大自然的数学游戏2-蜜蜂和数学

大自然的數學遊戲

系列之二蜜蜂與數學蜜蜂與數學

一個印度數學問題印度數學家婆什迦拉（Bhaskara,1114～約1185年）寫了一本數學書，叫做《麗羅娃蒂》(Lilavati)，其中有一題以蜜蜂為主角帶著美麗眼睛的少女──

麗羅娃蒂，請你告訴我：茉莉花開香撲鼻，誘得蜜蜂忙採蜜，熙熙攘攘不知數。全體之半平方根，飛入茉莉花園裡。總數的九分之八，徘徊園外做遊戲。另外有一隻雄蜂，循著蓮花的香味，進入花朵中被困。一隻雌蜂來救援，環繞於蓮花周圍，悲傷地飛舞低泣。問蜂群共有幾隻？設蜜蜂共有x隻，根據題意列得方程式

化簡得本質上這是個一元二次方程式。

，則x=2y2。從而式子變成但不合，故因此，蜜蜂總共有72隻。x=2×62=72

令解得y=6或蜜蜂與數學

解此題用到的變數代換的技巧非常重要，透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質」古印度盛行運動競賽，其中有一關是解數學難題（頭腦體操）。有一本數學參考書開頭就說：能夠解出本書題目的人，將使太陽暗淡，星星失去光彩。上述蜜蜂問題就是書中的一個題目，可見在當時這是一道難題《麗羅娃蒂》書名由來《麗羅娃蒂》是婆什迦拉女兒的名字。占星家預測麗羅娃蒂的婚姻永遠無成，但是有一個解運的辦法。一個可漂浮在水面上的杯子，底部開一個很小的洞，水可慢慢流進，一小時後若杯子沈沒就可擺脫厄運。在一個吉日良辰施行解運時，由於好奇心，麗羅娃蒂觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進水口，一小時後杯子並沒有沈沒，因此麗羅娃蒂還是要面對永遠結不了婚的命運。為了安慰女兒，婆什迦拉說：「我要寫一本書，以妳的名字為書名，讓妳流芳萬世；因為好名聲是一個人的第二生命，也是不朽的基礎。」書名就是《麗羅娃蒂》蜜蜂簡介蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴格施行分工合作的社會。一個蜂巢通常是由一隻后蜂、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。受精卵會發育為雌蜂，未受精卵則為雄蜂。蜂王（后蜂）蜂王專司產卵，是蜂群共同生活中心，一群蜜蜂只有一隻蜂王，腹部長橢圓形，裡面裝滿待產的卵粒，壽命達3-5年處女王自空中婚禮交尾之後，約三天就負起產卵的使命，每天可產下1500-2000粒卵受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續餵以蜂王乳就長成蜂王工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作；蜂群中絕大部分的各體都是工蜂她們不具有生殖的能力，其產卵管也已變成螫針。若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發育成工蜂，因此工蜂是雌蜂雄蜂是蜂蜜世界中唯一的男性，后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂，一群中大約有數十隻到數百隻不等腹部末端多毛沒有螫針，整天飛舞玩耍、鍛鍊肌肉，而無採集食物的能力，雄蜂唯一的任務是與蜂王交尾傳宗接代，是「小白臉」。雄蜂的食量驚人，比工蜂多吃三倍，14天已經發育成熟，可交配。但須具有充沛的體力才有成親的機會。通常雄蜂精囊中的精液，精子數量有1200-1600萬個。蜜蜂的各種知識目前由蜜蜂生產而廣為利用的蜂品有蜂蜜、蜂王乳、花粉、蜂膠、蜂醋、蜂臘、蜂毒、蜂幼蛹等。蜂蜜甜甜的，蜂蜜的原料是花蜜，直接由蜜蜂採集而成。主要為提供蜜蜂活動或飛行的能量，主成份為糖類（碳水化合物）蜂王漿(乳)有點辣辣的、酸酸的，並不好喝。工蜂食用花蜜及花粉後，經過消化後，再由咽頭腺分泌出來而成蜂王漿。，而蜂王漿(乳)是蜂王生長發育所需的食物，也是使蜂王擁有每日產卵2,000個的活力，所以蜂王漿一直被人類視為營養補給的聖品工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。蜂舞採蜜是工蜂的工作，先派一些做偵察蜂去找蜜源。當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？我們人類描述地點的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度，到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。蜜蜂以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點，基本上就是數學上的『極坐標』！偵察蜂發現蜜源，牠飛回巢就先放出氣味，並且在蜂巢表面上跳舞。基本上分成兩種舞步：圓舞與搖尾舞。圓舞如果蜜源在100公尺以內，偵察蜂就跳圓舞。這表示蜜源就在附近，請同伴出去四周圍轉一下就可以找到。搖尾舞如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發點，然後走原直線路徑，再對另一側繞半圓，如此規律地反覆交替繞半圓。在走直線路徑時，還不斷地搖擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。極坐標極坐標就是，為了描述平面上P點（蜜源）的位置，於是在平面上選定一條半線（蜂巢與太陽方向之半線），叫做極軸，O點叫做極點（蜂巢），將極軸旋轉一個角度θ，遇到P點，，那麼P點的極坐標就是(r,θ)。極坐標有時是直角坐標方程式難於表達的。太陽、蜂巢與蜜源的位置關係圖直線路徑偏離鉛垂線右方30度，這表示蜜源在太陽方向偏右30度的方向。蜂巢與蜜源的距離由單位時間的繞圈數決定，繞越多圈表示距離越遠鳥類與魚類也有類似的行為KarlvonFrisch（1886～1982）奧地利動物學家KarlvonFrisch就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向而有成的人。由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻，在1973年得到諾貝爾生理學暨醫學獎KarlvonFrisch（1886～1982）在1910年證明魚可以看出不同的顏色1919年發現蜜蜂透過身體的搖動來傳遞訊息在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書（即參考資料）物理學家李政道曾說，他喜讀各種雜書，其中Frisch的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。蜂巢巢房是用蜂蠟造成的，是由工蜂腹部的蠟腺分泌而出，須由工蜂吃下三至四公斤的蜂蜜，才能產生半公斤的的蜂蠟。蜂巢做為后蜂產卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。從正面看起來，蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成蜂巢從整個立體的蜂巢來看，它具有左右（或前後）兩側的儲藏室．其截面如圖蜂巢圖是一個柱狀的蜂巢儲藏室，其底部是由三個全等的菱形面ASBR、ASCQ與PBSC所組成。蜂巢為何是正六邊形？底邊為何是三個全等的菱形面組成？為何是正六邊形？在平面上，要用固定長的線段圍成一塊封閉的領域，使其面積為最大，問應如何圍法？正確的答案：圓。不過，要等到兩千多年後的十九世紀，透過變分學(calculusofvariation)的研究，才有真正嚴格的證明。※西元1943年，匈牙利數學家陶斯地證明，在所有首尾相連的正多邊形中，正多邊形的周長是最小的。為何是正六邊形？正多邊形能為成平面的只有正三邊形、正四邊形，正六邊形邊數越多，越接近圓形，表示可用最少的材料（周長）創造出最大的空間（面積），所以正六邊形就成為最佳的選擇。底邊為何是三個全等的菱形面組成？蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會於底部中心頂點S

底邊為何是三個全等的菱形面組成？1712年，巴黎天文觀測所的天文學家馬若迪，他實際度量菱形的角度，得到的結果是70°32'與109°28'，並且相信蜜蜂是根據單純與數學美兩個原理來築巢底邊為何是三個全等的菱形面組成？馬若迪的結果引起法國著名的博物學家黎曼的興趣，他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的，因此，黎曼就去請教瑞士年輕的數學家庫寧，題目如下：給定正六角形柱，底部由三個全等的菱形作成，問應如何做會最節省材料？沒有透露這個問題是由蜂巢引起的底邊為何是三個全等的菱形面組成？庫寧算得的結果為70°34“與109°26”，與蜂巢實際的角度僅相差2“。底邊為何是三個全等的菱形面組成？庫寧的結果支持了蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。庫寧利用微分法解決上述的極值問題，他說：「蜜蜂所解決的問題，超越古典幾何的能力範圍，而必須用到Newton與Leibniz的微積分。」一般認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等數學而已。後來經過的重算，發現蜜蜂是對的，而庫寧所犯的小錯是出在計算時，所使用的數值表印錯了一個數字。蜜蜂的故事－1在《伊索寓言》一書中，有一則「蜜蜂與宙斯」的故事:「蜜蜂看到自己辛苦採來的蜜被人偷走，感到很氣憤，就到天神宙斯(Zeus)那裡，請求給予一種能力，能夠懲罰接近蜂巢的人。宙斯對蜜蜂這種惡毒心理非常不高興，於是就賦予蜜蜂螫人之針，但是針連著腸子並且有倒鉤，使得蜜蜂刺人一次，腸子就被拉出來，因而喪命。」蜜蜂的故事－2台灣也有類似的故事：「蜜蜂向觀世音請求給予自衛武器，起先觀世音不同意，生怕蜜蜂胡亂攻擊人。於是蜜蜂發誓，非到不得已的緊要關頭不會螫人，並且只要螫人一次，自己也願意付出生命的代價。觀世音同意，因此賦予連腸螫針。」結論蜂蜜是人們自古以來最早享用的甜食，古時候的中國人形容蜂蜜是日月及大地孕育的百花精華，古埃及人把蜂蜜當成最貴重的貢品，獻給他們最崇敬的王。聖經裡提到，上帝將給以色列人一個「流著奶與蜜」的地方，可見蜜蜂在