第5章边值问题

第五章静态场的边值问题主要内容静电场边值问题和唯一性定理直接积分法分离变量法※镜像法※保角变换法和有限差分法(自学)1静电场的边值问题一般情况下电位或场强满足两个方程无源——Laplace’sEquation有源——Poission’sEquation边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程Poission’sEquation+边界条件Laplace’sEquation+边界条件2边值问题的分类第1类:已知整个边界上的电位DirichletProblems狄理赫利问题第2类:已知整个边界上电位的法导NeumannProblems纽曼问题第3类:已知部分边界电位+另一部分边界电位法导HybridProblems

混合问题3§5.3一维场——直接积分例1.求同轴线中的电场分布，已知半径a和b，电位U和0。书P118例5.1在柱坐标系下，将拉普拉斯方程展开r>0代入边界条件:r=a时y=U，r=b时y=0，C1=?,C2=?4例2已知：导体球，半径a，球体电位U(基准?)求：球外的电位？分析：球对称！——采用球坐标系且有几种方法可以求“电位”？在此用拉氏方程球座标系下展开：直接积分得：5确定两个待定常数——边界条件r=a时y=U，r=∞时y=0，C1=?,C2=?6例3.书p119例5.2填充了两种介质的同轴线，求电位。还已知内外导体的电位利用对称性，电位与j、z座标无关，仅与r相关柱座标系下拉氏方程需要几个边界条件？7内容包括二维拉氏方程直角坐标系下柱坐标系下未包括：二维球坐标系下拉氏方程三维Laplace方程求解泊松方程（非齐次方程）求解§5.4分离变量法求解拉氏方程8分离变量法的主要思想将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；最后将这些通解“组装”起来。9笛卡儿坐标系中分离变量法求解令：两边同时除以：10——三项中每一项必须是常数！令：11的求解1.如果(k为正实数)2.如果3.如果(k为正实数)12确定Y和Z通解的步骤类似最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起最后代入边界条件确定待定常数13一、求解矩形区域的Laplace方程微波导和光波导器件的横截面常是矩形,其中的电磁场模式多是横电波或横磁波,即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化;此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段。14举例.

如图的波导中求解电位15求解v(x,y)设解为：代入上面关于v的方程得：先求解哪一个？？？——与齐次边界有关的那个。16上式构成本征值问题，不难求出：本征值为：本征函数为：将本征值ln代入Y的方程，可得通解：于是由叠加原理得到v的通解为：17将另一对边界条件代入方程的通解得：上两式实际上是u0和U0展开后的正弦级数,于是联立上两式可得An和Bn,从而原方程的解得以确定。18上题中边界处的电位分布探讨一下边界处分布函数的形状：19例2.书124页的例5.3……简化的步骤（2）判断解的形式求特征值，写出通解形式代入边界，求待定系数写出问题的解20二、求解柱坐标系下的Laplace方程在最常见的微波传输线(铜轴线)和最常见的光传输线(光纤)中，横截面都是圆形，其中的电磁场模式也大多是横电波或横磁波，即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化；此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段。21求解柱坐标系下的Laplace方程电位只与r有关电位只与r、z有关电位只与r、j有关22只与r、z

有关的Laplace方程★

当μ=0时：★

当μ>0时：若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件,则m不可能>0.求解圆柱内部问题(包含圆柱轴线r=0)时,为了满足自然边界条件,Nn(.)项应舍去.23★

当m

<0时：R(r)没有实的零点,如果要求u在圆柱侧面r=a

满足齐次边界条件，则应排除μ<0的可能。求解圆柱内部问题(包含圆柱轴线r=0)时,为了满足自然边界条件,Kn(.)项应舍去.24一般解为：1)如果考虑圆内问题则其解为2)如果考虑圆外问题则其解为3)如果考虑是圆环问题，则其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。3.电位只与r、j

有关253.球座标系下与j无关时LegendrePolynomials球内电位取有限值……球外电位取有限值……26例1.解题时首先看能否化简已知：很长的同轴电缆，内导体半径为a,维持电位V0，外导体半径为b，接地。求：导体区域内的电位分布？分析：柱座标，电位对称，仅与r有关27例2.书p136例5.628三.球坐标系下的二维Laplace方程自学内容29什么是“镜像法”？用适当的镜像电荷(Image-Charges)代替边界，求解电位分布的方法。“镜像法”的依据——“唯一性定理”UniquenessTheorem“镜像法”思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷保持求解区域中场方程和边界条件不变

“镜像法”使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，或分布形式简单5.5镜像法MethodofImages30(1)将导体移走,在“对称”点处放置一个“像”电荷q*第一类镜像法：平面镜像(2)仍然要满足“导体板”存在时的条件,

q*＝？q*＝－q31边界条件：对称性：拉氏方程q*＝－q“像点”——q*：满足“导体板”存在时的条件——满足！——满足！——满足！由唯一性定理知……3233第二类镜像法：柱面镜像像？——线电荷——“电轴”位置？——柱内、与线电荷平行分布？——密度设为p*34假设：导体圆柱面上任一点M35因为导体是等位体若“三角形相似”……36思考：复杂的第2类镜像问题已知：两根无限长平行圆柱，半径为a、b，轴心距