2009年全国高考文科数学试题及答案

2009年普通高等学校招生统一考试本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷12页，第34页．试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、和科目．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．．．本卷12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是参考公式：如果事件A，B互斥，那 球的表面积公P(AB)P(A) S如果事件A，B相互独立，那 其中R表示球的半如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那

球的体V4πR3n次独立重复试验中恰好发生k次的概 其中R表示球的半nPn(k)CkPk(1P)nk(k,2，n一、选择题（1）sin585o2(A)22

2

23223

323【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题sin585osin(360o225osin(180o45o)sin45o

，故选择A222｛59｛3789 B，则集合ðU(的元素(A)3个（B）4个（C）5个（D）6

B)【解析】本小题考查集合的运算，基础（同理解： B{3,4,5,7,8,9}，AB{4,7,9}ðU(AB){3,5,8}故选A。也可定律Uxx不等xx

（A）x

（B）x0（C）x （D）x【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式xxx解 1|x1||x1|(x1)(x 04x0x0故选D已知tana=4,cot

1,则tan(a37

(B)

(D)【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。tan3tan(tantan43

，故B1tantan 1 y

离心率3 35 656

解：由题双曲线 ，代入抛物线方 整理得ax2bxa0，因渐近线与抛物线相切，所 b24a20，即c25a2e，故选择C 【解析】本小题考查反函数，基解：由题令12lgx1x1，即f(11g(11，所以f(1g(12故选C5名男同学、36名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150 （B）180 （C）300 （D）345【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有C2C1C1C1C1C2345，故选择。 6 53a、b、c满足|a||b||c|,abcab 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处B。已知三棱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相A1在底ABC上的射影的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(A) (A) 3544

4

774【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同 解：设BC的中点为DA1D，AD，易知A1AB即为异面直AB与CC1AD 角,由三角余弦定理，易知coscosA1ADcosDAB .故选A1A (10)y3cos(2x的图像关于点403

的最小值为6

4

3

2【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解 函数y＝3cos2x＋的图像关于点4，0中心对 24kk13(kZ)由此易得| .故选 已知二面角l600，动点P、Q分别在面内，P的距离为3，Q到23，则P、Q两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同 解:QA于AACl于CPB于PDl于D，连CQBD则ACQPBDAQ23,BP PQ AQ2PQ AQ212AP0，即点A与点PCx2已知椭圆C: y1的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF交C于点B。AFFA3FB,AF(B) (D)3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。3BBMlM,并设右准线l与X轴的交点为NFN=1.FA3FB 故|BM .又由椭圆的第二定义,得|BF 2.故选 2009年普通高等学校招生统一考试文科数学（必修选修Ⅰ）注意事项：答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、和科目．第Ⅱ卷共70.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（(xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同 解:因 (1)rCrx10ryr所以有C3(C7)2C3r 设等差数列{an}的前n项和为Sn。若S972，则a2a4a9 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题（同理14） an是等差数列,由S972,得S99a5,a58a2a4a9a2a9a4a5a6a43a524M的面积为3，则球O的表面积等 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积R，圆Mr，则r23r23R2R)232所以R244R216（16）ml1xy10与l2xy302，m的倾斜角可以是① ② ③ ④ ⑤其中正确答案的序号 .（写出所有正确答案的序号|3|311解：两平行线间的距离为d ，由图知直线m与l的夹角为30o，l的倾 角为45om30o450750或45o300150。故填写①或⑤三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)(注意:设等差数列{an}nsn，公比是正数的等比数列bn}n项和为Tn，已a11,b13,a3b317,T3S312,求{an},{bn}的通项公式【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题。解：设an的公差d，数列bn的公q0，由ab17得12d3q2 TS12得q2qd q0解得q2,da12(n1)2n1,b32n1 (18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效ABCA、C的对边长分别为a、b、ca2c22bsinB4coA 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。a2c2b22bccosA，又a2c22bb0，b22bccosA2b即b2ccosA 由正弦

bsin sin又由已知得sinBsinB4cosAsin所以b4ccos

coA②故由b(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效SABCDABCDSDABCD，AD ，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABMMSCSAMB（18）MECDSD于点E，MEABME平面SAD连接AE，ABME为直角梯形MFAB，垂足为F，则AFMEED2(2x)2设MExED2(2x)2MFAE (2x)22,FB2(2x)2MF(2x)2x

3(2ME1ME

12MSCBC2MB 2，又ABM60,AB2BC2又由（Ⅰ）M为SCSM 2,SA 6,AM2SA2SM2AM2SMA取AM中点G，连结BGSA中点H，连结GHSAMB的平面角BH，在BGH

, ,由BG 3AM 3,GH1SM 2,BH BG2GH2BH所以cosBGH 2BG 6二面角SAMB的大小为 63解法二:D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyzA(2,00)B(220),C(0,20S(00（Ⅰ）SMMC(0)M(0,2

,21

1),MB(2,1

1AB0,2,0),MBABMBAB|MB||AB|cos(2)2 )2(2)2 )2(2111解得1SM所以M为侧SC的中 由M(0,1,1),A(2,0,0)，得AM的中点G(1 , 2又GB( ,3,1),MS(0,1,1),AM( 所以GBAMMS因此GBMSSAMBcosGB,MS GB |GB||MS 6所以二面角SAMB的大小为arccos( 63(20)（本小题满分12分（3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。求再赛2题设“再赛2局结束这次比赛”为事件AAA3A4B3B4P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4P(A3)P(A4)P(B3)P(B40.60.60.40.42BA3A4B3A4A5A3B4A5P(B)P(A3A4B3A4A5A3B4A5P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A50.60.60.40.60.60.60.40.6（已知函数f(x)x43x26.f(xPyf(xP处的切线l通过坐标原点，求l程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。（Ⅰ）f'()436x4(x 6)(x 6) 令f'(x)0得 x0或x6 f'(x0x

或0x 66 66

因此，fx在区间6)为减函数。62

,0)626

6,为增函数；在区间(2

62Px0fx0llyf'(x0x，因此f(x0x0f'(x0，x43x26x(4x36x)0 整理得x21x220 解得x0或x0ly2xy2(22)（本小题满分12分（Ey2xMx4)2y2r2r0)A、B、C、D四r的取值范点P的坐标。（Ⅰ）Ey2xMx4)2y2r2r0)的方程，消去y2，整理得x27x16r2 E与M有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根x1、(7)24(16r2)由此得xx7 xx16r 解得15r24rr的取值范围是(152（II）设四个交点的坐标分别为 x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2 x2) 定理有xx7,xx16r2，r(15,1 1 1则S 2|xx| )|xx| 2S2

x)24xx](x 1

)(7216r2)(4r216 t，则S2(72t)2(7 下面求S216方法1：由三次均值S2(72t)2(72t)1(72t)(72t)(144t)1(72t72t144t)31

3(3 当且仅当72t144t，即t7时取最大值。经检验此时r 15,4)满足题意 方法2：设四个交点的坐标分别为 x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2 x2x2 则直线AC、x2 x2 x2

x2

(x

),y

x2

(xx1x1解得点P