高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系单元测试【省一等奖】

第二章空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b，则a与平面的关系是()∥与相交 与不相交 3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面 （）A．只有一个 B．至少有一个 C．可能没有 D．有无数个5.过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（）A.3条B.4条C.5条D.6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B.过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C.过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D.过a可以并且只可以作一平面与b平行7.是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A． B． C． D．8.如图1，正四面体的棱长均为，且平面于A，点B，C，D均在平面外，且在平面同一侧，则点B到平面的距离是（）A．B．C．D．图1图29.如图2，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是Ａ.Ｂ.平面C.直线∥平面Ｄ.10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 （）A．30°B．45° C．60° D．90°11.已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．512.在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.给出下列命题:①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.其中正确命题的个数为.14.已知平面，，，直线，满足：，∩＝,∩＝，.由上述条件可推出的结论有_______.①；②；③；④.15如图3，△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为.16在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是.三、解答题（本大题共6小题，共70分）CBAA1B1C1D17.(10分)CBAA1B1C1D(1)；(2)平面．ABB1CC1ABB1CC1A1MN垂直，，，分别是，的中点．（1）证明：；（2）判断直线和平面的位置关系，并加以证明．ABCDA1B1C1D1EF19.ABCDA1B1C1D1EF(1)求证：平面⊥平面；(2)如果，一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱,,,,上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20.(12分)如图7，四棱锥S—ABCD的底面是边长为的菱形，且，点E是SC上的点，且（1）求证：对任意的，都有；（2）若平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小.21.(12分)某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为，②三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到）；（2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为.确定三根细钢管的长度（精确到）(12分)如图9所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB＝3，BC＝4，作BB1图109ABC图109ABCA1B1C1PQ图9ABCA'A1B1C1A1'PQ5.取中点，直线分别为都与平面平行.6.如图所示，在直线a上任取一点P，过P作b′∥b，则a∩b′=P.那么a与b′确定一个平面α.因为b∥b′，b′α，bα，所以b∥α.所以过a可以作一个平面α与b平行.假设还可作一平面β与b平行，则α∩β=a，b∥α，b∥β，所以a∥b.这与a、b异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面α.综上所述，过a有且只有一个平面与b平行.故选D.7.均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故A不正确；m，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8．取AD的中点M，易证平面，故平面平面，平面到平面的距离为，即为B到平面的距离.9.因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因平面平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA与BD所成角为60°．12.设底面边长为1，侧棱长为，过作.在中，，由三角形面积关系得设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以二、填空题个14.②④15.45°∥平面AEC提示：13.①②③错误,④正确.14.因为∩＝，所以l∈，l∈，又因为，∩＝，，所以l⊥，所以.故填②④.15.作AO⊥CB的延长线，连接OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，因为AO=OD=a,所以∠ADO=45°.16.连接AC，BD相交于一点O，连接OE，AE，EC.因为四边形ABCD为正方形，所以DO＝BO.而DE＝D1E，所以EO为△DD1B的中位线，所以EO∥D1B,所以BD1∥平面AEC.三、解答题17.证明:（1）因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，又平面，所以.CBAA1B1C1DECBAA1B1C1DE因为，所以平面，又因为平面，所以．(2)连接交于点，再连接．因为四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以.又平面，平面，所以平面．18.证明：(1)因为平面，又平面，所以．由条件，即，且，所以平面．又平面，所以．（2）平面，证明如下：设的中点为，连接，．因为，分别是，的中点，所以．又=，，所以．所以四边形是平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．19.（1）证明:因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1.又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1.又因为B1D1平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．(2)最小值为.如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的中点，所求的最小值为.20解：（1）连结BD，AC，设BD与AC交于O.由底面是菱形，得，O为BD中点， 又，面SAC.又面SAC，（2）取SC的中点F，连结OF，OE， 与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角. 平面BED，面BED，E为垂足，为所求角.在等腰中，， 得底边SB上的高为，.所以在所以在中，即直线SA与平面BED所成角为21解：（1）设△的重心为，连结.由题意，得.设细钢管上下两段之比为.已知凳子高度为.则.因为节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以就是与平面所成的角，亦即.，解得.即节点分细钢管上下两段的比值约为.（2）设，.设△的重心为，则，由节点分细钢管上下两段之比为，可知.设过点的细钢管分别为，则，，所以对应于三点的三根细钢管长度分别为，和.22.（1）证明:在正方形AA'A1'A1中，因为A'C＝AA'－AB－BC＝5，所以三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形ABC的边AC＝5．因为AB＝3，BC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A1'A1为正方形，BB1//AA1，所以AB⊥BB1．而BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1．(2)解：因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A－BCQP的高．因为四边形BCQP为直角梯形，且BP＝AB＝3，CQ＝AB＋BC＝7，所以梯形BCQP的面积为SBCQP＝eq\f(1,2)(BP＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A－BCQP的体积VA－BCQP＝eq\f(1,3)SBCQP