线性代数复习题1-习题课2014

第一章行列式习题课★重点与难点

★主要内容★典型例题一、重点与难点1.重点行列式的计算：定义、性质、展开定理2.难点高阶行列式的计算返回克拉默法则二、主要内容克拉默法则排列行列式其全逆排序列数及对换定义性质展开返回把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．１全排列逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．２逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．３计算排列逆序数的方法定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４对换５n阶行列式的定义n阶行列式也可以定义为或６n阶行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等(D=DT).性质2

互换行列式的两行(ri↔rj)或列(ci↔cj),

行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k(ri×k

)

，等于用数k乘此行列式.推论

1.D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;2.D中某一行（列）所有元素为零，则D=0;性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则性质6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．D=１）余子式与代数余子式７行列式按行（列）展开在n阶行列式中，把元素所在的第i

行和第j

列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．２）关于代数余子式的重要性质８克拉默法则克拉默法则的理论价值定理定理定理定理一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式三、克拉默法则典型例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．解例１一、计算排列的逆序数于是排列的逆序数为

当时,为偶数，排列为偶排列；

当时,为奇数，排列为奇排列；二、计算（证明）行列式(一)低阶行列式的计算：1、二阶、三阶行列式,可直接应用对角线法则.2、四阶、五阶行列式:⑴根据行列式的特点,利用行列式的性质,把它逐步化为上（下）三角行列式；⑵根据行列式按行（列）展开定理,降阶求解．计算四阶行列式解一：计算四阶行列式解二：按第一列展开再按第三列展开再按第三列展开计算四阶行列式解三：按第一行展开求解下列方程所以，方程组的解为(二)高阶行列式的计算：n阶行列式计算的方法有很多，主要是根据行列式的特点选择不同的方法，下面主要通过典型例题介绍几种常用的方法．

例２用行列式定义计算１用定义计算（证明）由定义在该和式中，只有解又t(n-1,n-2,

…

2,1,n)=所以解8(1)计算其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0.由定义在该和式中，只有和又t(n,2,

…n-1,1)=2n-3所以

评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．例3写出四阶行列式中含有因子a11a23，且前面为负号的那项.由分析可知，包含因子a11a23的项为：解和因此所求为而2用化三角形行列式计算例4计算将第列都加到第一列，得注意到各行元素之和都相等,故解提取第一列的公因子，得将第一列的(-a1)倍加到第二列，将第一列的(-a2)倍加到第三列，……将第一列的(-an)倍加到第n+1列，得

评注本题利用行列式中元素的特点，运用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．例5计算对于形如解可利用性质将其化为三角行列式来计算.……将第二列的倍加到第一列，将第三列的倍加到第一列，将最后一列的倍加到第一列，得例6

计算n阶行列式解

每行都减去第一行，得3用拆成行列式之和计算例7

证明证明按第一列拆开=右边4用降阶法计算例8计算解对于形如即所谓两条线的行列式，可利降阶、用性质将其化为三角行列式来计算.按第一列展开，得计算解该题形如可直接展开降阶，计算.法一：按第一列展开，得法二：8(1)计算其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0.解该题形如可直接展开降阶，计算.按第一列展开例9计算解

此行列式的最后一行虽然每个元素都非零，但他们对应的余子式均为上(下)三角行列式(块)，于是，按最后一行展开．5用递推法计算解8(1)计算按第二行展开，得其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0.

本题是利用行列式的性质，将n阶行列式Dn用n-1阶行列式Dn-1表示出来，建立了Dn与Dn-1之间的递推关系.如此继续下去，可得评注法二(化三角)8(1)计算用递推法计算解例10计算按第一列展开，得如此继续下去，可得6用数学法归纳法计算解例11计算n=1时，则当n=2时，猜测下面用数学归纳法证明当n=1时，结论显然成立.假设n=k时，结论成立，即则当n=k+1时，把Dk+2按第一列展开，得于是，对于任意的n，有评注7利用范德蒙行列式计算例12计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解

评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等，将此行列式化成范德蒙行列式．例13计算解与范德蒙行列式很接近，只需在第3行与第4行之间增加一行，再加一列，便可构成5阶范德蒙行列式，令

D恰为f(x)中x3的余子式M45，即若将f(x)中按最后一列展开，可知x3的系数为A45根据范得蒙行列式的结果，可知x3的系数为：所以8有关代数余子式的计算解例14已知四阶行列式，求由于第二列元素与第四列代数余子式乘积解P289已知四阶行列式，求计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的