最优桁架设计

最优人字架设计

摘要“人字架的设计”数学建模的目的是设计最优的方法，提出并建立一个达到目的而又最省材料的人字架设计方案。例如，两个钢管的直径和人字架的高度不同，人字架的重量也会不同。机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一种机械设计方法，包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。该领域的研究和应用进展非常迅速，并且取得了可观的经济效益，在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。我们基于求取符合条件的最轻桁架，对题目实际情况进行研究和分析，对此问题设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。对此问题我们可计算出钢管的压应力与其给定的许用压应力进行比较，它肯定需要满足小于或等于需用压应力，列出钢管重量的公式求其满足条件的最小值。则需建立三个未知变量，如果代入已知量，利用Matlab或Lingo数学软件来求解出最小值，并通过多次验证和求解，将其直径和高度精度控制到mm,重量精度控制到kg。关键字：最轻的钢管重量压应力Matlab或Lingo数学软件问题重述一、 问题背景为了解决材料的充分利用问题，节约可以省下的资源，避免不必要的开支，一种合理、简化的策略是保证满足不超过许用的压应力的前提下，追求最节省资源，最轻的钢管选择方案。二、 基本条件假设人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2P=3X【的N。已知人字架跨度2L=152cm,钢管壁厚B=0.25cm，钢管材料的弹性模量E=2.1X-萨MFC,，材料密度"，许用压应力:-=420MPa。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及钢管平均直径d。2L受力分析图三、 提出问题建立数学模型分析如何使得钢管所受到的压应力不超过给定的许用压应力，并且在此前提下得到最轻的钢管重量。若 ，又应怎样选取怎样尺寸的钢管。四、 问题实质原问题已知钢管的许用压应力，并给出了人字架顶点所受的外力2P,人字架跨度2L，钢管壁厚B,钢管材料的弹性模量E,材料密度：。并在此条件下，求最轻的钢管重量。模型假设不考虑接头处所用材料的重量。不考虑安装过程中的意外情况，所有工作均可顺利进行。符号说明W:所用钢管的总重量。d:所用钢管的直径。h:所用桁架的高度。问题分析对此问题由材料力学相关知识和机械优化设计相关知识可知，我们只需满足钢管的许用压应力与及机械常规通用设计即可。通过利用这些知识我们可以列出一系列的方程组，从而在变量的约束条件下可以确定怎样选取最轻的钢管。模型的建立与求解关于此问题的求解过程如下:解：桁杆的截面积：S=桁杆的总重量为：_p_pVl2+I2负载2P在每个杆上的分力为： 为=云？=―I一_%+一于是杆截面的应力为：九=了=_.b/ IfT此应力要求小于材料的屈服极限，即 -.15一圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：稳定的临界压力ic2E(dz+8勺为疽+1勺由此得到稳定约束：另外对直径d和高度h有限制，其中有 22mm\d\60mm200mmWhW1200mm.由此归纳得到的数学模型为:min2兀pdB尸由此归纳得到的数学模型为:min2兀pdB尸~兀dhB<60mm冗2E(d2+B2)—~8(L2+h2)-20mm<d200mm<h<1200mm模型的评价与应用从实际的生活出发人字架是一些工作过程中必须要用到的工具，在工厂中是必不可少的，但我们如何保证它的安全以及能达到使用的材料最省（即最轻）是一个急需解决的问题。优点：模型使问题变得非常简单，如此方式进行计算能使材料得到充分运用，并能减少一定的费用，使效益最大化。缺点：该模型在提出的时候将部分因素没有考虑进来，例如钢管接头处使用的一些材料，工作中的一些意外情况等等，使得该模型在实际应用中会缺少精确性。参考文献【1】刘鸿文主编第五版《材料力学》第九章290-310页高等教育出版社2012年11月第五次印刷。【2】曹戈 《Matlab教程及实训》 37-60页机械工业出版社2008年5月。【3】邬学军周凯《数学建模竞赛辅导教程》 73-96页浙江大学出版社2009年1月。【4】孙靖民梁迎春《机械优化设计》第四版哈工大主编机械工业出版社2006年12月。【5】陈立周机械优化设计方法冶金工业出版【6】刘惟信机械最优化设计清华大学出版社0.3769695E+1550.3769695E+15530ValueReducedCost0.6000000E-010.0000001.2000000.000000SlackorSurplusDualPrice10.43670-1.000000-0.3769695E+150.0000000.8563411E+080.0000000.000000-5851343.0.4000000E-010.0000000.000000-83756.331.0000000.000000附录1;min=2*3.14*（7.8*10八3）*d*0.0025*（0.76八2+h八2）八（1/2）;4.2*10八8-1.5*10T1*（（0.76八2+h八2）八（1/2））/3.14/d/h/0.0025>=0;（3.14）八2*2.1*10T1*（d八2+0.0025八2）/8/（0.76八2+h八2）-1.5*10八5*（（0.76八2+h八2）八（1/2））/3.14/d/h/0.0025>=0;0.06>=d;d>=0.02;1.