2023年经济数学基础辅导

经济数学基础辅导４叶挺峰第一编第三章导数应用本章重要是介绍运用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容:如何拟定函数的单调区间？１、定理:设y=f(ｘ）在[a,b]上连续，在(ａ,b）内可导,若X∈(a,b）,有fˊ(X)>0,f(X）在［a,b]上单调增长；ｆˊ(X)>0，f(X)在[ａ,b]上单调减少；此定理中的区间，称为单调区间。２、拟定函数y=ｆ(ｘ）单调区间环节:拟定Ｙ=f(x)的定义域D;求Ｙˊ;令Ｙˊ=0,求出根；用Yˊ=0的根，划分Ｄ为几个社区间,列出表格判别；结论。例如：拟定函数的单调区间。解:f(ｘ）的定义域：=6(Ｘ-1）（X-２)令即6（X-1）（X-2）＝0得X1=1,X2=2列表X(-∞，１）1（１,２)２（2，＋∞)Yˊ+-+Y↗↘↗注意:拟定Yˊ的符号时，可取社区间中任意一个拟定数,如:０,1．5，３,代入fˊ(X)式中定出yˊ的正、负号，再用符号“↗”、“↘”分别表达，曲线上升或下降。故f(x)单调增长区间为（-∞,1],[2，+∞)，单调减少区间为[1，2］函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件:f(x)在点X0处可导,点X0是f(X)的极值点,则fˊ(X０)=0２、驻点:使fˊ(X）=0的点，称为f（Ｘ)的驻点(或稳定点)。注意:(1)点X0是f(ｘ)的极值点(或稳定点)，f(x)在X０处可导，则点X０必然是驻点；(2）驻点不一定是极值点；(3)在导数不存在的点处，也许有极值。3、极值存在充足条件:设f(x)在点Ｘ０的邻域连续且可导(fˊ（X0）可以不存在），当X从X0的左侧到右侧取值时,ｆˊ(X)符号：从+变－，X0为极大值点,f(X0）为极大值;从-变＋，X0为极小值点,f(X０)为极小值；不变号，X0不是极值点,ｆ(X)在X0处无极值。用以上定理,可判别X０是不是f(X）的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。例如:求函数的极值。解：f(x）的定义域(-∞，+∞）令fˊ(X)=0则有得驻点X=8X＝0使fˊ(X)无意义,X＝０是fˊ（Ｘ)不可导的点。列表X（－∞，０)0(0,８)8(8,＋∞)ｙˊ－不存在+0-y↘0↗4↘极小值极大值故X=０是极小值点,极小值f(0)=0ｘ=8是极大值点,极大值f(8)=44、函数的最值：函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念,函数最值是整体概念。求应用问题的最值，常用以下的结论:f（x）在[a,b]上连续,在(a,b）内可导,且Ｘ０是f(x)在（a,ｂ）内唯一驻点,那么当X0是f(x)极大值点（或极小值点）时,X0一定是ｆ(ｘ)在[a,b]上的最大值点（或最小值点）,ｆ(x0)是函数f(x)的最值。例如：生产某产品的总成本函数C（X)＝²求使平均成本最低的产量及最低平均成本。解:平均成本令A′（X)＝0,则有=0得X1＝20X2=－２０（舍去)当Ｘ＜２０时，A'(Ｘ）＜０当X>２０时，A'(Ｘ)＞０Ｘ＝20是极小值点，在(0，+∞ｅQ＼ｆ(c(x),ｘ)）内驻点唯一，X=2０也是最小值点。故当产量Ｘ=２0时,平均成本最低,最低平均成本为A(2０)＝三、导数在经济分析中的应用1、需求(价格）弹性设某商品的市场需求量为q，价格为P,需求函数q＝q(P）可导，则称为该商品需求价格弹性,简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降(或上升）1％时，某需求量将增长（或减少）｜Ｅp｜%。例如:某种商品的需求量ｑ(单位：百件)与价格P(单位：千元）的关系为：ｐ∈[0，10]求当价格为9千元时的需求弹性。解：当P=9时,2、三个边际函数边际成本：边际成本是总成本函数C（q）关于产量q的导数，记为MC,则有ＭC=C'（q)。经济意义：当产量为p时,再生产一个单位产品所增长的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。边际收入：边际收入是总收入函数R(ｑ）对销售量q的导数，记为MR。经济意义:当销售量q时，再销售一个商品所增长的收入。边际利润：利润函数L=L（q)对销售量q的导数,称为边际利润，记为ＭＬ。由于利润函数Ｌ(q）=R（q)－c(q),则有L´(q)=R´(ｑ)-c´(q）例如:已知总成本函数为Ｃ(q）＝2023+450q+0.0２ｑ²销售单价为４9０,求C´（q)L(q)及L´(q)解:1）C´(q)4５0+0,04q２)总收入函数R(ｑ)＝pｑ=490q利润函数：Ｌ(q)=R(q)-C(ｑ)＝４90q－（2０２３＋450q+０．02q²)=－0.02q²+40q－２023边际利润函数为:L´(ｑ)=-0.04ｑ+40自测题：一、选择题:

1、函数y=x²-4x+５在区间(0,+∞eQ\f(c(x)，ｘ)）内[]A、单调增长Ｂ、先单调增长后单调减少C、先单调减少后单调增长Ｄ、单调减少2、下列结论中对的的是（）。A、函数的驻点一定是极值点Ｂ、函数的极值点一定是驻点C、函数的极值点处导数必为0D、函数的导数为0的点一定是驻点3、设需求函数q=,则需求弹性EP＝（)A、B、C、D、二、填空题1、f(ｘ）在(ａ，ｂ)内有f'(X)＝0,则f(X)=。2、函数f(x)=x²-１的单调下降区间是。3、已知需求函数,则需求弹性EＰ=。三、计算题拟定函数的单调区间。求函数f（x)=-X４+ｅｑ\f(8,3)x3－２ｘ²+2的极值。某产品固定成本为18（万元），可变成本２ｘ²＋５X（万元）,其中X为产量（百台），求使平均成本最低的产量。某产品的需求量ｑ＝25０-2Ｐ(P为价格),价格为多少时，可使收入最大？已知某商品的需求量q=1200-100p（件),其中P是价格(元／件），求使收入最大的销售量和相应的最大收入。某厂生产Ｘ个产品的成本为

C（X)=２Ｘ+100（元)得到收益为R（X)=８X－0.0１x²(元),问生产多少个产品时才干利润最大?最大利润是多少?答案:选择题：1、C2、D3、C填空题:1、C(常数)2、（0,＋∞eQ＼f(c(x),x))3、计算题:f(ｘ)单调增长区间（-∞,-1］,[3,+∞）单调减少区间为[－1,3]X=０是极大值点，极大值f(0）＝２3(百台)62.5ｑ=6０0(件),最大收入Ｒ(60０)=3600(元)q=30０(个),最大利润L（300)=800(元)经济数学基础辅导5叶挺峰第二编一元函数积分学一元函数积分学不定积分什么是原函数?设f(x）是定义在区间D上的函数，若存在F(x),对任何x∈D,均有F′(x）=f（x)(或dF（x）=f（x)dx)则称Ｆ（x)为ｆ(x)在Ｄ上原函数(简称ｆ(x)的原函数)。注意：函数f(x)的原函数不唯一,有无穷多个。ｆ(x)的任意两个原函数只差一个常数。例如:Ｆ(X)是f(x)的一个原函数，Ｃ为常数，有[Ｆ(x）+Ｃ]′＝Ｆ′(x)=f(ｘ)。不定积分定义：对于某区间D上的函数ｆ(x)为可积函数,若存在原函数,则称ｆ(ｘ)为可积函数，并将ｆ（x)的全体原函数记为∫ｆ(x)dx,并称它为函数f(ｘ）的不定积分。若F(x)是f(x)的一个原函数,C为任意常数,由于f(x)的全体原函数可表达为F(x)＋C，则有∫ｆ(x)dx=F(x）+C其中Ｃ称为积分常数。为什么求积与求导互为逆运算?在∫ｆ(ｘ)dx=F(x)＋C中，两边对ｘ求导,则有［∫f(x)dｘ]′=[F（x）+C]′＝F′(x)=ｆ（x)又因∫F′（x)ｄx=∫ｆ(ｘ)dx=F(x)+C上式表白:对F(x)先导后积，结果是F(ｘ）加上一个常数。可见：求积与求导(或求微分)互为逆运算。基本积分公式:求积与求导互为逆运算，因此,有一个导数公式就有一个相应的积分公式,同学们应熟记以下九个积分公式。∫ｏdx=ｃ∫xndx=eq\ｆ(xn＋1,ｎ+１)+C(n≠－1）∫ｅq\ｆ(dｘ,x)=ｌn|x|+c∫aｘdx=eq\f(ax,lnａ)+ceｑ(f(１,2）)fｑ(∫ｅxdx=eｘ+c∫ｓｉｎxdｘ=－coｓx＋ｃ∫cosdｘ＝sｉnx+c∫eq＼f(dx,sin2x)＝-ｃotx＋ｃ∫eq\f(dｘ,ｃos２x)=taｎx+c基本积分方法:不定积分常用性质代数和分开积∫[f（x)±ｇ（x)]dx=∫f（x)dx±∫g(x）dｘ常数因子提出来∫kf(x）dx=k∫f(x)dx(ｋ≠０常数）积分基本方法：直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例1：求下列不定积分∫(3x2-2x+1）dx解:原式=３∫x2dx-2∫xdx+∫dｘ=3·eq\ｆ(x3,2+1)－2·eq\f(x２,１+1)+x+c=x3-x2+x+c∫(eｑ\f(1,2x)+２x)dｘ解:原式＝eq\f(1,２)∫eq\ｆ(１,x)ｄｘ+∫2xdx=eq\ｆ（1，2)ｌn|x|+eq\ｆ(2x,lｎ2)+c∫ex(１+e－x)ｄx解：原式＝∫exdx+∫dx=ex+x+c∫taｎ2ｘdｘ解:原式=∫eq＼ｆ(sin2x,cｏs２x)dx=∫eq\ｆ(１-cos2x,ｃoｓ２x)ｄx=∫eq\f（1,cos２ｘ)dｘ-∫dx=tａnx－x+c凑微分法（又名第一换元法)这是计算不定积分重要方法，又是本章重点,应多做练习,纯熟掌握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式求积。即f[ｕ（x）]u＇(x）ｄｘ=ｆ[u(x)]dｕ(x)u(x)=ｕ,有f(ｕ)ｄu＝F＇(ｕ)du=ｄF(ｕ)故∫dＦ(u)=Ｆ(u)+c=F［ｕ(x)]＋c［u＝u(x)]注意：使用这方法求积,凑微分时需换元即选取新积分变量;在结果中要回代，消去中间变量。例如:求∫e2xdx解:令2ｘ=u,(以便用∫exdx公式)du＝(２ｘ)＇dx=2dxdx=ｅq\f(１,2）dｕ原式=∫ｅueq\ｆ(1,2)ｄu＝eｑ＼f(1,2）∫eudu=eq＼f(1,2)eｕ＋c=eq＼ｆ(1,2)ｅ2x＋c求下列不定积分∫eq\f(1,2ｘ-1)ｄx解:令2ｘ-1＝u（以便用∫ｅq＼ｆ(1,x)dx公式)dｕ=(２x-１）＇ｄx=2dxdｘ=ｅq\ｆ(１，2）ｄu原式=∫eq\f（1,ｕ)·eq\ｆ(１,2）du＝eq\f(1，2）∫eq\f(1,u)dｕ=eq\ｆ（1,2)lu|u｜＋ｃ=eq＼ｆ(1,2)ln|2x-１|+c∫eq＼f(sｉn\f(1,x),ｘ2)ｄｘ解:令ｅq\f(1,x)＝udu=－eq\f(１，ｘ２)ｄx原式=－∫siｎｅq\f(１,x）·（－eq＼f（1，x2））d=－∫sinuｄｕ=cosu＋c=ｃosｅq\f(1,x)+ｃ熟悉了凑微分法求积分,可以省略换元、回代，但要熟记下列常用的凑微分公式,公式是：(1）ａｄx＝d(ａx+b）(a≠0常数，b常数）(2）ｘｄx=eｑ＼ｆ(1,2)dｘ2(3)coｓｘdx＝d(sinx)（４)sinｘdｘ=-d（ｃoｓｘ)（５）ｅq\ｆ（１,＼r(x))ｄx=2ｄ(eq\r(x))(6)eq\f(１,x２）ｄx＝－ｄ(eq\f(1,x)）(７）eｑ\f(１,ｘ）ｄx=d(ｌｎｘ）（8)ｅｘdｘ=d(ｅx)例3：求下列不积分∫siｎ2xｄx解:原式＝eq\f（1,2)∫sｉｎ２xd(2x)＝－eq＼f(１,2)cos2x+c∫ｔａｎxdx解:原式＝∫eq\f(sinｘ,coｓｘ)ｄx=－∫eｑ\f(dcｏsx,cｏｓx）=-ln|cosx|＋c∫eq\f(lnx,x)dｘ解：原式=∫ｎｘｄlnｘ＝eq\f(1，2)ln2x+c∫eq＼ｆ(eｘ,１＋ex)ｄx解:原式＝∫eq\f(ｄ(１+ex),1+ｅx）=ln|1+ｅx｜+c3、分部积分法这是求不定积分另一种重要方法,是本章重点之一。在被积表达式中，出现函数之积,需要分部积分法求积。(1)分部积分公式：设u=u(x),v=ｖ(ｘ)都是连续可微函数，则∫ｕdv=ｕv-∫ｖｄu(2）u、ｄv选择的原则在被积表达式中,对出现下列情况时,u、dv选择的原则是：xkeaxdx1°xｋsiｎaxdx选u=xk,其他为dvｘkｃosaxdx2°eaxsinbxdxeaｘcosbxｄx选u=ｅａx,其他为dv３°xｋlnｍxdｘ选u=lnｍx,其他为ｄv。(3)分部积分时，dv中函数ｖ如何找?１°用凑微分得到2°一时无法凑微分,可用不定积分∫dv=v＋c求得一个原函数ｖ，把ｖ放在d之后，不必把积分常数ｃ也放入ｄ之后，由于d(ｖ+c)＝dv。例4：求下列不定积分：∫ｘ2exdx解：原式＝∫ｘ2dex=ｘ2eｘ-∫eｘdx2=x2ex－2∫ｘexｄx=ｘ２ex-2∫ｘｄｅx＝x2ｅx-２[ｘex－∫exdｘ]=x2ex-2xｅx+2ex+c=(x2－2ｘ+2)ex+ｃ从上例可见,分部积分公式可反复使用。∫exｃosdｘ解:原式=∫ｅｘｄsｉnx＝exsinx－∫sｉnxdex=exsiｎx-∫ｅxsiｎxｄx=exsinｘ+∫ｅxｄｃosｘ=exsｉnx+excｏsx－∫cosxdｅｘ＝exsinx＋excｏsx-∫excosｘdx+2c则2∫exｃoｓxｄx＝(ｓinx＋cosx)ex+2c原式＝ｅｑ\ｆ（１,2)(sinx+cosｘ)ex+ｃ∫2xlnxdx解：原式=∫lnxdx2=x2lｎx－∫ｘ２dlnx=x2lｎｘ－∫eq＼ｆ（x2,x)ｄｘ=x2ｌnｘ-∫xdx＝x2ｌnｘ-eｑ\ｆ(1，2)x2+ｃ自测题:选择题：若F(ｘ)是f(ｘ)的一个原函数，则∫ｆ(3x+2)dｘ＝()A、F(３x+2)+cB、eｑ\f（1,３）Ｆ(ｘ）+cＣ、eq\f(1,3)Ｆ（3x+2)+cD、Ｆ(ｘ)+c2、若∫f(x)dx=ｃos3x+c,则f(x)=（）A、-３sin3ｘＢ、-３cｏｓ3xC、3siｎ3xD、3cｏs３ｘ3、下列等式成立的有()A、eq＼f（１,\r（x))dx＝deq＼r(x)B、eq\f(1,x2)dｘ=-ｄ(ｅq\ｆ(１,x）)Ｃ、sｉnxdx＝d(coｓx)D、axdｘ＝lnadax４、下列等式对的的是（) A、eq＼ｆ(1，３)x２dx＝d(x3)B、eq\f(１，x)dｘ=d(ln｜x|)C、ｓinxdｘ=d(ｃｏsx）D、eq\ｆ(2ｘ,ln2)dｘ＝d(2x)5、d(∫ａ-３xｄx)=（)A、a－３xdxB、a－3x（-3lｎa）ｄｘＣ、a-3xＤ、a-３x＋c6、若f(x)是可导函数，则下列等式中不对的的是()A、[∫f（x)ｄx]'=ｆ(ｘ)Ｂ、∫f＇（x)dｘ=f(x)+cＣ、d[∫f(ｘ)ｄx]=f(ｘ）dxD、∫dｆ(x)＝ｆ(x）填空题:1、若函数ｆ(x)的一个原函数Ｆ(x）=x３，则f'（x)＝。2、∫sｉn2xcｏsxdx=。3、若∫ｆ(x)dx=ｘ2+c,则∫ｘf（1－ｘ2)dx＝。计算题：求下列不定积分(1)∫（ｘ2