量的分布律为，，则_______________。（1）设是连续型随机变量，，，分别为的概率密度和边沿概率密度，则和互相独立的条件是____________________________在平面上几乎处处成立。（）设的概率密度为，则的概率密度为______________________。（=）对随机变量，若对任意都有，则称随机变量与是的。（独立）(四)第四章已知，，则，，。（3，3.75，15）设随机变量，且，，则；；。（6，0.4，）某单位有200人购买体育彩票，该彩票的中奖率为，则也许获奖人数平均为________人。（9）已知,则；若，而，则__________。（，）设随机变量服从上的均匀分布，则，。（，）设随机变量的概率密度为则。（）某班工人天天生产中出现次品数的概率分布为1234P0.20.30.40.1则平均天天出次品件。（2．4）地铁运营间隔时间为12分钟，乘客在任意时刻进站台，乘客平均候车时间为分钟。（6）若～，。（10；5）已知E（ξ）=0.5,E（ξ2）=3,则E（4ξ）=__________，D（ξ）=__________，D（2ξ+3）=_____________。（2，2.75，11）设ξ～B（4，0.1）,则E（ξ）=_______，D（ξ）=_____________。（0.4,0.36）设随机变量X在区间上服从均匀分布，则。（0，）8、已知,,则，，。（2，2.75，11）设是连续型随机变量，它的概率密度为，是随机变量的函数；（是连续函数），则的数学盼望表达式为___________________。（））设随机变量，且X与Y互相独立，则_________，__________。（-3,12）设随机变量X的密度函数为，则。（）设数学盼望和方差均存在的离散型随机变量的分布律为，，则的数学盼望_____________；方差_______________。（，）设随机变量，则_____________，______________。（，）设随机变量具有概率密度其中为常数，则称服从参数为的________分布；____________；_____________。（指数，，）设连续型随机变量的概率密度为，则的数学盼望_________________。（）设随机变量服从上的均匀分布，则__________;_______________。（，）已知随机变量，则_____________；____________；____________。（，，）设随机变量，则_____________，______________。（np，np(1－p)）设某次数学选拔赛考试成绩服从N，则这次考试的平均分大约为__________;_______________。（81．5，）已知，则，。（）服从参数的泊松分布，令，则，。（）已知随机变量，且6，3，则n=____________。（12）已知，则，。（）已知E(X)=0.5，E(X2)=1，则D(X)=______，E（2X+1）=______，D（2X+1）=______。（0.75,2，3）已知，______。（1）已知~，令，则。（9）已知，则E(X2+X+1)=.（3.8）已知.（−1.2）设随机变量，令，则__________；______________。（）设随机变量，则_________________；____________________。,已知，，则________________；_________________；_____________。（10，1，4）若随机变量，则的分布律；。（）设存在，且，设，则；。()若随机变量，则的密度函数；。（）已知，则；。（）(五)第五章设是总体的样本，，分别是样本均值和样本方差，则服从_________分布；服从_____________分布。（,）设是总体的样本，当未知时，置信度为的的置信区间为____________________。已知，为样本均值，样本容量为9，则。（用标准正态分布表达）（）来自正态总体的一个简朴随机样本为，则样本的样本容量为，，。（）已知，为样本均值，样本容量为16，则。（）.（）设，，且独立，则随机变量服从分布。（）（六）第六章满足_______________的估计量是参数的无偏估计量。（）设为未知参数的两个___________估计，且满足________________,则称更有效。（无偏，）设的估计量，则不是总体的无偏估计，这是由于______________________。（）设X1,X2,…,Xn,是总体X的一个样本,且D(X)=,则的矩估计量=______________________。（）若估计量的数学盼望存在，且是的无偏估计量，则有__________________。（）总体方差的无偏估计量是。（）(七)）第七章已知，随机抽取容量为16的样本，求得，则的置信度为的置信区间（，）为________________。对于一个正态总体，当已知方差，检查假设时所用的记录量是（），它服从（）分布。（）当已知方差，检查假设时，拒绝域为。（）对于一个正态总体，当未知方差，检查假设时所用的记录量是，它服从分布。（）当未知方差，检查假设时，拒绝域为。（）假设检查是通过样本来推断总体性质的一种方法，不能绝对保证不犯错误，第一类错误是指_______________________，第二类错误是指_________________________________________。（弃真，取伪）设总体X的分布中具有未知参数，是由样本所拟定的两个记录量，假如对于给定的有，则随机区间__________为的置信度为__________的置信区间。（）设总体，为已知，，，……是来自总体的样本，则的置信度为的置信区间为__________________。设总体，为未知，，，……是来自的样本，则置信度为的置信区间为__________________________。正态总体下，当已知，检查假设：时，选用记录量______________。（）在未知正态总体方差的情况下，检查假设：时，选用记录量______________。（）设均为已知，则的置信水平为的置信区间为。设已知，是总体的一个样本，则的置信水平为的置信区间为。在假设检查中若原假设实际为真时却拒绝，称这类错误为。弃真（第一类错误）正态总体的方差的置信水平为的置信区间为。二、解答题甲，乙，丙三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问：密码被译出的概率；（2）甲、乙译出而丙译不出的概率。解：设分别表达三人能评出密码，则，，①密码被译出的概率为：==②甲乙译出而丙译不出的概率为：设甲袋中装有6只白球、4只红球；乙袋中装有2只白球、3只红球，今从甲袋中任意取一只白球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问：①从乙袋取到白球的概率是多少？②若从乙袋取到白球，则从甲袋取到的也是白球概率的是多少？解：设=“从甲袋中取到白球”，=“从乙袋中取到白球”①=②将两信息分别编码为和传送出去，接受站收届时，被误收作的概率为，而被误收作的概率为。信息与信息传送的频率限度为。1）若接受站收到一信息，是的概率是多少？2）若接受站收到的信息是，问原发信息是的概率是多少？解：设，分别表达发出，；，分别表达收到，，则1）2）某人从南京到上海办事，他乘火车、乘汽车、乘飞机的概率分别为假如乘火车去正点到达的概率为，乘汽车去正点到达的概率为0.9，乘飞机去肯定正点到达，则：求他正点到达上海的概率。(2)假如他正点到达上海，乘火车的概率是多少？解：设分别表达该人乘火车、乘汽车和乘飞机，D表达他正点到达上海，则，（1）（2）将一枚均匀的硬币连续掷三次，求至少出现一次正面的概率。解：设=“至少出现一次正面”，则.有甲乙两批种子,发芽率分为0.8和0.7,在两批种子中各任取一粒,求:(1)两粒种子都不发芽的概率.(2)一粒发芽一粒不发芽的概率.解:设A=“第一粒种子发芽”，B=“第二粒种子发芽”，则：有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意地从第一批中抽取一件混入第二秕中，然后，再从第二批中任意抽出一件产品。试求从第二批产品中抽出次品的概率。若从第二批产品中抽到的是次品，求从第一批产品中也抽到的是次品的概率。解：设分别表达人第一批产品和第二批产品中抽到次品,则(1) ==.(2)= =一个工人照看三台机床，在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要人照看的概率分别是，求在一小时内没有一台机床需要照看的概率。解：设分别表达甲、乙、丙机床需要照看，则没有一台机床需要照看的概率为：将3个球随机地放入4个瓶中，求（1）每瓶至多有1个球的概率。（2）每瓶至多有2个球的概率。解：设=“每瓶至多有1个球”，B=“每瓶至多有两个球”(1)-(2)电池A、B、C安装线路如图。A、B、C是独立的，损坏的概率分别为0.3，0.2，0.1。求电路发生短路的概率。AACCBB解：设分别表达电池损坏、表达电路断电，则=0.154两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.03，第二台加工的废品率为0.02，加工出来的零件不加标签混合放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工的占2/3，由第二台加工的占1/3，从这批零件中任取一件。求：（1）取到合格品的概率。（2）取到的合格品是由第二台车床加工的概率。解：设=“零件是第台车床加工的”，=“取到的是合格品”，则(1)(2)=49/146-某人忘掉了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设=“第i次拨通电话”，B=“拨号不超过三次而拨通电话”则-当最后一位为奇数时，同理可得：某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解：设A=“该顾客能按所定的颜色得到定货”已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1)两只都是正品：（2)一只是正品，一只是次品。解：设“第i次取到正品“则：1）2)设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有a只白球、b只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问1)取到白球的概率是多少？2)若取到的是白球，则从甲袋中取出的也是白球的概率？解：设“从甲袋中取到白球”，“从乙袋中取到白球”则：1）2）16、某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，⑴求投中篮框不少于3次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率。解:设{第次投中}的事件，，，互相独立投中篮框不少于3次的事件可表为其概率为===（2）投篮4次均未投中的概率为至少投中篮框1次的概率为 17、一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件。若3件产品都合格，则准予该箱产品出厂。求一箱产品准予出厂的概率。解：设=“第i件产品合格”（i=1,2,3）,B=“一箱产品准予出厂”,则而所以有18、两个信号甲与乙传输到接受站，已知把信号甲错收为乙的概率为0.02，把信号乙错收为甲的概率为0.01，而甲发射的机会是乙的2倍，求（1）收到信号乙的概率；（2）收到信号乙而发射的是信号甲的概率。解：设=“甲发出信号”，=“乙发出信号”，B=“收到信号乙”则有：于是有：19、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：设“杯子中球的最大个数为”，则1）2）3）20、有两箱同种类的零件，第一箱50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取一只，求：1）取到的是一等品的概率；2）若取到的是一等品，它是来自第一箱的概率。解：设“取到第箱产品”，……=“取到一等品”则：1）2）21、在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词。若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，求能排成上述单词的概率。解：设=“从26中任取2个能排列成所述单词”则22、袋中装有只正品硬币、只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷次，已知每次都得到国徽。问这枚硬币是正品的概率是多少？解：设=“任取一只掷次，每次均为国徽”, =“硬币为正品”则=23、将n件展品随机地放入N（N≥n）个橱窗中去，试求（1）某指定n个橱窗中各有一件展品的概率；（2）每个橱窗中至多有一件展品的的概率（设橱窗的容量不限）。解：设B=“某指定n个橱窗中各有一件展品”，C=“每个橱窗中至多有一件展品”，则（1）（2）24、A、B、C三人向一飞行物射击，A、B、C命中目的的概率分别为0.6、0.5、0.4，至少同时有两人击中时，飞行物才坠毁.①求飞行物被击毁的概率；②已知飞行物被击毁，求被A击中的概率。解：设D=“飞行物被击毁”。则：1）2）25、一道选择题有5个备选答案，其中只有一个答案是对的的。据估计有80%的考生知道这题的对的答案；当考生不知道对的答案时，他就作随机选择。已知某考生答对了，问他知道该题对的答案的概率是多少？解：设=“该考生知道对的答案”, =“该考生答对了该选择题”则=26、、张、王、赵三名同学各自独立地去解一道数学难题，他们能解出的概率分别为，试求（1）恰有一人解出难题的概率；（2）难题被解出的概率。解：设A，B，C分别表张、王、赵解出难题的事件，则1）2）27、若干门炮独立地向飞行物射击,命中率均为0.2,只有当飞行物同时被两门或以上的炮击中后才会坠落,求:①当配备4门炮时,飞行物坠落的概率;②至少配备多少门炮,才至少有90%的把握击中飞行物?(设lg2=0.3).解：设=“飞行物坠落”,B”飞行物被击中”.①X表达击中飞行物的炮数.P(A)=P(X≥2)=1-P(X≤1)==0.1808;②设配备n门炮,则P(B)=1-P()=至少配备10门炮,才有90%的把握击中飞行物.28、A袋装有3个红球和2个白球,B袋装有2个红球和3个白球,今等也许地在A袋B袋中任选一袋,并在该袋中随机地取一球.①该球是白球的概率多少？②若已知取到的是白球，计算该球取自哪一袋的概率较大？解：设=“在A袋取一球”，=“在B袋取一球”，C=“取一球是白球”①=;②显然.该球取自B袋的也许性较大。29、从装有5个白球和6个红球的袋中任取一球，不放回地取三次.求：(1)取到两个红球和一个白球的概率；(2)取到三个红球的概率.解：(1)设=“取到两个红球和一个白球”,则有;(2)设B=“取到三红球”,则有..30、104、在10件产品中有4件次品，任取3件(1)求恰有1件次品的概率；(2)求至少有2件正品的概率。解：设“从10件中取3件恰有1件为次品”“从10件中取3件至少有2件正品”则：1）2）31、已知男子有是色盲患者，女子有是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人（1）此人是色盲患者的概率；（2）若此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率？解：“挑选1人为男子”“挑选一人为色盲患者”则：1）2）32、三人在同一办公室工作，房间里有三部电话，据记录知，打给的电话的概率分虽为，他们常因工作外出，三人外出的概率分别为，设三人的行动互相独立，求：（1）无人接电话的概率；（2）被呼喊人在办公室的概率；若某一时间段打进3个电话，求：（3）这3个电话打给同一个人的概率；（4）这3个电话打给不相同的人的概率：（5）这3个电话都打给，而却都不在的概率。解：设分别表达在办公室；表达第个电话找，表达第个电话打给，表达第部电话打给被呼喊人在办公室有以下三种情况：三部电话找同一个人，该人在办公室；三部电话打给两个人，这两人在办公室；三部电话打给不同的三个人，这三人都在办公室。以上三种情况互不相容。三个电话都打给的条件下，而却不在的概率为：（二）设随机变量X的概率密度为且，求常数c和α。解：由得解得α＝2，c＝3。设离散型随机变量X的分布律为：X012p求：(1)X的分布函数F(x)；(2)，，.解：(1)先求F(x)在跳跃点0,1,2处的值：F(0)=；F(1)=+=；F(2)=++=1.由于F(x)为非降、右连续的阶梯函数，故F(x)为：(2).==；=0；==.3、已知随机变量X的密度函数为求(1)常数a(2)P(<X<)解：(1)=1a=1(2)P(<X<)=4、设二维随机变量的密度函数为：(1)拟定常数；(2)求边沿分布密度解：（1）由密度函数的性质得：===所以（2），当当，==所以类似可得：设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边沿概率密度fx(x),fy(y);（2）判断X与Y是否互相独立，并说明理由。解：（1）边沿概率密度为（2）由于f(x,ｙ)≠fx(x)·fY(y),故X与Y不独立。已知随机变量ξ的概率分布密度为求：（1）K的值；（2）P{1/2<ξ<2}。解：(1)由得：，从而(2)====二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为试拟定常数A；求关于X和Y的边沿密度函数；判断X和Y是否互相独立。解：(1)由得：(2)(3)所以与不互相独立。设X的分布律为X-112P(1)求X的分布函数；(2)求解：(1)由，所以有：-(2)设随机变量,求随机变量的概率密度。解：设随机变量Y的分布函数为，则有于是而，所以，Y的概率密度函数为即。-二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为试拟定常数A；（2）求关于X和Y的边沿密度函数；（3）判断X和Y是否互相独立。解：(1)由得：(2)(3),所以与不互相独立。X-123Pk1/41/21/4设随机变量的分布律为（（1）求X的分布函数；(2)求；(3)求解：1）的分布函数2）设二维随机变量的概率密度为（1）求常数；（2）求边沿概率密度；解：1）由，则所以：2）设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为，其中为正常数。试求(1)常数A。(2)X的分布函数。解：（1）由得-（2）当时，当时，所以-设二维随机变量(X,Y)的联合密度为(1)求X，Y的边沿概率密度；(2)问X和Y是否互相独立？解：（1）当时，当时，所以同理有（2）由（1）知：-显然，在平面上都成立所以，X与Y是互相独立的。设随机变量的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/301)求的分布律；2）求解：1)的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/30(5)2)=设随机变量和具有联合概率密度（1）试拟定常数；（2）求边沿概率密度；（3）判断和的独立性。解：1）由得：所以2）3）,所以与不互相独立。设随机变量的概率密度为（1）求的分布函数；（2）求解：1）2）=2/3设二维随机变量的概率密度为(1)试拟定常数;（2)求边沿概率密度,；（3)判断与的独立性.解：1）由得：所以2）3）因，所以与不互相独立。设随机变量的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/15c（1)求拟定常数c；（2）求的分布律；（3）求的分布函数。解：1）由，得2)的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/303)Y的分布函数为设随机变量和具有联合概率密度（1）试拟定常数；(2）求边沿概率密度；(3）判断和的独立性;4)求P{0<X<1,0<Y<1}.解：1）由得：所以2）3）因，所以与互相独立4)P{0<X<1,}<Y<1}=设二维随机变量的概率密度为（1)试拟定常数;(2)求边沿概率密度,.(3)判断与的独立性，(4）求相关系数.解：1）由得：所以2）3）由于，所以与互相独立4）由于与互相独立，所以=0设随机变量的密度函数为①求常数A；②求P(X>).解：①由得②P(X>)=已知求Y的概率密度fY(y).解：用分布函数法两边对y求导得.设随机变量具有概率密度拟定常数；（2）求的分布函数；（3）求解：1）由，得：则：2）所以，3）设二维随机变量的概率密度为（1）求边沿概率密度，；（2）鉴定与的独立性。解：（1）边沿概率密度为由于f(x,ｙ)≠fx(x)·fY(y),故X与Y不独立。某校抽样调查结果表白，考生的概率论与数理记录成绩近似地服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的占考生总数的2.3％，求考生的概率记录成绩在60分至84分之间的概率。解:，，，查表得，．所求概率为:27、离散型随机变量X的分布律为：X012345P求:：(1).的分布律；(2)分布律。解：X012345PY=2X+11357911Z=410149故有Y1357911PZ0149P28、设随机变量X的概率密度为求的密度函数。解:当y<0时，当y>0时，=所以29、袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以和分别表达这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求和的联合分布律。解：的所有也许取值为，5个球从中任取2个，共有种取法。样本空间样本点总数为10，因此，，，，联合分布律用表格表达为2310.20.220.10.4300.130、将两封信投入3个编号分别为1，2，3的信箱，用分别表达投入第1，2号信箱中的信的数目。（1）求的分布律；（2）问是否互相独立？（3）求的分布律.。解：（1）的所有也许取值为0，1，2；的所有也许取值为0，1，2，。于是的分布律为0120121/92/91/92/92/901/900（2），，显然，所以与不互相独立。（3）的所有也许取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，于是的分布律为0123431、设随机变量和的联合分布律为12300.150.300.3510.050.120.03（1）求关于的边沿分布；（2）求关于的边沿分布；（3）求。解：（1）即关于的边沿分布为010.80.2（2）即关于的边沿分布为1230.20.420.38（3）。（三）1、设随机变量具有密度函数求及。解：2、设离散型随机变量X的分布律是X-2-1012P(1)求Y=的分布律(2)求解：（1）有题意可知：随机变量Y只也许取0，1，2三个值，且有所以随机变量Y的分布律为Y012P----------------------------------4分（2）-3、设随机变量服从指数分布，其概率密度为其中，求，。解：1）2）4、设随机变量X的分布函数为求(1)常数A;(2)X落在[－1,0.5]内的概率；（3）E（X）；D（X）.解：1）由F(1)=F(1+0)得：A=12）3）4）5、设随机变量的密度函数，求：（1）；（2）；（3）。解：（１）分 （2）分 （3）分6、设随机变量的分布律为：X012PA求：（1）A；（2）的分布函数；（3）。解：(１）分，分 （２）分 （3）分 分 分7、随机变量X的分布律为X-202Pk0．40．30．3（1）求；（2）求；（3）求。解：1）2）3）8、设随机变量服从指数分布，其概率密度为其中，求，。解：1）2）9、对一批产品进行检查，每次取任意取一件产品，检查后放回，再取一件产品，如此继续进行，假如发现次品，则认为这批产品不合格而立即停止检查；假如任取5件产品都是合格品，则认为这批产品合格，也停止检查。设每批产品的次品率为0.2，问平均每批要抽查多少件产品？解:设每批产品要抽查件产品，则，，于是10、设的概率密度为（1）求的值，（2）求。解：（1），由，得所以（2）11、随机变量X的密度函数为已知，，求系数.解：由，得（1），由，得（2）由，得（3）由（1）（2）（3）解得，，。12、已知的概率密度为（1）求，（2）。解：（1）（2）13、设的概率密度为（1）问是否独立？（2）求（3）求解：（1）同理由于，因此互相独立。（2）（3）14、设的概率密度为，求。解：。同理，所以15、某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才干以99.9%的概率保证此车间不因供电局限性而影响生产？解：设至少需供应千瓦电量，设为同时开动的车床数，则由，得即，所以。16、设一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有84个以上的部件正常工作才干使整个系统工作，求整个系统工作的概率。解:设为整个系统处在工作状态的部件个数，则17、有一批电子元件装箱运往外地，正品率为80%，若要以95%的概率使箱内正品数多于1000只，问箱内至少要装多少只元件？解:设至少需装只元件，设为只元件中的正品数，则，，得当充足大时，，于是，取18、一加法器同时收到100个噪声电压，设它们是互相独立的随机变量，且都在（0，10）上服从均匀分布，记，求的近似值。解：，，19、某厂知道自己产品的不合格率较高，因此打算在每盒（100只）中多装几只产品，假定，试求：（1）每盒（100只）中的次品数的分布律；（2）每盒中至少应多装几只产品才干使顾客不吃亏的概率至少为97.72%？解：(1)，，（）(2)设每盒中至少应多装只产品可达规定，则每盒次品数为，近似地有查表得（*），即，解得或而不满足（*）式舍去，所以取只。（四）设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量和矩估计量。解：总体的分布律为： 样本的似然函数为：=令解得的极大似然估计又由于所以的矩估计为：2、设总体的概率密度为，其中为参数，是总体的一个样本，试求参数的矩估计值和极大似然估计值。解：（1）矩估计法：用代替，即，得矩估计量（2）极大似然估计法：似然函数解得极大似然估计值为所以极大似然估计量为3、设总体具有分布律：123其中为未知参数。已知取得了样本值试求的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）=又令解得的矩估计值为：（2）样本的似然函数为：=令得因所以的最大似然估计值为：。4、设为总体的一个样本，总体的概率密度函数为其中为未知参数。求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。解：(1)令-解得的矩估计量为：(2)似然函数为：令解得的极大似然估计量为：5、设为总体的一个样本，总体的概率密度函数为，其中为未知参数。求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。解：(1)，令解得的矩估计量为：(2)似然函数为=令解得的极大似然估计量为：6、设总体服从参数为的指数分布，其密度函数为(),求未知参数的极大似然估计量。解：似然函数为=令解得的极大似然估计量为：7、设总体的概率密度函数为，为取自总体X的样本，求未知参数的极大似然估计量。解：似然函数为令得所以即为所求参数的极大似然估计量。8、设，，，……，是来自的一个样本，试求：（1）参数的矩估计量；（2）参数的极大似然估计解：1）令得的矩估计量为：2）似然函数为，令解得：的极大似然估计值为：9、设，，……是来自总体的样本，总体的密度函数为其中是未知参数，求：（1）参数的矩估计量；（2）参数的极大似然估计量。解：1）=令解得的矩估计量为：2）似然函数为：令得的极大似然估计为：10、设X1，X2，…，Xn为总体的一个样本，总体X的密度函数为其中C>0为已知，θ>1，θ为未知参数。求：（1）θ的矩估计量；（2）θ的极大似然估计量。解：1）令得的矩估计值为；2）似然函数为：令解得的极大似然估计值为11、设总体的密度函数为,是同样本.求：①参数λ的矩估计量；②参数λ的极大似然估计量.解：①令，即λ矩估计量为：;②似然函数为：λ的极大似然估计量为：12、为了解灯泡使用时数的均值及标准差，测量10个灯泡，得．假如已知灯泡的使用时数服从正态分布，求和的95%的置信区间．解:(1)这是一个未知方差求的置信度为0.95的置信区间的问题．由已知n=10,.查表得．因此，的95%置信区间为(2)这是一个求的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得2.700，．的95%置信区间为．开方后得到的置信区间为［13.8，36.5］。13、为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命，标准差，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命，标准差，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求这两总体均值差的置信度为0.95的置信区间．解:由题设但未知，，查表＝，，则的置信度为0.95的置信区间为即。14、两总体X，Y互相独立，，，分别取的简朴随机样本，算出，试求两总体方差比的98%的置信区间．解:由估计区间公式这里，．，所以方差比的98%的置信区间为。15、已知某种木材横纹抗压力的实验值，对10个试件做横纹抗压力的实验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力:(1)未知；(2)。解：①样本平均数标准差由于所给置信度，查表即以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为，即，故置信区间为(432.30,482.70)．②若，，以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为，即，故置信区间为(438.91,476.09)。16、已知总体，抽取n=100的简朴随机样本．现拟定的估计区间为(43.88,46.52),试问这个估计区间的置信度是多少？解：对已知的正态总体，的估计区间，形式为，区间长度为，这里区间长度为46.52-43.88=2.64,由于=8,。所以，反查表，，，所以估计区间的置信度是0.90。17、某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为0.90的置信区间。解：，,，,查表得所以方差的置信度为0.90的置信区间为(62.08,315.91)。研究两种固体燃料火箭推动器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，两样本容量为,得燃烧率的样本均值分别为cm/s,cm/s，求两燃烧率总体均值差的置信度为0.99的置信区间。解：，，查表。将,，及代入得的置信度为0.99的置信区间为。设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为，，设分别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，求方差比的置信度为0.95的置信区间。解：，，，查表得，,于是得方差比的置信度为0.95的置信区间为（0.222,3.601）（四）1、设，，且与互相独立，设，分别是来自，的样本，已知上述样本的一组观测值，且，，，，试检查：。（，，，，）。2、、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平下，是否可以认为这次全体考生的平均成绩为70分？解：设该次考试考生的成绩为，则服从正态分布分布，均为未知参数：对选记录量～拒绝域：，由计算得由于，故接受假设，即认为这次考生的平均成绩为70分。3、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平下，是否可以认为这次考试考生成绩的方差为？解：设该次考试考生的成绩为，则服从正态分布分布，均为未知参数：对选记录量～拒绝域：或经计算得，因,而故接受即认为这次考试考生成绩的方差为。某棉纺织厂在正常生产情况下，每台布机每小时经纱断头根数ξ～N（9.73,1.622）,为节约淀粉，对经纱进行轻桨实验，在200台布机上测试，测得每小时平均断头根数为9.89,新的上桨法是否导致断头根数显著增长?解：检查：；：选记录量：Z==1.3965<=1.65-因此，接受即认为新的上浆法会使断头根数显著增长。从1995年的新生儿（女）中随机地抽取20个，测得其平均体重为3160克，样本标准差为300克。根据过去记录资料知：新生儿（女）体重服从正态分布，其平均体重为3140克，问现在与过去的新生儿（女）体重有无显著差异（）？解：建立假设：根据题意，取记录量由显著性水平，自由度得，得记录量的观擦察值为因，从而接受假设，即认为现在与过去的新生儿（女）体重没有显著变化。设青海省、内蒙古自治区20岁的男子体重分别服从均方差公斤和公斤的正态分布。从青海省20岁的男子中抽取153人，其平均体重为57.41公斤；又从内蒙古自治区同年龄的男子中抽取686人，其平均体重为55.95公斤。试检查两地区20岁男子平均体重有无显著差异？解：设X——青海省20岁男子体重，Y——内蒙古自自治区20岁男子体重，则由题意，问题即在已知的条件下检查假设取记录量由得，由题意，记录量的观测值为于是由得出拒绝假设，也即认为两地区20岁男子平均体重有显著差异。7、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布，某日测得5炉铁水的含碳量如下：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37假如标准差不变，铁水含碳量的均值是否显著减少（取显著性水平）?(已知)解：（2分）检查记录量（2分）拒绝域（2分）而（2分），落在拒绝域内，故拒绝原假设而接受备择假设。所以认为该日铁水含碳量的均值显著减少了8、一种电子元件的寿命（以小时计）服从正态分布，均未知。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取，，）解：检查：；：选取记录量：由题意条件得：，，从而<故接受，即认为元件的平均寿命不大于225小时。9、某棉纺织厂在正常生产情况下，每台布机每小时经纱断头根数ξ～N（9.73,1.622）,为节约淀粉，对经纱进行轻桨实验，在200台布机上测试，测得每小时平均断头根数为9.89,新的上桨法是否导致断头根数显著增长?解：检查：；：选记录量：，计算Z==1.3968<=1.65因此，接受即认为新的上浆法不会使断头根数显著增长。10、某校进行教学改革，一学科学生成绩服从正态分布，均未知。现抽测19人的成绩如下：70806786619692876251819976869379816247问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？（取，，）解：检查：；：选