高中数学北师大版2第一章统计案例 第1章24

第一章§2第2课时一、选择题1．下表是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a，b处的值分别为()A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋21＝73,a＋2＝b))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝52,b＝54)).2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强()A．eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d) B．eq\f(a,c＋d)与eq\f(c,a＋b)C．eq\f(a,a＋d)与eq\f(c,b＋c) D．eq\f(a,b＋d)与eq\f(c,a＋c)[答案]A[解析]eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系越强．3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4[答案]D[解析]比较|eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)|.选项A中，|eq\f(5,9)－eq\f(3,5)|＝eq\f(2,45)；选项B中，|eq\f(5,8)－eq\f(4,6)|＝eq\f(1,24)；选项C中，|eq\f(2,5)－eq\f(4,9)|＝eq\f(2,45)；选项D中，|eq\f(2,5)－eq\f(5,9)|＝eq\f(7,45).故选D．4．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是()A．判断模型的拟合效果B．对两个变量进行相关分析C．给出两个分类变量有关系的可靠程度D．估计预报变量的平均值[答案]C[解析]独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度．5．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男人，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：年龄吸烟量不超过40岁超过40岁合计吸烟量不多于20支/天501565吸烟量多于20支/天102535合计6040100则在犯错误的概率不超过________的前提下认为吸烟与年龄有关．()A． B．C． D．没有理由[答案]B[解析]χ2＝eq\f(100×50×25－10×152,65×35×60×40)≈>.故我们在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟量与年龄有关．6．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为()A．0 B．95%C．99% D．都不正确[答案]C[解析]计算出χ2与两个临界值比较．χ2＝eq\f(1000×39×494－6×4612,45×955×500×500)≈3>.所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C．二、填空题7．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：患慢性气管炎未患慢性气管炎合计吸烟43162205不吸烟13121134合计56283339根据列表数据，求得χ2的观测值k＝________.[答案]8．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)性别与喜欢文科还是理科列联表喜欢文科喜欢理科总计男生82836女生201636总计284472中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)[答案]有[解析]通过计算χ2的观测值k＝eq\f(72×16×8－28×202,36×36×44×28)≈>.故我们有%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．三、解答题9．某地区有关部门调查该地区的一种传染病与饮用不干净水的关系，得到如下列联表(单位：人)：传染病与饮用不干净水列联表得病不得病总计干净水52466518不干净水94218312总计146684830根据数据作出统计分析推断．[答案]有%的把握认为该地区的这种传染病与饮用不干净水有关．[解析]由已知列联表中数据计算得χ2的观测值为k＝eq\f(830×52×218－94×4662,518×312×146×684)≈，因为>，所以我们有%的把握认为该地区的这种传染病与饮用不干净水是有关的．[点评]对数据作统计分析推断实质上是让我们来判断得这种传染病是否与饮用不干净的水有关系，即根据数据求χ2的观测值，再利用其与临界值的大小关系来判断．10．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？患心脏病未患心脏病合计每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合计5415791633[答案]有99%的把握认为相关[解析]假设每一晚都打鼾与患心脏病无关系，则有∴χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1633×30×1355－224×242,254×1379×54×1579)＝.∵>.∴有99%的把握说每一晚都打鼾与患心脏病有关．11.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一条直线的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是()A．0 B．1C．2 D．3本题可以参考独立性检验临界值表：P(χ2≥k0)k0P(χ2≥k0)k0[答案]B[解析]一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，③正确；因为χ2＝>，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确，故选B．12．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课之间的关系，从某高中随机抽取300名学生，得到如下列联表：喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300根据以上数据，则()A．性别与是否喜欢数学无关B．性别与是否喜欢数学有关C．性别与是否喜欢数学关系不确定D．以上说法都错误[答案]B[解析]χ2＝eq\f(300×37×143－35×852,72×228×178×122)≈>，故选B．13．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．()A．% B．%C．99% D．%[答案]D[解析]可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史1693109阴性家族史17240257总计33333366根据列联表中的数据，得到χ2的观测值为k＝eq\f(366×16×240－17×932,109×257×33×333)≈>.故我们有%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．14．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为()A．99% B．95%C．90% D．无充分依据[答案]B[解析]由表中数据得k＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈>.所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．二、填空题15．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重不超重总计偏高415不偏高31215总计71320[答案][解析]根据公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2的观测值k＝eq\f(20×4×12－1×32,5×15×7×13)≈，因为k>，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．16．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，因为χ2≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.[答案]5%[解析]∵k>，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.三、解答题17．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：P(χ2≥k)kχ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)[答案](1)14%(2)有关(3)略[解析](1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈.由于>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好.18．(2023·沈阳二检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界表有仅供参考：P(χ2≥k)k(参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))[答案](1)eq\f(7,10)(2)有的把握认为相关[解析](1)记成绩为87分的同学为A、B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分