模拟滤波器的设计课件

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模拟滤波器的设计常华E-mail:Tel:

2009年6月30日电子设计竞赛辅导模拟滤波器的设计对信号进行分析和处理时，常遇到有用信号被噪声污染的问题。因此，从信号中消除或减弱噪声，成为信号传输与处理中十分重要的问题。根据有用信号与噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波。实现滤波功能的系统或装置称滤波器。经典的滤波器是具有选颁特性的电路，当噪声与有用的信号具有不同的频带时，它们通过滤波器后，噪声将被衰减乃至消除，有用的信号得以保留。System输入输出信号通过线性系统不失真的条件信号在传输的过程中，由于传输系统的影响，总会产生某种程度的失真。信号的不失真传输，是指系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度的大小和出现的时刻有所不同，不存在形状上的变化。若系统的激励信号为x(t)，响应为y(t)，则不失真传输的含义用数学公式表示为式中，K为常数，t0为滞后时间上式表明，与激励信号x(t)相比，系统的响应信号y(t)的幅度变为原信号的K倍，在时间上延迟t0，波形的形状不变。理想模拟滤波器用于处理模拟信号的滤波器称为模拟滤波器模拟滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器等类型，幅频特性曲线如下图所示。理想滤波器通带内的幅频特性均具有不失真传输的特性。这种特性实际上不可实现。实际滤波特性的通带与阻带之间没有明显的界限，而是逐渐过渡的。理想低通滤波器的冲激响应求H(jω)的傅立叶逆变换，可得该滤波器的冲激响应为h(t)。()-ωt0常见一种理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性|H(j)|1c-c可见，冲激响应是一个延时t0的抽样函数Saωc(t-t0)。由于冲激响应在激励出现之前(t＜0)就已出现，因此该滤波器为非因果系统，在物理上不可实现。定理：一个线性时不变连续系统属于因果系统的充分必要条件是：当t<0时，其单位冲激响应h(t)恒为零。模拟滤波器工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似。巴特沃斯滤波器切比雪夫滤波器椭圆滤波器模拟滤波器的设计——频选滤波器当噪声与有用的信号具有不同的频率时，它们通过频选滤波器后，噪声频率将被衰减乃至消除，使有用的信号得以保留。当噪声与有用信号的频率重叠时，频选滤波器就无法实现既消除噪声，又保留信号的功能。频选滤波器的基本特征(功能、电路、方式、实现模型)根据滤波器幅频特性的通带与阻带的范围，可将其划分为低通、高通、带通、带阻和全通(主要用途是改变信号频谱的相位)等类型。根据构成滤波器元件的性质，可将其划分为无源与有源滤波器，前者仅由无源元件(不产生能量)组成，后者则含有源器件。Ω|H(jΩ)|Ω|H(jΩ)|Ω|H(jΩ)|Ω|H(jΩ)|理想模拟滤波器理想滤波器通带内的幅频特性均具有不失真传输的特性。这种特性实际上是不可实现的，实际滤波特性的通带与阻带之间没有明显的界限，而是逐渐过渡的。工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃兹滤波器、切贝雪夫滤波器、椭圆滤波器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似。Ω|H(jΩ)|Ω|H(jΩ)|Ω|H(jΩ)|Ω|H(jΩ)|实际模拟低通滤波器工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃兹滤波器、切贝雪夫滤波器、椭圆滤波器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似。以低通滤波器为例：如果滤波器的频率特性满足某种要求，我们就认为它达到要求。Ω1|H(jΩ)|Ω1|H(jΩ)|Ω1|H(jΩ)|所需要探讨的是：如何提出要求？如何满足要求？模拟滤波器的设计工程用滤波器的性能指标由于工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。因此，为了满足一个工程滤波器设计的要求，往往给出一个逼近理想滤波器的容限，只要满足这个容限即认为该滤波器设计满足要求。在通带内：在阻带内：|H(ej)|1+δp1-δp1δsΩpΩsΩ通带过渡带阻带Ωc对于所有的N：巴特沃斯滤波器的主要特性半功率点线性坐标分贝坐标|H(jΩ)|2是Ω的单调下降函数|H(jΩ)|2随着阶数N的增大而更接近理想低通滤波器令Ωc=1得到其归一化的传递函数HN(jΩ)。其频率响应为：其极点为：由于模拟系统的传递函数与频率响应之间以s=jΩ相联系，将Ω=s/j代入归一化的传递函数表达式，有注意：s是一个复平面该系统应有2N个极点且偶对称！模为1在复平面上是一个单位园；极点应在单位园上对称分布。其极点在S平面上的分布如图所示。极点起始极点位置不同，极点间相差的角度是一样的，都为π/N。为了保证滤波器系统HN(s)稳定，要求它的所有极点均在S平面的左半部分。构造系统HN(s)具有左半平面极点；HN(-s)具有右半平面极点。ImSReSN为奇数ImSReSN为偶数巴特沃斯低通滤波器的设计方法设计步骤(1)根据实际参数确定模拟滤波器的阶数N。(2)查表构造归一化的滤波器传递函数HN(s)。(3)用s/Ωc置换HN(s)中的变量s得到最终的滤波器传递函数。(4)用电子电路实现该传递函数。例设计一个低通巴特沃斯滤波器，以满足：通带截止频率：Ω1=20rad/s，通带内衰减k1≯-2dB阻带截止频率：Ω2=30rad/s，阻带内衰减k2>-10dB解：根据已知条件有两式相除消去Ωc，得将两式带入|H(jΩ)|2得联立方程0k1k2Ω1ΩcΩ2ΩdB10.790.324.77Hz

3.18Hz|H(jΩ)|将N解出显然，本题在求解Ωc时应使用(a)式。解得Ωc＝21.387(fc=3.4Hz)此Ωc是衰减为－3dB时的频率(截止频率)。当Ωc＝21.387时，用s/Ωc置换H4(s)中的s并化简得上式就是所设计的滤波器传递函数。从系统得角度而言，此滤波系统为一四阶系统，为了实现得方便，可用两个二阶系统串连构成。例：试确定一低通巴特沃斯滤波器的传递函数。要求在通带频率fc=2kHz处，衰减3db，阻带始点频率fs=4kHz处，衰减15db0k1k2ΩcΩ2ΩdB10.7070.1784Hz

2Hz|H(jΩ)|选N=3，查表得3阶归一化Ωc＝1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为当Ωc＝12566rad/s时，用s/Ωc置换H3(s)中的s并化简得常用巴特沃斯低通滤波器传递函数HN(s)分母多项式BN(s)的因式分解表NBN(s)1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.9319s+1)高通滤波器、带通、带阻滤波器可由低通滤波器转换而成高通、带通、带阻滤波器的设计得到归一化低通滤波器的模型后，可以通过频率变换的方法得到实际滤波器模型。变换类型变换关系式注释低通原型→低通s→s/ΩcΩc：高、低通截止频率；Ωl：通带低端截止频率Ωh：通带高端截止频率Ω02=ΩhΩl低通原型→高通s→Ωc/s低通原型→带通s→(s2+Ω02)/s(Ωh-Ωl)低通原型→带阻s→s(Ωh-Ωl)/(s2+Ω02)至此，我们已经解决了所有实际滤波器模型的问题。剩下的问题是如何实现所设计的滤波器。例：设计一阶巴特沃斯低通滤波器，在此基础上按给定指标设计高通、带通、带阻滤波器。低通滤波器：截止频率fc=4kHz(Ωc＝25133rad/s)归一化低通滤波器的数学模型为低通滤波器的数学模型为(fc=4kHz)高通滤波器的数学模型为(fc=4kHz)带通滤波器的数学模型为(fl=2kHz，fh=6kHz)带阻滤波器的数学模型为(fl=2kHz，fh=6kHz)Ωl=12566ΩH=37699Ω0=21756.6无源模拟滤波器的设计根据对滤波器的了解，可以得出一个结论：只要系统输出信号的频谱与输入信号的频谱不一致——频率成分发生了变化(某些频率成分得到加强、某些频率成分被削弱甚至阻断)，我们就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。手机、收音机、电视机、雷达……。换言之，只要系统包含有零、极点，就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。对于无源元件构成的电路滤波器系统(元件本身并不释放额外的能量)而言，常见的是R、L、C电路。如何根据给定的模型用R、L、C电路构造滤波器就是我们要解决的问题。根据我们对系统的知识：任何一个复杂系统都可以由若干个简单系统组合而成——简单系统(一阶、二阶系统)的串并联的组合，写成下面的形式：无源系统的可实现条件网络函数(传递函数)可以写出多种多样的形式，但并不是每一种形式都可以实现。R(s)Y(s)H2(s)H1(s)H

(s)H

(s)R(s)Y(s)H1(z)H2(s)+例如：某二端网络的阻抗函数如右式。将其改写为若某二端阻抗函数为阻抗函数如右式。将其改写为系统I(s)U(s)1Ω2H1F1Ω显然，该系统应是由1F电容与-1Ω电阻串联组成，由于负电阻不是耗能元件而是含源部件，因此所给定的阻抗函数用无源元件是无法实现的。U(s)I(s)二端无源网络的综合——所谓二端无源网络的综合就是用R、L、C无源元件实现阻抗函数或导纳函数1、R－C综合将网络的阻抗函数Z(s)分解成由一系列R－C并联电路为子系统Zi(s)的串接形式，则有注意：分母是导纳的并联。R1R2Rm系统I(s)U(s)Z(s)R01/C1s1/C2s1/CmsZ(s)已知网络的阻抗函数为求其极点，用待定系数法分解系统的阻抗函数。注意：传递函数中的所描述的元件参数均以国际单位计量。Ω(欧姆)、H(亨)、F(法拉)于是可得3Ω1/6F1/3F2/3Ω2、R－L综合将网络导纳函数Y(s)分解成由一系列R－L串联电路为子系统Yi(s)的并接形式，则有系统I(s)U(s)Y(s)于是可得R0Y(s)R1R2RmL1sL2sLms已知网络的导纳函数为求其极点，用待定系数法分解系统的导纳函数。1/3Ω1/6H1/3H2/3Ω3、L－C综合一个系统仅由电抗元件L、C构成称为L－C综合。串接形式系统I(s)U(s)Z(s)Lms1/C1s1/C2s1/CmsZ(s)L1sL2sL0s系统I(s)U(s)Y(s)C0sY(s)C1C2CmL1sL2sLms并接形式已知系统的阻抗函数为求其两种实现。128/81H9/128FZ(s)9/25F1HY(s)1/3F2/75F3H3/2H二端网络的输入、输出均在同一端对上，如果输入输出在不同端对且在系统内部不包含有含源器件，则称为无源四端网络。四端网络共有四种传递函数：输出电压/输入电流＝转移阻抗函数输出电流/输入电压＝转移导纳函数

输出电压/输入电压＝电压传输函数输出电流/输入电流＝电流传输函数无源四端网络的可实现条件——系统应为稳定系统：H(s)是一实系数有理函数且分母多项式B(s)是一霍尔维茨多项式；H(s)的极点均位于s平面的左半平面，不能在jΩ轴上；H(s)的零点可位于s平面的任何位置。四端无源网络(二端口网络)的综合设对任意给定四端网络函数H(s)=k0/[p(s)+q(s)]而言，可以通过p(s)/q(s)或q(s)/p(s)，运用辗转相除法将其展成连分式表示形式。Z1Z3Z5Y2Y4Y6Z3Z5Y2Y4Y6设给定传递函数阻抗(电感)导纳(电容)将H(s)看成阻抗函数辗转相除图示辗转相除：本次除数成为下一次的被除数；本次余数成为下一次的除数。s3+2s2s2+1s/2←Z1s3+s/22s2+14s/3←Y23s/22s23s/23s/2←Z313s/20

2s2+12s2+1s3+2s0←Z10s3+2ss/2←Y22s2+1s3+s/23s/22s23s/23s/2←Y413s/204s/3←Z3p(s)/q(s)示例q(s)/p(s)示例可以发现此转移导纳函数H(s)与设定的传递函数是一致的。换言之，由上图所构成的电路具有所要求的传递函数功能。如果要求得电压传输函数(a)式的二端网络结构应为1/2H3/2H4/3F←Z(s)列出电路的网孔方程如果4/3F1/2H3/2He(t)+-1ΩI1I2(b)式的二端网络结构应为←Z(s)3/2F4/3H1/2F同理，列出节点电压方程，可以求出转移阻抗函数。可以发现此转移阻抗函数H(s)与设定的传递函数是一致的。i(t)+-1Ω3/2F4/3H1/2FV1V2换言之，由上图所构成的电路具有所要求的传递函数功能。如果要求取电压转移函数——前极给出的是电压信号，则需要将其转换为电流信号，稍复杂一些。若展开式的为(a)式，H(s)为转移导纳(使用更方便一些)；若展开式的为(b)式，H(s)为转移阻抗。如果无源模拟滤波器的实现步骤：根据给定工程需要的参数，确定滤波器的类型构造归一化滤波器(截止频率Ωc=1rad/s)，写出其数学模型；运用辗转除法构造电路构成形式；查表、计算求得实际电路参数(频率、参数去归一化)。当电路形式确定以后，我们便不关心滤波器的模型了。无源模拟滤波器有一套规范的设计方法和表格。当归一化滤波器设计出来后，可通过标准的计算方法求得实际电路参数。选N=3，查表得3阶归一化Ωc＝1巴特沃斯低通滤波器的传递函数例：试确定一巴特沃斯低通滤波器的传递函数。要求在通带频率Ωc=105rad/s处，衰减3db，阻带始点频率Ωs=4×105rad/s处，衰减35db；负载电阻R0=103Ω。0k1k2ΩcΩ2ΩdB10.7070.01863.7kHz

15.9kHz|H(jΩ)|由给定电压传输函数确定出电路形式是由条件的：根据工程需求得到的H3(s)模型是经过频率归一化后的滤波器模型(Ωc＝1rad/s时的滤波器模型)；电路参数也是经过参数归一化后的参数；该模型是当负载电阻为1Ω时的模型；去归一化处理：计算基本参数1/2H3/2H4/3F←Z(s)1/2H3/2H4/3Fe(t)+-1Ω所有这些都需要转化成实际滤波器参数。Z1Y2Z3常用巴特沃斯低通滤波器电路的归一元件系数表NRsβ1α2β3α4β5α6β72∞1.41420.70713∞1.50001.33330.50004∞1.53071.57721.08240.38275∞1.54511.69441.38200.89440.30906∞1.55291.75931.55291.20160.75790.25887∞1.55761.79881.65881.39721.05500.65600.2225N1/Rsα1β2α3β4α5β6α7电流源：电压源：上一页题结果L1

15mHC2

13nFL2

5mHe(t)+-1kΩ设计一四阶巴特沃斯低通滤波器，截止频率fc=4kHz，负载电阻R0=150Ω，求实际滤波电路及元件参数。查表：(Rs为电源内阻)e(t)+-150Ω6.460mH9.136mH418nF102nFL1L3C2C4实际设计一个高通模拟滤波器的实现如前所述，当设计出归一化低通滤波器数学模型后，可以通过频率变换的方法得到高通、带通、带阻滤波器的数学模型。同理，当得到一个低通滤波器的物理实现后，也可以通过参数的变换得到高通、带通、带阻滤波器的物理实现。设截止频率为Ωc的低通滤波器的物理实现已知，则其去归一化参数αi、βi也为已知。于是，具有相同截止频率为Ωc的高通滤波器的物理实现将为：在低通电路中电感系数为αi的电感元件变换为系数为1/αi的电容元件；在低通电路中电容系数为βi的电容元件变换为系数为1/βi的电感元件；L36.460mHL19.136mH418nF102nFC2C4C1C3L2L4带通模拟滤波器的实现设截止频率为Ωc的低通滤波器的物理实现已知。m为带通相对通带宽度的倒数：m=Ωc/(Ωh-Ωl)则，具有中心频率为Ωc的带通滤波器的物理实现为：低通电路中电感系数为αi的电感元件变换成系数为mαi的电感和系数为1/(mαi)电容所构成的串连支路；将低通电路中电容系数为βi的电容元件变换成系数为1/(mβi)的电感和系数为mβi的电容所构成的并连支路；L36.460mHL19.136mH418nF102nFC2C4设：m=Ωc/(Ωh-Ωl)=4kHz/(4.5kHz-3.5kHz)=4可以猜想出带阻滤波器是什么样子。值得注意的问题：输入阻抗、输出阻抗、四种传输函数、电路的构成形式、元件选用产生的误差、单侧电阻与双侧电阻、负载电阻、结果修正、信号衰减问题……。单位换算问题：36.56mH0.9459mH25.84mH4.5395mH0.043uF0.0612uF1.6731uF0.3558uFe(t)+-150Ω无源LC滤波器的缺点是当频率较低时，电感元件的体积、重量较大。于是，人们从上世纪50年代起，大力研究有源RC滤波器。1955年由萨林提出了具有不同滤波特性的二阶电路，电路由R、C和运放组成。有源元件分析设运算放大器为理想运放有源二阶RC滤波器的设计－＋ZfZ1V1Vo＋－＋－Vi1

可见，只要我们合理地搭配零极点就可以得到想实现得滤波器。这些阻抗可以用电感，也可以用电容实现，但常用电容实现。其中，如果元件为电阻Y=1/R；如果元件为电容Y=sC；只要改变元件的组成形式，即可形成高通、低通二阶滤波器。典型的萨林二阶有源滤波器分析负增益二阶滤波器V2-列写节点电压方程根据“虚地”和“虚断”的概念将VA带入上式，得到电压传输函数。Y1Y3V1-Y2Y4Y5VB+-+VA综合步骤：得到归一化二阶滤波器模型；得到实际滤波器模型；用待定系数法列写方程；确定电容或电阻值；求解电阻或电容值。R1R3-C2R4C5V1+-V2+-负增益二阶低通滤波器设计一截止频率fc=4000Hz(Ωc=25133)的有源滤波器。二阶归一化巴特沃斯滤波器模型为：实际滤波器模型电路模型R1R2C3C4Kr(K-1)rV1V2+正增益二阶低通滤波器++--K为闭环增益设R1、R3、R4为10kΩ，有由b1解